Глава VIII. §3. Применение подобия (задачи) — с. 178
672. Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.
Стороны треугольника с вершинами в серединах сторон — это средние линии данного треугольника, каждая равна половине параллельной стороны. Значит периметр равен половине периметра данного: (8 + 5 + 7)/2 = 10 см.
Ответ: 10 см.
Ответ: 10 см.
673. Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника до прямой, содержащей его бо́льшую сторону, равно 2,5 см. Найдите меньшую сторону прямоугольника.
Пусть ABCD — прямоугольник, AB — большая сторона, O — точка пересечения диагоналей (середина BD), OH ⊥ AB. Так как AD ⊥ AB, то OH ∥ AD. Прямая, проходящая через середину O стороны BD треугольника ABD параллельно AD, делит AB пополам, поэтому OH — средняя линия треугольника ABD и OH = AD/2.
AD = 2·OH = 5 см.
Ответ: 5 см.
AD = 2·OH = 5 см.
Ответ: 5 см.
674. Точки Р и Q — середины сторон AB и АС треугольника ABC. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треугольника APQ равен 21 см.
PQ — средняя линия: PQ = BC/2. Кроме того, AP = AB/2 и AQ = AC/2. Поэтому периметр треугольника APQ равен половине периметра треугольника ABC (треугольники подобны с k = 1/2). P(ABC) = 2·21 = 42 см.
Ответ: 42 см.
Ответ: 42 см.
675. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD = a и BC = b (a > b), M и N — середины диагоналей AC и BD, P — середина боковой стороны AB.
PM — средняя линия треугольника ABC: PM ∥ BC и PM = b/2. PN — средняя линия треугольника ABD: PN ∥ AD и PN = a/2.
Так как PM ∥ BC и PN ∥ AD, а BC ∥ AD, то обе прямые PM и PN совпадают с единственной прямой, проходящей через P параллельно основаниям. Точки M и N лежат на ней по одну сторону от P (обе внутри трапеции, по ту же сторону от AB, что и вершины C и D), причём PN = a/2 > PM = b/2. Значит, MN лежит на этой прямой, MN ∥ AD ∥ BC и MN = PN − PM = a/2 − b/2 = (a − b)/2.
Что и требовалось доказать.
PM — средняя линия треугольника ABC: PM ∥ BC и PM = b/2. PN — средняя линия треугольника ABD: PN ∥ AD и PN = a/2.
Так как PM ∥ BC и PN ∥ AD, а BC ∥ AD, то обе прямые PM и PN совпадают с единственной прямой, проходящей через P параллельно основаниям. Точки M и N лежат на ней по одну сторону от P (обе внутри трапеции, по ту же сторону от AB, что и вершины C и D), причём PN = a/2 > PM = b/2. Значит, MN лежит на этой прямой, MN ∥ AD ∥ BC и MN = PN − PM = a/2 − b/2 = (a − b)/2.
Что и требовалось доказать.
676. Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18 см. Середина М стороны AB соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые делится диагональ АС отрезком DM.
Пусть DM пересекает AC в точке P. AB ∥ CD, поэтому △AMP ∼ △CDP по двум углам (∠APM = ∠CPD вертикальные, ∠MAP = ∠DCP накрест лежащие). Тогда AP/PC = AM/CD. Но AM = AB/2 = CD/2, значит AP/PC = 1/2.
AP + PC = 18 см, AP = 18/3 = 6 см, PC = 12 см.
Ответ: 6 см и 12 см.
AP + PC = 18 см, AP = 18/3 = 6 см, PC = 12 см.
Ответ: 6 см и 12 см.
677. В треугольнике ABC медианы АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника ABО равна S.
Точка O — точка пересечения медиан, она делит медиану BB1 в отношении 2 : 1 от вершины, то есть BO = 2/3·BB1.
Треугольники ABO и ABB1 имеют общую высоту из вершины A, поэтому S(ABO)/S(ABB1) = BO/BB1 = 2/3, S(ABB1) = 3S/2.
Медиана BB1 делит треугольник ABC на два равновеликих (у них равные основания AB1 = B1C и общая высота из вершины B): S(ABC) = 2·S(ABB1) = 3S.
Ответ: 3S.
Треугольники ABO и ABB1 имеют общую высоту из вершины A, поэтому S(ABO)/S(ABB1) = BO/BB1 = 2/3, S(ABB1) = 3S/2.
Медиана BB1 делит треугольник ABC на два равновеликих (у них равные основания AB1 = B1C и общая высота из вершины B): S(ABC) = 2·S(ABB1) = 3S.
Ответ: 3S.
678. В задачах 678—680 использованы следующие обозначения для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С и высотой СН: ВС = а, СА = b, AB = с, СН = h, АН = b_c, НВ = a_c. Найдите: а) h, a и b, если b_c = 25, a_c = 16; б) h, a и b, если b_c = 36, a_c = 64; в) а, с и a_c, если b = 12, b_c = 6; г) b, с и b_c, если a = 8, a_c = 4; д) h, b, a_c и b_c, если а = 6, с = 9.
Используем: высота h — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы, h² = a_c·b_c; катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции: a² = c·a_c, b² = c·b_c; c = a_c + b_c.
а) c = 25 + 16 = 41. h = √(25·16) = 20. a = √(41·16) = 4√41. b = √(41·25) = 5√41.
б) c = 36 + 64 = 100. h = √(36·64) = 48. a = √(100·64) = 80. b = √(100·36) = 60.
в) b² = c·b_c, 144 = 6c, c = 24. a_c = 24 − 6 = 18. a = √(24·18) = √432 = 12√3.
г) a² = c·a_c, 64 = 4c, c = 16. b_c = 16 − 4 = 12. b = √(16·12) = √192 = 8√3.
д) a² = c·a_c, 36 = 9·a_c, a_c = 4. b_c = 9 − 4 = 5. h = √(4·5) = 2√5. b = √(9·5) = 3√5.
Ответ: а) h = 20, a = 4√41, b = 5√41; б) h = 48, a = 80, b = 60; в) a = 12√3, c = 24, a_c = 18; г) b = 8√3, c = 16, b_c = 12; д) h = 2√5, b = 3√5, a_c = 4, b_c = 5.
а) c = 25 + 16 = 41. h = √(25·16) = 20. a = √(41·16) = 4√41. b = √(41·25) = 5√41.
б) c = 36 + 64 = 100. h = √(36·64) = 48. a = √(100·64) = 80. b = √(100·36) = 60.
в) b² = c·b_c, 144 = 6c, c = 24. a_c = 24 − 6 = 18. a = √(24·18) = √432 = 12√3.
г) a² = c·a_c, 64 = 4c, c = 16. b_c = 16 − 4 = 12. b = √(16·12) = √192 = 8√3.
д) a² = c·a_c, 36 = 9·a_c, a_c = 4. b_c = 9 − 4 = 5. h = √(4·5) = 2√5. b = √(9·5) = 3√5.
Ответ: а) h = 20, a = 4√41, b = 5√41; б) h = 48, a = 80, b = 60; в) a = 12√3, c = 24, a_c = 18; г) b = 8√3, c = 16, b_c = 12; д) h = 2√5, b = 3√5, a_c = 4, b_c = 5.