Геометрия Атанасян 7-9 класс, страница 171 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава VIII. §2 (окончание) и §3. Применение подобия к доказательству теорем и решению задач — с. 171

670. В треугольнике ABC сторона AB равна а, а высота СН равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне AB, а две другие — соответственно на сторонах АС и ВС.

Пусть сторона квадрата равна x, а вершины D и E квадрата лежат на сторонах AC и BC, так что DE ∥ AB (DE — сторона квадрата, противоположная стороне на AB), DE = x. Расстояние от DE до AB равно x, значит расстояние от вершины C до DE равно h − x (отрезок CH пересекает DE).
Треугольники CDE и CAB подобны (DE ∥ AB), а высоты, проведённые из вершины C, относятся как сходственные стороны (задача 650): DE/AB = (h − x)/h.
x/a = (h − x)/h, xh = ah − ax, x(a + h) = ah.
x = ah/(a + h).
Ответ: ah/(a + h).

671. Через точку М, взятую на медиане AD треугольника ABC, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке K. Найдите отношение AK/KC, если: а) М — середина отрезка AD; б) AM/MD = 1/2.

Проведём через точку D прямую, параллельную BK; она пересекает AC в точке L.
В треугольнике BCK точка D — середина BC и DL ∥ BK, поэтому DL — средняя линия: KL = LC, то есть KC = 2·KL.
В треугольнике ADL прямая MK параллельна DL, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках (подобие △AMK ∼ △ADL) AK/KL = AM/MD.
а) AM/MD = 1, AK = KL, KC = 2·KL = 2·AK, AK/KC = 1/2.
б) AM/MD = 1/2, KL = 2·AK, KC = 4·AK, AK/KC = 1/4.
Ответ: а) 1/2; б) 1/4.