Глава VIII. §4 (окончание). Вопросы для повторения к главе VIII — с. 185
705. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями 2 см и 6 см, если угол при большем основании равен α.
Пусть ABCD — трапеция, BC = 2 и AD = 6 — основания, BH — высота. В равнобедренной трапеции AH = (AD − BC)/2 = (6 − 2)/2 = 2 см.
В прямоугольном треугольнике ABH ∠A = α, поэтому BH = AH·tg α = 2·tg α.
S = (BC + AD)/2·BH = (2 + 6)/2·2·tg α = 8·tg α (см2).
Ответ: 8·tg α см2.
В прямоугольном треугольнике ABH ∠A = α, поэтому BH = AH·tg α = 2·tg α.
S = (BC + AD)/2·BH = (2 + 6)/2·2·tg α = 8·tg α (см2).
Ответ: 8·tg α см2.
706. Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней части ширину 60 м. Какова ширина насыпи в нижней её части, если угол наклона откосов равен 60°, а высота насыпи равна 12 м (рис. 240)? [рисунок 240: равнобедренная трапеция — сечение насыпи; верхнее основание 60 м, высота 12 м, углы при нижнем основании по 60°]
Сечение насыпи — равнобедренная трапеция: верхнее основание 60 м, высота 12 м, углы при нижнем основании 60°. Проведём высоты из концов верхнего основания: они отсекают по краям два прямоугольных треугольника с острым углом 60° и катетом 12 м (высота), лежащим против угла 60°.
Второй катет каждого треугольника (горизонтальный) x = 12/tg 60° = 12/√3 = 4√3 ≈ 6,93 м.
Нижнее основание = 60 + 2x = 60 + 8√3 ≈ 60 + 13,86 ≈ 73,9 м ≈ 74 м.
Ответ: ≈ 74 м.
Второй катет каждого треугольника (горизонтальный) x = 12/tg 60° = 12/√3 = 4√3 ≈ 6,93 м.
Нижнее основание = 60 + 2x = 60 + 8√3 ≈ 60 + 13,86 ≈ 73,9 м ≈ 74 м.
Ответ: ≈ 74 м.
707. Найдите углы ромба с диагоналями 2√3 и 2.
Диагонали ромба перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и делят углы ромба пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей: катеты √3 и 1.
Тангенс угла, лежащего против меньшего катета 1: tg φ = 1/√3, φ = 30°. Это половина острого угла ромба, значит острый угол равен 60°, а тупой 180° − 60° = 120°.
Ответ: 60°, 120°, 60°, 120°.
Тангенс угла, лежащего против меньшего катета 1: tg φ = 1/√3, φ = 30°. Это половина острого угла ромба, значит острый угол равен 60°, а тупой 180° − 60° = 120°.
Ответ: 60°, 120°, 60°, 120°.
708. Стороны прямоугольника равны 3 см и √3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.
Диагональ, сторона 3 см и сторона √3 см образуют прямоугольный треугольник. Угол φ между диагональю и стороной 3 см: tg φ = √3/3, φ = 30°. Угол между диагональю и другой стороной 90° − 30° = 60°.
Ответ: 30° и 60°.
Ответ: 30° и 60°.
709. В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50′. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне AB.
Так как BD ⊥ AB, треугольник ABD прямоугольный (∠ABD = 90°), AD = 12 см — его гипотенуза, ∠A = 47°50′.
AB = AD·cos A = 12·cos 47°50′ ≈ 12·0,6713 ≈ 8,06 см. BD = AD·sin A = 12·sin 47°50′ ≈ 12·0,7413 ≈ 8,90 см.
BD — высота параллелограмма, проведённая к стороне AB, поэтому S = AB·BD ≈ 8,06·8,90 ≈ 71,7 см2.
Ответ: ≈ 72 см2.
AB = AD·cos A = 12·cos 47°50′ ≈ 12·0,6713 ≈ 8,06 см. BD = AD·sin A = 12·sin 47°50′ ≈ 12·0,7413 ≈ 8,90 см.
BD — высота параллелограмма, проведённая к стороне AB, поэтому S = AB·BD ≈ 8,06·8,90 ≈ 71,7 см2.
Ответ: ≈ 72 см2.
Вопрос 1. Что называется отношением двух отрезков?
Отношением двух отрезков называется отношение их длин, измеренных одной и той же единицей. Оно показывает, во сколько раз один отрезок больше другого, и не зависит от выбора единицы измерения. Например, при AB = 15 см и CD = 20 см отношение AB : CD = 3 : 4.
Вопрос 2. В каком случае говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам А1В1 и C1D1?
Отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A1B1 и C1D1, если AB/A1B1 = CD/C1D1 (равны отношения соответствующих длин). Аналогично для трёх и большего числа отрезков: AB/A1B1 = BC/B1C1 = CD/C1D1.
Вопрос 3. Дайте определение подобных треугольников.
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. То есть △ABC ∼ △A1B1C1, если ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1 и AB/A1B1 = BC/B1C1 = CA/C1A1 = k. Сходственные стороны — стороны, лежащие против равных углов. Число k — коэффициент подобия.
Вопрос 4. Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей подобных треугольников.
Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство. Пусть △ABC ∼ △A1B1C1 с коэффициентом подобия k, S и S1 — их площади. Так как ∠A = ∠A1, то по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, S/S1 = (AB·AC)/(A1B1·A1C1) = (AB/A1B1)·(AC/A1C1). Но AB/A1B1 = k и AC/A1C1 = k (из определения подобия), поэтому S/S1 = k·k = k². Теорема доказана.
Доказательство. Пусть △ABC ∼ △A1B1C1 с коэффициентом подобия k, S и S1 — их площади. Так как ∠A = ∠A1, то по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, S/S1 = (AB·AC)/(A1B1·A1C1) = (AB/A1B1)·(AC/A1C1). Но AB/A1B1 = k и AC/A1C1 = k (из определения подобия), поэтому S/S1 = k·k = k². Теорема доказана.
Вопрос 5. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый признак подобия треугольников.
Теорема. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1. По теореме о сумме углов треугольника ∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − ∠A1 − ∠B1 = ∠C1. Значит, все углы треугольников соответственно равны.
Докажем пропорциональность сторон. Так как ∠A = ∠A1 и ∠C = ∠C1, то по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом S(ABC)/S(A1B1C1) = (AB·AC)/(A1B1·A1C1) и S(ABC)/S(A1B1C1) = (CA·CB)/(C1A1·C1B1). Приравнивая правые части и сокращая на CA/C1A1, получаем AB/A1B1 = CB/C1B1. Аналогично, используя равенства углов A и B, получаем BC/B1C1 = CA/C1A1. Итак, стороны пропорциональны, и треугольники подобны. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть в треугольниках ABC и A1B1C1 ∠A = ∠A1 и ∠B = ∠B1. По теореме о сумме углов треугольника ∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − ∠A1 − ∠B1 = ∠C1. Значит, все углы треугольников соответственно равны.
Докажем пропорциональность сторон. Так как ∠A = ∠A1 и ∠C = ∠C1, то по теореме об отношении площадей треугольников с равным углом S(ABC)/S(A1B1C1) = (AB·AC)/(A1B1·A1C1) и S(ABC)/S(A1B1C1) = (CA·CB)/(C1A1·C1B1). Приравнивая правые части и сокращая на CA/C1A1, получаем AB/A1B1 = CB/C1B1. Аналогично, используя равенства углов A и B, получаем BC/B1C1 = CA/C1A1. Итак, стороны пропорциональны, и треугольники подобны. Теорема доказана.
Вопрос 6. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй признак подобия треугольников.
Теорема. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть AB/A1B1 = AC/A1C1 и ∠A = ∠A1. По первому признаку достаточно доказать, что ∠B = ∠B1.
Построим треугольник ABC2, у которого ∠BAC2 = ∠A1 и ∠ABC2 = ∠B1 (C2 по ту же сторону от AB, что и C). Треугольники ABC2 и A1B1C1 подобны по первому признаку (два угла), поэтому AB/A1B1 = AC2/A1C1. По условию AB/A1B1 = AC/A1C1. Следовательно, AC = AC2.
Треугольники ABC и ABC2 равны по двум сторонам и углу между ними: AB общая, AC = AC2, ∠BAC = ∠A1 = ∠BAC2. Отсюда ∠B = ∠ABC2 = ∠B1. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть AB/A1B1 = AC/A1C1 и ∠A = ∠A1. По первому признаку достаточно доказать, что ∠B = ∠B1.
Построим треугольник ABC2, у которого ∠BAC2 = ∠A1 и ∠ABC2 = ∠B1 (C2 по ту же сторону от AB, что и C). Треугольники ABC2 и A1B1C1 подобны по первому признаку (два угла), поэтому AB/A1B1 = AC2/A1C1. По условию AB/A1B1 = AC/A1C1. Следовательно, AC = AC2.
Треугольники ABC и ABC2 равны по двум сторонам и углу между ними: AB общая, AC = AC2, ∠BAC = ∠A1 = ∠BAC2. Отсюда ∠B = ∠ABC2 = ∠B1. Теорема доказана.
Вопрос 7. Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий признак подобия треугольников.
Теорема. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Доказательство. Пусть AB/A1B1 = BC/B1C1 = CA/C1A1. По второму признаку достаточно доказать, что ∠A = ∠A1.
Построим треугольник ABC2, у которого ∠BAC2 = ∠A1 и ∠ABC2 = ∠B1 (C2 по ту же сторону от AB, что и C). Он подобен треугольнику A1B1C1 по первому признаку, поэтому AB/A1B1 = BC2/B1C1 = C2A/C1A1. Сравнивая с данными равенствами, получаем BC = BC2 и CA = C2A. Тогда треугольники ABC и ABC2 равны по трём сторонам (AB общая), значит ∠BAC = ∠BAC2 = ∠A1. Итак, ∠A = ∠A1, и треугольники подобны по второму признаку. Теорема доказана.
Доказательство. Пусть AB/A1B1 = BC/B1C1 = CA/C1A1. По второму признаку достаточно доказать, что ∠A = ∠A1.
Построим треугольник ABC2, у которого ∠BAC2 = ∠A1 и ∠ABC2 = ∠B1 (C2 по ту же сторону от AB, что и C). Он подобен треугольнику A1B1C1 по первому признаку, поэтому AB/A1B1 = BC2/B1C1 = C2A/C1A1. Сравнивая с данными равенствами, получаем BC = BC2 и CA = C2A. Тогда треугольники ABC и ABC2 равны по трём сторонам (AB общая), значит ∠BAC = ∠BAC2 = ∠A1. Итак, ∠A = ∠A1, и треугольники подобны по второму признаку. Теорема доказана.
Вопрос 8. Какой отрезок называется средней линией треугольника?
Сформулируйте и докажите теорему о средней линии треугольника.
Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Доказательство. Пусть MN — средняя линия треугольника ABC (M — середина AB, N — середина BC). Треугольники BMN и BAC подобны по второму признаку: угол B общий и BM/BA = BN/BC = 1/2. Из подобия ∠BMN = ∠BAC, а эти углы соответственные при прямых MN и AC и секущей AB; поэтому MN ∥ AC. Из подобия также MN/AC = 1/2, то есть MN = AC/2. Теорема доказана.
Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Доказательство. Пусть MN — средняя линия треугольника ABC (M — середина AB, N — середина BC). Треугольники BMN и BAC подобны по второму признаку: угол B общий и BM/BA = BN/BC = 1/2. Из подобия ∠BMN = ∠BAC, а эти углы соответственные при прямых MN и AC и секущей AB; поэтому MN ∥ AC. Из подобия также MN/AC = 1/2, то есть MN = AC/2. Теорема доказана.
Вопрос 9. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Пусть AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, O — точка их пересечения, A1B1 — средняя линия треугольника. Она параллельна AB, и A1B1 = AB/2. Углы OAB и OA1B1, а также OBA и OB1A1 равны как накрест лежащие при параллельных AB и A1B1. Поэтому △AOB ∼ △A1OB1 по двум углам, и AO/A1O = BO/B1O = AB/A1B1 = 2. Значит AO = 2·A1O и BO = 2·B1O: точка O делит каждую из медиан AA1 и BB1 в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Аналогично медиана CC1 пересекается с медианой BB1 в точке, делящей BB1 в отношении 2 : 1 от вершины B. Но на отрезке BB1 такая точка единственна, значит это та же точка O. Итак, все три медианы пересекаются в точке O и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Аналогично медиана CC1 пересекается с медианой BB1 в точке, делящей BB1 в отношении 2 : 1 от вершины B. Но на отрезке BB1 такая точка единственна, значит это та же точка O. Итак, все три медианы пересекаются в точке O и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Вопрос 10. Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.
Утверждение. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет его на два прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному и они подобны друг другу.
Доказательство. Пусть в △ABC ∠C = 90°, CD — высота к гипотенузе AB. Треугольники ABC и ACD подобны по первому признаку: угол A общий, ∠ACB = ∠ADC = 90°. Треугольники ABC и CBD подобны: угол B общий, ∠ACB = ∠BDC = 90°; при этом ∠A = ∠BCD. Наконец, △ACD и △CBD подобны по двум углам: ∠ADC = ∠CDB = 90° и ∠A = ∠BCD. Значит △ABC ∼ △ACD ∼ △CBD.
Доказательство. Пусть в △ABC ∠C = 90°, CD — высота к гипотенузе AB. Треугольники ABC и ACD подобны по первому признаку: угол A общий, ∠ACB = ∠ADC = 90°. Треугольники ABC и CBD подобны: угол B общий, ∠ACB = ∠BDC = 90°; при этом ∠A = ∠BCD. Наконец, △ACD и △CBD подобны по двум углам: ∠ADC = ∠CDB = 90° и ∠A = ∠BCD. Значит △ABC ∼ △ACD ∼ △CBD.
Вопрос 11. Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике.
Пусть △ABC — прямоугольный, ∠C = 90°, CD — высота, проведённая к гипотенузе AB. Тогда △ADC ∼ △CDB ∼ △ACB.
Утверждение 1°. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые она делит гипотенузу: CD = √(AD·DB).
Доказательство. Из подобия △ADC ∼ △CDB: AD/CD = CD/DB, откуда CD² = AD·DB.
Утверждение 2°. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между этим катетом и высотой: AC = √(AB·AD).
Доказательство. Из подобия △ABC ∼ △ACD: AB/AC = AC/AD, откуда AC² = AB·AD. Аналогично BC² = AB·BD.
Утверждение 1°. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые она делит гипотенузу: CD = √(AD·DB).
Доказательство. Из подобия △ADC ∼ △CDB: AD/CD = CD/DB, откуда CD² = AD·DB.
Утверждение 2°. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между этим катетом и высотой: AC = √(AB·AD).
Доказательство. Из подобия △ABC ∼ △ACD: AB/AC = AC/AD, откуда AC² = AB·AD. Аналогично BC² = AB·BD.