Глава VIII. §2. Признаки подобия треугольников (задачи) — с. 169
657. По данным рисунка 224 найдите х и у. [рисунок 224: вверху два прямоугольных треугольника с общей вершиной на прямой; левый с катетами 8 и 12 и углом α при вершине на прямой, правый с катетом 6 на прямой и катетом x, угол α при верхней вершине рядом с x; внизу большой прямоугольный треугольник с катетами у и 20 + 8, из него отсечён малый прямоугольный треугольник с катетом 8 на основании и гипотенузой 10]
Верхняя часть. Левый треугольник прямоугольный, катет 8 лежит против угла α, катет 12 прилежит к нему. В правом треугольнике угол α — при верхней вершине, против него лежит катет 6, а прилежит катет x. Прямоугольные треугольники с равным острым углом α подобны (первый признак), поэтому 8/6 = 12/x, откуда x = 6·12/8 = 9.
Нижняя часть. Малый прямоугольный треугольник имеет катет 8 и гипотенузу 10, значит его второй катет равен √(100 − 64) = 6. Большой прямоугольный треугольник (катеты у и 20 + 8 = 28) и малый имеют общий острый угол при правой вершине, поэтому подобны по двум углам. Гипотенуза малого лежит на гипотенузе большого. Тогда у/6 = 28/8, откуда у = 6·28/8 = 21.
Ответ: x = 9, y = 21.
Оговорка: принято, что гипотенуза большого треугольника и сторона 10 лежат на одной прямой, как показано на рисунке.
Нижняя часть. Малый прямоугольный треугольник имеет катет 8 и гипотенузу 10, значит его второй катет равен √(100 − 64) = 6. Большой прямоугольный треугольник (катеты у и 20 + 8 = 28) и малый имеют общий острый угол при правой вершине, поэтому подобны по двум углам. Гипотенуза малого лежит на гипотенузе большого. Тогда у/6 = 28/8, откуда у = 6·28/8 = 21.
Ответ: x = 9, y = 21.
Оговорка: принято, что гипотенуза большого треугольника и сторона 10 лежат на одной прямой, как показано на рисунке.
658. На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите: а) EF и FC, если DE = 8 см, ЕС = 4 см, ВС = 7 см, АЕ = 10 см; б) DE и ЕС, если AB = 8 см, AD = 5 см, CF = 2 см.
Так как AD ∥ BC (противоположные стороны параллелограмма), то AD ∥ CF. Треугольники ADE и FCE подобны по двум углам: ∠AED = ∠FEC (вертикальные), ∠DAE = ∠CFE (накрест лежащие при AD ∥ CF и секущей AF). Поэтому AD/FC = DE/CE = AE/FE.
а) DE/CE = 8/4 = 2, значит AE/EF = 2, EF = 10/2 = 5 см. AD = BC = 7 см, AD/FC = 2, FC = 3,5 см.
б) AD/FC = 5/2, значит DE/CE = 5/2. CD = AB = 8 см, DE + CE = 8. Пусть DE = 5t, CE = 2t, 7t = 8, t = 8/7. DE = 40/7 = 5 5/7 см, CE = 16/7 = 2 2/7 см.
Ответ: а) EF = 5 см, FC = 3,5 см; б) DE = 5 5/7 см, EC = 2 2/7 см.
а) DE/CE = 8/4 = 2, значит AE/EF = 2, EF = 10/2 = 5 см. AD = BC = 7 см, AD/FC = 2, FC = 3,5 см.
б) AD/FC = 5/2, значит DE/CE = 5/2. CD = AB = 8 см, DE + CE = 8. Пусть DE = 5t, CE = 2t, 7t = 8, t = 8/7. DE = 40/7 = 5 5/7 см, CE = 16/7 = 2 2/7 см.
Ответ: а) EF = 5 см, FC = 3,5 см; б) DE = 5 5/7 см, EC = 2 2/7 см.
659. Диагонали трапеции ABCD с основаниями AB и CD пересекаются в точке О. Найдите: а) AB, если ОВ = 4 см, OD = 10 см, DC = 25 см; б) AO/OC и BO/OD, если AB = а, DC = b; в) АО, если AB = 9,6 дм, DC = 24 см, АС = 15 см.
Так как AB ∥ DC, треугольники AOB и COD подобны по двум углам (∠AOB = ∠COD как вертикальные, ∠OAB = ∠OCD как накрест лежащие). Поэтому AO/OC = BO/OD = AB/DC.
а) AB/DC = OB/OD, AB = 25·4/10 = 10 см.
б) AO/OC = BO/OD = AB/DC = a/b.
в) AB = 9,6 дм = 96 см. AO/OC = 96/24 = 4, значит AO = 4/5·AC = 4/5·15 = 12 см.
Ответ: а) 10 см; б) AO/OC = BO/OD = a/b; в) 12 см.
а) AB/DC = OB/OD, AB = 25·4/10 = 10 см.
б) AO/OC = BO/OD = AB/DC = a/b.
в) AB = 9,6 дм = 96 см. AO/OC = 96/24 = 4, значит AO = 4/5·AC = 4/5·15 = 12 см.
Ответ: а) 10 см; б) AO/OC = BO/OD = a/b; в) 12 см.
660. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу?
Ответ обоснуйте.
а) Не всегда. Острый угол может быть как углом при основании, так и углом при вершине. Например, у одного треугольника углы при основании по 70° (угол при вершине 40°), у другого угол при вершине 70° (углы при основании по 55°). Острые углы по 70° есть у обоих, но углы треугольников разные, поэтому они не подобны.
б) Да. Тупой угол равнобедренного треугольника может быть только углом при вершине (углы при основании равны и острые, иначе сумма углов больше 180°). Углы при основании равны (180° − φ)/2, где φ — данный тупой угол. У обоих треугольников углы соответственно равны, значит они подобны по двум углам.
в) Да. Прямой угол может быть только при вершине, углы при основании по 45°. Углы у обоих треугольников 90°, 45°, 45°, значит треугольники подобны.
Ответ: а) не всегда; б) да; в) да.
б) Да. Тупой угол равнобедренного треугольника может быть только углом при вершине (углы при основании равны и острые, иначе сумма углов больше 180°). Углы при основании равны (180° − φ)/2, где φ — данный тупой угол. У обоих треугольников углы соответственно равны, значит они подобны по двум углам.
в) Да. Прямой угол может быть только при вершине, углы при основании по 45°. Углы у обоих треугольников 90°, 45°, 45°, значит треугольники подобны.
Ответ: а) не всегда; б) да; в) да.