Глава VIII. Подобные треугольники. §1. Подобные треугольники — с. 165
640. Найдите отношение отрезков AB и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение, если длины отрезков выразить в миллиметрах?
Отношение отрезков — это отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах.
AB : CD = 15 : 20 = 3 : 4.
В миллиметрах AB = 150 мм, CD = 200 мм, и AB : CD = 150 : 200 = 3 : 4. Обе длины умножились на одно и то же число 10, поэтому отношение не изменилось.
Ответ: 3/4; нет, не изменится.
AB : CD = 15 : 20 = 3 : 4.
В миллиметрах AB = 150 мм, CD = 200 мм, и AB : CD = 150 : 200 = 3 : 4. Обе длины умножились на одно и то же число 10, поэтому отношение не изменилось.
Ответ: 3/4; нет, не изменится.
641. Пропорциональны ли изображённые на рисунке 221, а) отрезки: а) AC, CD и M1M2, MM1; б) AB, BC, CD и MM2, MM1, M1M2; в) AB, BD и MM1, M1M2? [рисунок 221, а): отрезок ABCD с равными делениями и отрезок MM1M2 с теми же делениями]
Примем за единицу длины отрезок MM1. По рисунку: MM1 = 1, M1M2 = 2, MM2 = 3; AB = 9, BC = 3, CD = 6, AC = 12, BD = 9.
а) AC : M1M2 = 12 : 2 = 6 и CD : MM1 = 6 : 1 = 6. Отношения равны, поэтому отрезки AC и CD пропорциональны отрезкам M1M2 и MM1.
б) AB : MM2 = 9 : 3 = 3, BC : MM1 = 3 : 1 = 3, CD : M1M2 = 6 : 2 = 3. Все три отношения равны 3, поэтому отрезки AB, BC и CD пропорциональны отрезкам MM2, MM1 и M1M2.
в) AB : MM1 = 9 : 1 = 9, а BD : M1M2 = 9 : 2 = 4,5. Отношения не равны, поэтому отрезки AB и BD не пропорциональны отрезкам MM1 и M1M2.
Ответ: а) да; б) да; в) нет.
Оговорка: деления на рисунке считаны по рисунку 221; два справочных сайта дают те же длины (AB = 9, BC = 3, CD = 6) и тот же ответ.
а) AC : M1M2 = 12 : 2 = 6 и CD : MM1 = 6 : 1 = 6. Отношения равны, поэтому отрезки AC и CD пропорциональны отрезкам M1M2 и MM1.
б) AB : MM2 = 9 : 3 = 3, BC : MM1 = 3 : 1 = 3, CD : M1M2 = 6 : 2 = 3. Все три отношения равны 3, поэтому отрезки AB, BC и CD пропорциональны отрезкам MM2, MM1 и M1M2.
в) AB : MM1 = 9 : 1 = 9, а BD : M1M2 = 9 : 2 = 4,5. Отношения не равны, поэтому отрезки AB и BD не пропорциональны отрезкам MM1 и M1M2.
Ответ: а) да; б) да; в) нет.
Оговорка: деления на рисунке считаны по рисунку 221; два справочных сайта дают те же длины (AB = 9, BC = 3, CD = 6) и тот же ответ.
642. Докажите, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. [рисунок 221, б): треугольник ABC, биссектриса AD, высота AH, ∠1 = ∠2]
Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, ∠1 = ∠BAD, ∠2 = ∠DAC. Докажем, что BD/AB = CD/AC.
Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту AH, проведённую из вершины A, поэтому их площади относятся как основания: S(ABD)/S(ACD) = BD/CD.
С другой стороны, у этих треугольников равны углы при вершине A (∠1 = ∠2), поэтому их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы: S(ABD)/S(ACD) = (AB·AD)/(AC·AD) = AB/AC.
Приравнивая два выражения для одного и того же отношения, получаем BD/CD = AB/AC, то есть BD/AB = CD/AC. Что и требовалось доказать.
Треугольники ABD и ACD имеют общую высоту AH, проведённую из вершины A, поэтому их площади относятся как основания: S(ABD)/S(ACD) = BD/CD.
С другой стороны, у этих треугольников равны углы при вершине A (∠1 = ∠2), поэтому их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы: S(ABD)/S(ACD) = (AB·AD)/(AC·AD) = AB/AC.
Приравнивая два выражения для одного и того же отношения, получаем BD/CD = AB/AC, то есть BD/AB = CD/AC. Что и требовалось доказать.