Глава VIII. Вопросы для повторения (окончание). Дополнительные задачи — с. 186
Вопрос 12. Приведите пример решения задачи на построение методом подобия.
Пример: построить треугольник по двум углам и биссектрисе при вершине третьего угла.
Пусть даны углы α, β и отрезок l.
1) Строим произвольный отрезок A1B1 и треугольник A1B1C, у которого ∠A1 = α, ∠B1 = β. Он подобен искомому (по двум углам).
2) Строим биссектрису угла C и откладываем на ней от точки C отрезок CD = l.
3) Через точку D проводим прямую, параллельную A1B1; она пересекает стороны угла C в точках A и B.
Треугольник ABC искомый: AB ∥ A1B1, значит △ABC ∼ △A1B1C, углы A и B равны α и β, а биссектриса при вершине C равна CD = l.
Суть метода: сначала по части данных (здесь по двум углам) строим фигуру, подобную искомой, а затем с помощью оставшихся данных (длина биссектрисы) подбираем нужный размер.
Пусть даны углы α, β и отрезок l.
1) Строим произвольный отрезок A1B1 и треугольник A1B1C, у которого ∠A1 = α, ∠B1 = β. Он подобен искомому (по двум углам).
2) Строим биссектрису угла C и откладываем на ней от точки C отрезок CD = l.
3) Через точку D проводим прямую, параллельную A1B1; она пересекает стороны угла C в точках A и B.
Треугольник ABC искомый: AB ∥ A1B1, значит △ABC ∼ △A1B1C, углы A и B равны α и β, а биссектриса при вершине C равна CD = l.
Суть метода: сначала по части данных (здесь по двум углам) строим фигуру, подобную искомой, а затем с помощью оставшихся данных (длина биссектрисы) подбираем нужный размер.
Вопрос 13. Расскажите, как определить на местности высоту предмета и расстояние до недоступной точки.
Высота предмета. Ставим на расстоянии от столба шест AC с вращающейся планкой и направляем планку на верхнюю точку A1 столба. Отмечаем точку B на земле, где прямая A1A пересекает землю. Прямоугольные треугольники A1C1B и ACB подобны (угол B общий, прямые углы при C и C1), поэтому A1C1/AC = BC1/BC, откуда A1C1 = AC·BC1/BC. Измерив BC1, BC и AC, находим высоту A1C1.
Расстояние до недоступной точки. Чтобы найти расстояние от пункта A до недоступного пункта B, выбираем точку C, измеряем AC и астролябией углы A и C. На бумаге строим треугольник A1B1C1 с ∠A1 = ∠A и ∠C1 = ∠C, измеряем A1B1 и A1C1. Треугольники ABC и A1B1C1 подобны по двум углам, поэтому AB/A1B1 = AC/A1C1, откуда AB = AC·A1B1/A1C1.
Расстояние до недоступной точки. Чтобы найти расстояние от пункта A до недоступного пункта B, выбираем точку C, измеряем AC и астролябией углы A и C. На бумаге строим треугольник A1B1C1 с ∠A1 = ∠A и ∠C1 = ∠C, измеряем A1B1 и A1C1. Треугольники ABC и A1B1C1 подобны по двум углам, поэтому AB/A1B1 = AC/A1C1, откуда AB = AC·A1B1/A1C1.
Вопрос 14. Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия фигур?
Фигуры одинаковой формы, но, может быть, разных размеров, называются подобными (например, любые два квадрата, любые два круга; футбольный и теннисный мячи). Для подобных фигур каждой точке и каждому отрезку одной фигуры соответствуют точка и отрезок другой, и отношение длин сходственных отрезков одно и то же для всех пар. Это число k называют коэффициентом подобия. Для подобных треугольников коэффициент подобия — отношение сходственных сторон.
Вопрос 15. Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла прямоугольного треугольника?
Пусть в прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, A — острый угол.
Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = BC/AB.
Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = AC/AB.
Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg A = BC/AC.
Тангенс равен отношению синуса к косинусу: tg A = sin A/cos A.
Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = BC/AB.
Косинус острого угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = AC/AB.
Тангенс острого угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: tg A = BC/AC.
Тангенс равен отношению синуса к косинусу: tg A = sin A/cos A.
Вопрос 16. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
Пусть ABC и A1B1C1 — прямоугольные треугольники с прямыми углами C и C1 и равными острыми углами A и A1. Тогда △ABC ∼ △A1B1C1 по первому признаку подобия (два угла), и AB/A1B1 = BC/B1C1 = AC/A1C1.
Из равенства AB/A1B1 = BC/B1C1 следует BC/AB = B1C1/A1B1, то есть sin A = sin A1.
Из AB/A1B1 = AC/A1C1 следует AC/AB = A1C1/A1B1, то есть cos A = cos A1.
Из BC/B1C1 = AC/A1C1 следует BC/AC = B1C1/A1C1, то есть tg A = tg A1. Что и требовалось доказать.
Из равенства AB/A1B1 = BC/B1C1 следует BC/AB = B1C1/A1B1, то есть sin A = sin A1.
Из AB/A1B1 = AC/A1C1 следует AC/AB = A1C1/A1B1, то есть cos A = cos A1.
Из BC/B1C1 = AC/A1C1 следует BC/AC = B1C1/A1C1, то есть tg A = tg A1. Что и требовалось доказать.
Вопрос 17. Какое равенство называют основным тригонометрическим тождеством?
Основным тригонометрическим тождеством называют равенство sin²A + cos²A = 1 (для любого острого угла A).
Доказательство. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) sin A = BC/AB, cos A = AC/AB, поэтому sin²A + cos²A = (BC² + AC²)/AB². По теореме Пифагора BC² + AC² = AB², значит sin²A + cos²A = 1.
Доказательство. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) sin A = BC/AB, cos A = AC/AB, поэтому sin²A + cos²A = (BC² + AC²)/AB². По теореме Пифагора BC² + AC² = AB², значит sin²A + cos²A = 1.
Вопрос 18. Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°?
Ответ обоснуйте.
Таблица: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3; sin 45° = √2/2, cos 45° = √2/2, tg 45° = 1; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3.
Обоснование для 30° и 60°. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) с ∠A = 30°, ∠B = 60° катет BC, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы: BC/AB = 1/2. Поэтому sin 30° = BC/AB = 1/2 и cos 60° = BC/AB = 1/2. Из основного тригонометрического тождества cos 30° = √(1 − 1/4) = √3/2, sin 60° = √(1 − 1/4) = √3/2. Тогда tg 30° = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3, tg 60° = (√3/2)/(1/2) = √3.
Обоснование для 45°. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами AC = BC и ∠A = ∠B = 45°. По теореме Пифагора AB² = 2·AC², AB = AC√2. Тогда sin 45° = BC/AB = 1/√2 = √2/2, cos 45° = AC/AB = √2/2, tg 45° = BC/AC = 1.
Обоснование для 30° и 60°. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) с ∠A = 30°, ∠B = 60° катет BC, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы: BC/AB = 1/2. Поэтому sin 30° = BC/AB = 1/2 и cos 60° = BC/AB = 1/2. Из основного тригонометрического тождества cos 30° = √(1 − 1/4) = √3/2, sin 60° = √(1 − 1/4) = √3/2. Тогда tg 30° = (1/2)/(√3/2) = 1/√3 = √3/3, tg 60° = (√3/2)/(1/2) = √3.
Обоснование для 45°. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами AC = BC и ∠A = ∠B = 45°. По теореме Пифагора AB² = 2·AC², AB = AC√2. Тогда sin 45° = BC/AB = 1/√2 = √2/2, cos 45° = AC/AB = √2/2, tg 45° = BC/AC = 1.
710. Треугольники ABC и А1В1С1 подобны, AB = 6 см, ВС = 9 см, СА = 10 см. Наибольшая сторона треугольника A1B1C1 равна 7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника А1В1С1.
В треугольнике ABC наибольшая сторона CA = 10 см. Сходственная ей сторона C1A1 = 7,5 см — наибольшая в A1B1C1. Коэффициент подобия (A1B1C1 к ABC) k = 7,5/10 = 0,75.
A1B1 = 0,75·6 = 4,5 см; B1C1 = 0,75·9 = 6,75 см.
Ответ: 4,5 см и 6,75 см.
A1B1 = 0,75·6 = 4,5 см; B1C1 = 0,75·9 = 6,75 см.
Ответ: 4,5 см и 6,75 см.
711. Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что АС2 = a·b, где a и b — основания трапеции.
Пусть BC = b и AD = a — основания (BC ∥ AD). Диагональ AC делит трапецию на △ABC и △ACD, и они подобны. По условию ∠BCA = ∠CAD (накрест лежащие при BC ∥ AD).
Остальные два угла △ABC (∠B и ∠BAC) должны быть равны остальным двум углам △ACD (∠D и ∠ACD) в некотором порядке. Если бы ∠BAC = ∠ACD, то AB ∥ CD (накрест лежащие), и ABCD был бы параллелограммом, а не трапецией. Поэтому ∠BAC = ∠D и ∠B = ∠ACD.
Итак, в подобных треугольниках равны углы: ∠BCA = ∠CAD, ∠BAC = ∠D, ∠B = ∠ACD. Стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны: AB/CD = BC/AC = CA/AD.
Из BC/AC = AC/AD получаем AC² = BC·AD = a·b. Что и требовалось доказать.
Остальные два угла △ABC (∠B и ∠BAC) должны быть равны остальным двум углам △ACD (∠D и ∠ACD) в некотором порядке. Если бы ∠BAC = ∠ACD, то AB ∥ CD (накрест лежащие), и ABCD был бы параллелограммом, а не трапецией. Поэтому ∠BAC = ∠D и ∠B = ∠ACD.
Итак, в подобных треугольниках равны углы: ∠BCA = ∠CAD, ∠BAC = ∠D, ∠B = ∠ACD. Стороны, лежащие против равных углов, пропорциональны: AB/CD = BC/AC = CA/AD.
Из BC/AC = AC/AD получаем AC² = BC·AD = a·b. Что и требовалось доказать.
712. Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О. Найдите отношение OK : ON, если MN = 5 см, NP = 3 см, МР = 7 см.
D лежит на NP, K лежит на MP. По свойству биссектрисы NK треугольника MNP: MK/KP = MN/NP = 5/3, поэтому MK = MP·5/8 = 7·5/8 = 35/8 см.
В треугольнике MNK отрезок MO — биссектриса угла M (O лежит на MD). По свойству биссектрисы OK/ON = MK/MN = (35/8)/5 = 7/8.
Ответ: 7/8.
В треугольнике MNK отрезок MO — биссектриса угла M (O лежит на MD). По свойству биссектрисы OK/ON = MK/MN = (35/8)/5 = 7/8.
Ответ: 7/8.
713. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне как 4 : 3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.
Пусть ABC — равнобедренный, AC — основание, BH = 30 см — высота (она же медиана), AP — биссектриса угла A, P на BH. Пусть AC = 4t, AB = 3t, тогда AH = 2t.
В треугольнике ABH отрезок AP — биссектриса угла A, поэтому BP/PH = AB/AH = 3t/2t = 3/2.
BP + PH = 30, значит BP = 30·3/5 = 18 см, PH = 12 см.
Ответ: 18 см и 12 см (считая от вершины 18 см).
В треугольнике ABH отрезок AP — биссектриса угла A, поэтому BP/PH = AB/AH = 3t/2t = 3/2.
BP + PH = 30, значит BP = 30·3/5 = 18 см, PH = 12 см.
Ответ: 18 см и 12 см (считая от вершины 18 см).
714. На продолжении боковой стороны ОВ равнобедренного треугольника AOB с основанием AB взята точка С так, что точка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает биссектрису угла AOB в точке М. Докажите, что АМ < МС.
В треугольнике OAC отрезок OM — биссектриса угла O (по условию это биссектриса угла AOB, а ∠AOC = ∠AOB). По свойству биссектрисы AM/MC = OA/OC.
Так как OA = OB (треугольник AOB равнобедренный) и OC = OB + BC > OB = OA, то OA/OC < 1.
Следовательно AM/MC < 1, то есть AM < MC. Что и требовалось доказать.
Так как OA = OB (треугольник AOB равнобедренный) и OC = OB + BC > OB = OA, то OA/OC < 1.
Следовательно AM/MC < 1, то есть AM < MC. Что и требовалось доказать.
715. На стороне ВС треугольника ABC взята точка D так, что BD/AB = DC/AC. Докажите, что AD — биссектриса треугольника ABC.
Пусть AD1 — биссектриса треугольника ABC (D1 лежит на BC). По задаче 642 BD1/AB = D1C/AC, то есть BD1/D1C = AB/AC. По условию BD/DC = AB/AC. Значит BD/DC = BD1/D1C.
Прибавим к обеим частям 1: (BD + DC)/DC = (BD1 + D1C)/D1C, то есть BC/DC = BC/D1C, откуда DC = D1C. Точки D и D1 лежат на отрезке BC на одинаковом расстоянии от C, поэтому они совпадают. Значит AD — биссектриса. Что и требовалось доказать.
Прибавим к обеим частям 1: (BD + DC)/DC = (BD1 + D1C)/D1C, то есть BC/DC = BC/D1C, откуда DC = D1C. Точки D и D1 лежат на отрезке BC на одинаковом расстоянии от C, поэтому они совпадают. Значит AD — биссектриса. Что и требовалось доказать.