Глава VII. Дополнительные задачи — с. 161
631. В ромбе высота, равная 4√2/6 см, составляет 2/3 большей диагонали. Найдите площадь ромба.
Большая диагональ d1 = h : (2/3) = (4√2/6) · 3/2 = √2 см (h = 4√2/6 = 2√2/3 см).
Пусть a — сторона ромба, d2 — меньшая диагональ, q = d2/2. Половина большей диагонали p = √2/2. Площадь ромба S = 1/2 · d1 · d2 = 2pq = a · h. Тогда a · 2√2/3 = 2 · (√2/2) · q = √2 q, откуда q = 2a/3.
По теореме Пифагора для треугольника с катетами p и q: a² = p² + q² = 1/2 + 4a²/9, 5a²/9 = 1/2, a² = 9/10, a = 3/√10.
S = a · h = 3/√10 · 2√2/3 = 2√2/√10 = 2/√5 = 2√5/5 см².
Ответ: 2√5/5 см².
Пусть a — сторона ромба, d2 — меньшая диагональ, q = d2/2. Половина большей диагонали p = √2/2. Площадь ромба S = 1/2 · d1 · d2 = 2pq = a · h. Тогда a · 2√2/3 = 2 · (√2/2) · q = √2 q, откуда q = 2a/3.
По теореме Пифагора для треугольника с катетами p и q: a² = p² + q² = 1/2 + 4a²/9, 5a²/9 = 1/2, a² = 9/10, a = 3/√10.
S = a · h = 3/√10 · 2√2/3 = 2√2/√10 = 2/√5 = 2√5/5 см².
Ответ: 2√5/5 см².
632. В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции.
Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, AC = 10 см, CK ⊥ AD, CK = 6 см. В равнобедренной трапеции AK = (AD + BC)/2 (проекция диагонали на большее основание равна полусумме оснований: AK = AH + HK = (AD − BC)/2 + BC).
Из прямоугольного треугольника ACK: AK² = 10² − 6² = 64, AK = 8 см. Значит, полусумма оснований равна 8 см.
S = (AD + BC)/2 · CK = 8 · 6 = 48 см².
Ответ: 48 см².
Из прямоугольного треугольника ACK: AK² = 10² − 6² = 64, AK = 8 см. Значит, полусумма оснований равна 8 см.
S = (AD + BC)/2 · CK = 8 · 6 = 48 см².
Ответ: 48 см².
633. В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите площадь треугольника AOB, если боковая сторона CD трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD равно 5 см.
Основания трапеции BC и AD, боковые стороны AB и CD. Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и равные высоты (BC ∥ AD), поэтому SABD = SACD. Вычитая общую часть SAOD, получаем SAOB = SCOD (как в задаче 616).
SCOD = 1/2 · CD · (расстояние от O до CD) = 1/2 · 12 · 5 = 30 см².
Значит, SAOB = 30 см².
Ответ: 30 см².
SCOD = 1/2 · CD · (расстояние от O до CD) = 1/2 · 12 · 5 = 30 см².
Значит, SAOB = 30 см².
Ответ: 30 см².
634. Диагонали четырёхугольника равны 16 см и 20 см и пересекаются под углом в 30°. Найдите площадь этого четырёхугольника.
Рассмотрим выпуклый четырёхугольник ABCD, AC = 16 см, BD = 20 см, диагонали пересекаются в точке O, угол между ними 30°. Разобьём диагональю BD четырёхугольник на треугольники ABD и CBD. Высота из A к прямой BD равна AO · sin 30° = AO/2 (катет против угла 30° в прямоугольном треугольнике с гипотенузой AO), высота из C равна CO/2.
S = 1/2 · BD · AO/2 + 1/2 · BD · CO/2 = 1/4 · BD · (AO + CO) = 1/4 · 20 · 16 = 80 см².
Ответ: 80 см².
Оговорка: четырёхугольник считается выпуклым (тогда диагонали пересекаются в точке, лежащей внутри обеих). Если угол между диагоналями взять 150°, результат тот же (sin 150° = sin 30°).
S = 1/2 · BD · AO/2 + 1/2 · BD · CO/2 = 1/4 · BD · (AO + CO) = 1/4 · 20 · 16 = 80 см².
Ответ: 80 см².
Оговорка: четырёхугольник считается выпуклым (тогда диагонали пересекаются в точке, лежащей внутри обеих). Если угол между диагоналями взять 150°, результат тот же (sin 150° = sin 30°).
635. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС высота AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника ABC, если медиана DM треугольника ADC равна 8 см.
Высота AD равнобедренного треугольника — и медиана, поэтому D — середина BC, треугольник ADC прямоугольный с прямым углом D. Медиана DM проведена к гипотенузе AC и равна её половине: AC = 2DM = 16 см.
DC² = AC² − AD² = 256 − 64 = 192, DC = 8√3 см, BC = 2DC = 16√3 см.
S = 1/2 · BC · AD = 1/2 · 16√3 · 8 = 64√3 см².
Ответ: 64√3 см².
DC² = AC² − AD² = 256 − 64 = 192, DC = 8√3 см, BC = 2DC = 16√3 см.
S = 1/2 · BC · AD = 1/2 · 16√3 · 8 = 64√3 см².
Ответ: 64√3 см².
636. Стороны AB и ВС прямоугольника ABCD равны соответственно 6 см и 8 см. Прямая, проходящая через вершину С и перпендикулярная к прямой BD, пересекает сторону AD в точке М, а диагональ BD в точке K. Найдите площадь четырёхугольника ABKМ.
Диагональ BD = √(36 + 64) = 10 см. Из площади треугольника BCD: CK = BC · CD : BD = 8 · 6 : 10 = 4,8 см (CK — его высота к гипотенузе). Тогда BK² = BC² − CK² = 64 − 23,04 = 40,96, BK = 6,4 см и DK = 10 − 6,4 = 3,6 см.
Найдём KM: пусть DM = x, KM = y. Треугольник DKM прямоугольный (∠K = 90°): x² = DK² + y² = 12,96 + y². Треугольник CDM прямоугольный (∠D = 90°): CM² = CD² + x² = 36 + x², CM = CK + KM = 4,8 + y. Тогда (4,8 + y)² = 36 + 12,96 + y², 23,04 + 9,6y = 48,96, y = 2,7 см.
SDKM = 1/2 · DK · KM = 1/2 · 3,6 · 2,7 = 4,86 см². Площадь треугольника ABD равна 1/2 · 6 · 8 = 24 см². Четырёхугольник ABKM — это треугольник ABD без треугольника DKM (точки K на BD и M на AD):
SABKM = 24 − 4,86 = 19,14 см².
Ответ: 19,14 см².
Найдём KM: пусть DM = x, KM = y. Треугольник DKM прямоугольный (∠K = 90°): x² = DK² + y² = 12,96 + y². Треугольник CDM прямоугольный (∠D = 90°): CM² = CD² + x² = 36 + x², CM = CK + KM = 4,8 + y. Тогда (4,8 + y)² = 36 + 12,96 + y², 23,04 + 9,6y = 48,96, y = 2,7 см.
SDKM = 1/2 · DK · KM = 1/2 · 3,6 · 2,7 = 4,86 см². Площадь треугольника ABD равна 1/2 · 6 · 8 = 24 см². Четырёхугольник ABKM — это треугольник ABD без треугольника DKM (точки K на BD и M на AD):
SABKM = 24 − 4,86 = 19,14 см².
Ответ: 19,14 см².
637. В треугольнике ABC проведена высота ВН. Докажите, что если:
а) угол А острый, то ВС² = AB² + AC² − 2AC ⋅ АН;
б) угол А тупой, то ВС² = AB² + АС² + 2АС ⋅ АH.
а) угол А острый, то ВС² = AB² + AC² − 2AC ⋅ АН;
б) угол А тупой, то ВС² = AB² + АС² + 2АС ⋅ АH.
Применим теорему Пифагора к прямоугольным треугольникам ABH (∠H = 90°) и BCH: AB² = BH² + AH², BC² = BH² + CH².
а) Угол A острый, значит, точка H лежит на луче AC. Тогда CH = |AC − AH| и CH² = (AC − AH)² = AC² − 2AC · AH + AH² (при H за точкой C получаем тот же квадрат разности). Поэтому BC² = BH² + AH² + AC² − 2AC · AH = AB² + AC² − 2AC · AH.
б) Угол A тупой, значит, точка H лежит на продолжении стороны CA за точку A, и CH = CA + AH. Тогда BC² = BH² + (AC + AH)² = BH² + AH² + AC² + 2AC · AH = AB² + AC² + 2AC · AH.
Что и требовалось доказать.
а) Угол A острый, значит, точка H лежит на луче AC. Тогда CH = |AC − AH| и CH² = (AC − AH)² = AC² − 2AC · AH + AH² (при H за точкой C получаем тот же квадрат разности). Поэтому BC² = BH² + AH² + AC² − 2AC · AH = AB² + AC² − 2AC · AH.
б) Угол A тупой, значит, точка H лежит на продолжении стороны CA за точку A, и CH = CA + AH. Тогда BC² = BH² + (AC + AH)² = BH² + AH² + AC² + 2AC · AH = AB² + AC² + 2AC · AH.
Что и требовалось доказать.
638. На клетчатой бумаге (рис. 218) изображены треугольники. Найдите их площади.
[рисунок 218: пять треугольников а)–д) на клетчатой бумаге, сторона клетки 1 см]
[рисунок 218: пять треугольников а)–д) на клетчатой бумаге, сторона клетки 1 см]
Сторона клетки равна 1 см. Площади находим по числу клеток: обозначим вершины координатами (номер вертикали слева направо; номер горизонтали сверху вниз).
а) Прямоугольный треугольник с вертикальным катетом 6 см и горизонтальным катетом 8 см: S = 1/2 · 6 · 8 = 24 см².
б) Основание горизонтальное, 8 см, высота (от вершины до основания) 6 см: S = 1/2 · 8 · 6 = 24 см².
в) Основание горизонтальное, 3 см, высота 6 см: S = 1/2 · 3 · 6 = 9 см².
г) Вершины (7; 1), (1; 7), (6; 6). Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами (7; 1), (1; 7), (7; 7): его площадь 1/2 · 6 · 6 = 18 см². Отнимем два треугольника: (7; 1), (6; 6), (7; 7) с основанием 6 на вертикали и высотой 1 (площадь 3 см²) и (1; 7), (6; 6), (7; 7) с основанием 6 на горизонтали и высотой 1 (площадь 3 см²). S = 18 − 3 − 3 = 12 см².
д) Вершины (7; 1), (1; 7), (9; 6). Опишем прямоугольник 8 × 6 = 48 см² и отнимем три прямоугольных треугольника: 1/2 · 6 · 6 = 18 см² (слева сверху), 1/2 · 2 · 5 = 5 см² (справа сверху), 1/2 · 8 · 1 = 4 см² (снизу). S = 48 − 18 − 5 − 4 = 21 см².
Ответ: а) 24 см²; б) 24 см²; в) 9 см²; г) 12 см²; д) 21 см².
а) Прямоугольный треугольник с вертикальным катетом 6 см и горизонтальным катетом 8 см: S = 1/2 · 6 · 8 = 24 см².
б) Основание горизонтальное, 8 см, высота (от вершины до основания) 6 см: S = 1/2 · 8 · 6 = 24 см².
в) Основание горизонтальное, 3 см, высота 6 см: S = 1/2 · 3 · 6 = 9 см².
г) Вершины (7; 1), (1; 7), (6; 6). Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершинами (7; 1), (1; 7), (7; 7): его площадь 1/2 · 6 · 6 = 18 см². Отнимем два треугольника: (7; 1), (6; 6), (7; 7) с основанием 6 на вертикали и высотой 1 (площадь 3 см²) и (1; 7), (6; 6), (7; 7) с основанием 6 на горизонтали и высотой 1 (площадь 3 см²). S = 18 − 3 − 3 = 12 см².
д) Вершины (7; 1), (1; 7), (9; 6). Опишем прямоугольник 8 × 6 = 48 см² и отнимем три прямоугольных треугольника: 1/2 · 6 · 6 = 18 см² (слева сверху), 1/2 · 2 · 5 = 5 см² (справа сверху), 1/2 · 8 · 1 = 4 см² (снизу). S = 48 − 18 − 5 − 4 = 21 см².
Ответ: а) 24 см²; б) 24 см²; в) 9 см²; г) 12 см²; д) 21 см².