Геометрия · 8 КЛАСС

Упражнения 697–704 — Глава VIII. §4. Соотношения между сторонами и…

Страница 184 · Геометрия Атанасян 7-9 класс

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов · Просвещение, 2024 · 15-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава VIII. §4. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника — с. 184

697. Найдите синус, косинус и тангенс углов A и B треугольника ABC с прямым углом С, если: а) ВС = 8, AB = 17; б) ВС = 21, АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС = 24, AB = 25.
Для угла A: sin A = BC/AB, cos A = AC/AB, tg A = BC/AC. Для угла B (катет BC — прилежащий, AC — противолежащий): sin B = AC/AB, cos B = BC/AB, tg B = AC/BC.
а) AC = √(17² − 8²) = √225 = 15. sin A = 8/17, cos A = 15/17, tg A = 8/15; sin B = 15/17, cos B = 8/17, tg B = 15/8.
б) AB = √(21² + 20²) = √841 = 29. sin A = 21/29, cos A = 20/29, tg A = 21/20; sin B = 20/29, cos B = 21/29, tg B = 20/21.
в) AB = √(1 + 4) = √5. sin A = 1/√5 = √5/5, cos A = 2/√5 = 2√5/5, tg A = 1/2; sin B = 2√5/5, cos B = √5/5, tg B = 2.
г) BC = √(25² − 24²) = √49 = 7. sin A = 7/25, cos A = 24/25, tg A = 7/24; sin B = 24/25, cos B = 7/25, tg B = 24/7.
698. Постройте угол α, если: а) tg α = 1/2; б) tg α = 3/4; в) cos α = 0,2; г) cos α = 2/3; д) sin α = 1/2; е) sin α = 0,4.
Во всех случаях строим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и острым углом α при вершине A, задавая отношение двух его сторон. Для этого берём произвольный единичный отрезок e. Угол при вершине A искомый, так как синус, косинус и тангенс острого угла определяются отношением сторон прямоугольного треугольника и не зависят от размеров треугольника.
а) tg α = BC/AC = 1/2. Строим прямой угол C, откладываем AC = 2e и BC = e. Угол BAC = α.
б) tg α = 3/4. Строим прямой угол C, откладываем AC = 4e, BC = 3e. Угол BAC = α.
в) cos α = AC/AB = 0,2 = 1/5. Строим прямой угол C, на одной стороне откладываем CA = e. Циркулем с центром A и радиусом 5e делаем засечку B на другой стороне прямого угла. Угол BAC = α.
г) cos α = 2/3. Строим прямой угол C, откладываем CA = 2e, окружностью с центром A и радиусом 3e находим B на другой стороне. Угол BAC = α.
д) sin α = BC/AB = 1/2. Строим прямой угол C, откладываем CB = e, окружностью с центром B и радиусом 2e находим точку A на другой стороне прямого угла. Угол BAC = α (он равен 30°).
е) sin α = 0,4 = 2/5. Строим прямой угол C, откладываем CB = 2e, окружностью с центром B и радиусом 5e находим A на другой стороне. Угол BAC = α.
В каждом случае искомый угол α отмечен красной дугой при вершине A.
Проверка (например, в в)): для построенного треугольника cos A = AC/AB = e/5e = 0,2.
Построение углов по значению tg, cos, sinа) tg α = 1/2αACB21б) tg α = 3/4αACB43в) cos α = 0,2αACB15г) cos α = 2/3αACB23д) sin α = 1/2αACB12е) sin α = 0,4αACB25
699. Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1/4.
Используем sin²α + cos²α = 1 и tg α = sin α/cos α (α — острый угол, поэтому синус и косинус положительны).
а) sin α = √(1 − 1/4) = √3/2, tg α = (√3/2)/(1/2) = √3.
б) sin α = √(1 − 4/9) = √5/3, tg α = (√5/3)/(2/3) = √5/2.
в) cos α = √(1 − 3/4) = 1/2, tg α = (√3/2)/(1/2) = √3.
г) cos α = √(1 − 1/16) = √15/4, tg α = (1/4)/(√15/4) = 1/√15 = √15/15.
Ответ: а) √3/2 и √3; б) √5/3 и √5/2; в) 1/2 и √3; г) √15/4 и √15/15.
700. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а противолежащий угол равен β. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и β. б) Найдите их значения, если b = 10 см, β = 50°.
Пусть катет b лежит против угла β, a — другой катет, c — гипотенуза.
а) tg β = b/a, поэтому a = b/tg β. Второй острый угол (противолежащий катету a) равен 90° − β. sin β = b/c, поэтому c = b/sin β.
б) a = 10/tg 50° ≈ 10/1,1918 ≈ 8,39 см; угол 90° − 50° = 40°; c = 10/sin 50° ≈ 10/0,7660 ≈ 13,05 см.
Ответ: а) b/tg β; 90° − β; b/sin β; б) ≈ 8,39 см; 40°; ≈ 13,05 см.
701. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b = 12 см, α = 42°.
Пусть катет b прилежит к углу α, a — второй катет (против угла α), c — гипотенуза.
а) tg α = a/b, поэтому a = b·tg α. Острый угол, прилежащий ко второму катету, равен 90° − α. cos α = b/c, поэтому c = b/cos α.
б) a = 12·tg 42° ≈ 12·0,9004 ≈ 10,8 см; угол 90° − 42° = 48°; c = 12/cos 42° ≈ 12/0,7431 ≈ 16,1 см.
Ответ: а) b·tg α; 90° − α; b/cos α; б) ≈ 10,8 см; 48°; ≈ 16,1 см.
702. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен α. Выразите второй острый угол и катеты через с и α и найдите их значения, если с = 24 см, а α = 35°.
Второй острый угол равен 90° − α. Катет, противолежащий углу α: a = c·sin α. Катет, прилежащий к углу α: b = c·cos α.
При c = 24 см, α = 35°: второй угол 90° − 35° = 55°; a = 24·sin 35° ≈ 24·0,5736 ≈ 13,8 см; b = 24·cos 35° ≈ 24·0,8192 ≈ 19,7 см.
Ответ: 90° − α; c·sin α; c·cos α; 55°, ≈ 13,8 см, ≈ 19,7 см.
703. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Выразите через а и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при а = 12, b = 15.
Пусть α — угол, противолежащий катету a, β — угол, противолежащий катету b.
Гипотенуза c = √(a² + b²). tg α = a/b, tg β = b/a.
При a = 12, b = 15: c = √(144 + 225) = √369 ≈ 19,2; tg α = 12/15 = 0,8, α ≈ 38°40′; tg β = 15/12 = 1,25, β = 90° − α ≈ 51°20′.
Ответ: √(a² + b²); a/b и b/a; ≈ 19,2; 0,8 (≈ 38°40′) и 1,25 (≈ 51°20′).
704. Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если: а) боковая сторона равна b; б) основание равно а.
Пусть BH — высота к основанию AC; она же медиана, так что AH = AC/2, и △ABH прямоугольный с углом α при вершине A.
а) Боковая сторона AB = b: AH = b·cos α, BH = b·sin α, AC = 2b·cos α. S = (1/2)·AC·BH = (1/2)·2b·cos α·b·sin α = b²·sin α·cos α.
б) Основание AC = a: AH = a/2, BH = AH·tg α = (a/2)·tg α. S = (1/2)·a·(a/2)·tg α = (1/4)·a²·tg α.
Ответ: а) b²·sin α·cos α; б) (a²/4)·tg α.