Геометрия Атанасян 7-9 класс, страница 179 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава VIII. §3. Применение подобия (задачи) — с. 179 679. Выразите a_c и b_c через а, b и с. Катет есть среднее пропорциональное для гипотенузы и своей проекции на гипотенузу: a² = c·a_c и b² = c·b_c. (Это следует из подобия △ABC ∼ △CBH: BC/AB = BH/BC, то есть a/c = a_c/a; аналогично △ABC ∼ △ACH даёт b/c = b_c/b.) Ответ: a_c = a²/c, b_c = b²/c. 680. Докажите, что: а) h = ab/c; б) a²/a_c = b²/b_c. а) Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами: S = ab/2 (половина произведения катетов) и S = ch/2 (половина произведения основания AB = c на высоту CH = h). Значит ab = ch, h = ab/c. б) По задаче 679 a² = c·a_c, b² = c·b_c, откуда a²/a_c = c и b²/b_c = c. Следовательно a²/a_c = b²/b_c (= c). Что и требовалось доказать. 681. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а гипотенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза делится высотой, проведённой из вершины прямого угла. Пусть катеты 3t и 4t. По теореме Пифагора 9t² + 16t² = 50², 25t² = 2500, t = 10. Катеты 30 мм и 40 мм. Проекции катетов на гипотенузу: 30²/50 = 900/50 = 18 мм и 40²/50 = 1600/50 = 32 мм (18 + 32 = 50). Ответ: 18 мм и 32 мм. 682. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из которых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если катеты треугольника относятся как 6 : 5. Пусть проекции катетов a и b на гипотенузу равны a_c и b_c, причём катеты относятся как a : b = 6 : 5. Из a²/a_c = b²/b_c (задача 680) получаем a_c/b_c = a²/b² = 36/25. Пусть b_c = 25x, a_c = 36x. По условию 36x − 25x = 11, x = 1. Значит a_c = 36 см, b_c = 25 см, гипотенуза c = 36 + 25 = 61 см. Ответ: 61 см. 683. В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону. Так как 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный, и большая сторона 13 см — гипотенуза. Высота проведена из вершины прямого угла. Проекции катетов на гипотенузу: 5²/13 = 25/13 = 1 12/13 см и 12²/13 = 144/13 = 11 1/13 см (сумма 13 см). Ответ: 1 12/13 см и 11 1/13 см. 684. Используя утверждение 2°, п. 71, докажите теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С выполняется равенство АС2 + ВС2 = AB2. [рисунок 230: высота CD, проведённая к гипотенузе AB] Пусть CD — высота треугольника ABC, проведённая к гипотенузе (D лежит между A и B, поэтому AD + BD = AB). По утверждению 2°, катет есть ср