Геометрия · 8 КЛАСС

Упражнения 643–652 — Глава VIII. §1. Подобные треугольники (задачи)

Страница 166 · Геометрия Атанасян 7-9 класс

Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов · Просвещение, 2024 · 15-е издание, стереотипное

Оглавление

Глава VIII. §1. Подобные треугольники (задачи) — с. 166

643. Отрезок BD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите: а) AB, если ВС = 9 см, АD = 7,5 см, DC = 4,5 см; б) DC, если AB = 30, AD = 20, ВС = 16.
Биссектриса BD делит сторону AC на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: AD/DC = AB/BC (задача 642).
а) AB = BC·AD/DC = 9·7,5/4,5 = 15 (см).
б) 30/16 = 20/DC, откуда DC = 20·16/30 = 32/3 = 10 2/3.
Ответ: а) 15 см; б) 10 2/3.
644. Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD и DC, если AB = 14 см, ВС = 20 см, АС = 21 см.
По свойству биссектрисы BD/DC = AB/AC = 14/21 = 2/3. Значит, BD = 2t, DC = 3t, а BD + DC = BC = 20, 5t = 20, t = 4.
BD = 8 см, DC = 12 см.
Ответ: BD = 8 см, DC = 12 см.
645. Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону ВС на отрезки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 см. Найдите AB и АС, если периметр треугольника ABC равен 42 см.
BC = 4,5 + 13,5 = 18 см. По свойству биссектрисы AB/AC = BD/CD = 13,5/4,5 = 3, значит AB = 3·AC.
Периметр: AB + AC + BC = 3·AC + AC + 18 = 42, 4·AC = 24, AC = 6 см, AB = 18 см.
Ответ: AB = 18 см, AC = 6 см.
646. В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и МK. Найдите отрезки NE и ЕK, если MN = 7 см, NK = 6 см, MK = 5 см.
Вершины M и E ромба MDEF противоположные, поэтому ME — диагональ ромба. Диагональ ромба делит его угол пополам, значит ME — биссектриса угла M треугольника MNK.
По свойству биссектрисы NE/EK = MN/MK = 7/5. Пусть NE = 7t, EK = 5t, тогда 12t = NK = 6, t = 0,5.
NE = 3,5 см, EK = 2,5 см.
Ответ: NE = 3,5 см, EK = 2,5 см.
647. Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и N лежат соответственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и DE, если CF = 8 см, EF = 12 см.
Вершины D и F ромба DMFN противоположные, поэтому DF — диагональ ромба и биссектриса угла D треугольника CDE.
По свойству биссектрисы CD/DE = CF/FE = 8/12 = 2/3. Пусть CD = 2t, DE = 3t.
CE = 8 + 12 = 20 см. Периметр: 2t + 3t + 20 = 55, 5t = 35, t = 7.
CD = 14 см, DE = 21 см.
Ответ: CD = 14 см, DE = 21 см.
648. Подобны ли треугольники ABC и DEF, если ∠A = 106°, ∠B = 34°, ∠E = 106°, ∠F = 40°, АС = 4,4 см, AB = 5,2 см, ВС = 7,6 см, DE = 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см?
В треугольнике ABC ∠C = 180° − 106° − 34° = 40°. В треугольнике DEF ∠D = 180° − 106° − 40° = 34°.
Итак, ∠A = ∠E = 106°, ∠B = ∠D = 34°, ∠C = ∠F = 40°: углы соответственно равны.
Проверим стороны, лежащие против равных углов: BC/DF = 7,6/22,8 = 1/3, AC/EF = 4,4/13,2 = 1/3, AB/DE = 5,2/15,6 = 1/3. Стороны пропорциональны.
Углы равны, стороны пропорциональны, значит треугольники подобны (по определению; к тому же достаточно равенства двух углов).
Ответ: да, подобны, коэффициент подобия 1/3.
649. В подобных треугольниках ABC и KMN стороны AB и KM, ВС и MN являются сходственными. Найдите стороны треугольника KMN, если AB = 4 см, ВС = 5 см, СА = 7 см, KM/AB = 2,1.
Коэффициент подобия k = KM/AB = 2,1. Сходственные стороны: AB и KM, BC и MN, значит CA и NK тоже сходственные.
KM = 2,1·4 = 8,4 см; MN = 2,1·5 = 10,5 см; NK = 2,1·7 = 14,7 см.
Ответ: KM = 8,4 см, MN = 10,5 см, NK = 14,7 см.
650. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённых к этим сторонам.
Пусть △ABC ∼ △A1B1C1 с коэффициентом подобия k, а CH и C1H1 — высоты, проведённые к сходственным сторонам AB и A1B1. Нужно доказать, что CH/C1H1 = AB/A1B1 = k.
Площади треугольников: S = (1/2)·AB·CH и S1 = (1/2)·A1B1·C1H1, поэтому S/S1 = (AB/A1B1)·(CH/C1H1) = k·(CH/C1H1).
С другой стороны, по теореме об отношении площадей подобных треугольников S/S1 = k².
Приравниваем: k·(CH/C1H1) = k², откуда CH/C1H1 = k = AB/A1B1. Что и требовалось доказать.
651. Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2. Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сходственную ей сторону первого треугольника.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: k² = 75/300 = 1/4, где k — коэффициент подобия первого треугольника ко второму. Значит k = 1/2.
Сходственная сторона первого треугольника равна 9·(1/2) = 4,5 м.
Ответ: 4,5 м.
652. Треугольники ABC и А1В1С1 подобны, и их сходственные стороны относятся как 6 : 5. Площадь треугольника ABC больше площади треугольника А1В1С1 на 77 см2. Найдите площади треугольников.
Коэффициент подобия k = 6/5, поэтому S(ABC)/S(A1B1C1) = k² = 36/25. Пусть S(A1B1C1) = 25x, тогда S(ABC) = 36x.
По условию 36x − 25x = 77, 11x = 77, x = 7.
S(A1B1C1) = 175 см2, S(ABC) = 252 см2.
Ответ: 252 см2 и 175 см2.