Геометрия Атанасян 7-9 класс, страница 170 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава VIII. §2. Признаки подобия треугольников (задачи) — с. 170 661. Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, равные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке М. Найдите расстояния от точки М до концов меньшего основания. Пусть BC = 5 см — меньшее основание, AD = 8 см — большее, AB = 3,6 см, CD = 3,9 см, M — точка пересечения прямых AB и CD (B между A и M, C между D и M). BC ∥ AD, поэтому △MBC ∼ △MAD по двум углам, и MB/MA = MC/MD = BC/AD = 5/8. MB/(MB + 3,6) = 5/8: 8·MB = 5·MB + 18, MB = 6 см. MC/(MC + 3,9) = 5/8: 8·MC = 5·MC + 19,5, MC = 6,5 см. Ответ: 6 см и 6,5 см. 662. Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах AB, ВС и СА треугольника ABC, причём MN || AC, NP || AB. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если: а) AB = 10 см, АС = 15 см, PN : MN = 2 : 3; б) АМ = АР, AB = а, АС = b. Так как MN ∥ AP и NP ∥ AM, то AMNP — параллелограмм, его противоположные стороны равны: AM = PN, AP = MN. а) Пусть PN = AM = 2t, MN = AP = 3t. △BMN ∼ △BAC (MN ∥ AC), поэтому MN/AC = BM/AB, то есть 3t/15 = (10 − 2t)/10. Отсюда 3t/15 = t/5, значит t/5 = (10 − 2t)/10, 2t = 10 − 2t, t = 2,5. AM = PN = 5 см, AP = MN = 7,5 см. б) Если AM = AP, то параллелограмм AMNP — ромб, все стороны равны x. △BMN ∼ △BAC: MN/AC = BM/AB, x/b = (a − x)/a, ax = ab − bx, x = ab/(a + b). Ответ: а) 5 см, 5 см, 7,5 см, 7,5 см; б) все стороны равны ab/(a + b). 663. Стороны угла О пересечены параллельными прямыми AB и CD. Докажите, что отрезки ОА и АС пропорциональны отрезкам ОВ и BD (рис. 225). [рисунок 225: угол с вершиной O, на одной стороне точки A и C, на другой B и D, AB ∥ CD, через A проведена прямая AC1 ∥ BD] Нужно доказать, что OA/AC = OB/BD. Проведём через точку A прямую AC1, параллельную прямой BD; она пересекает CD в точке C1. Треугольники OAB и ACC1 подобны по двум углам: ∠O = ∠CAC1 (соответственные углы при параллельных AC1 и OD и секущей OC), ∠OAB = ∠C (соответственные углы при параллельных AB и CD и секущей OC). Значит OA/AC = OB/AC1. Четырёхугольник ABDC1 — параллелограмм (AB ∥ C1D по условию, AC1 ∥ BD по построению), поэтому AC1 = BD. Подставляя, получаем OA/AC = OB/BD. Что и требовалось доказать. 664. Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и DE, причём точки В и D лежат на одной стороне угла, а С и E — на другой. Найдите: а) АС, если СЕ = 10 см, АD = 22 см, BD = 8 см; б) BD и DE, если AB = 10 см, АС = 8 см, ВС = 4 см, СЕ = 4 см; в) ВС, если AB : BD = 2 : 1 и DE = 12 см. Так как BC ∥ DE, △ABC ∼ △ADE (общий угол A, соответственные углы при паралл