Глава VII. Дополнительные задачи — с. 162
639. На клетчатой бумаге (рис. 219) изображены многоугольники. Найдите их площади.
[рисунок 219: пять многоугольников а)–д) на клетчатой бумаге, сторона клетки 1 см]
[рисунок 219: пять многоугольников а)–д) на клетчатой бумаге, сторона клетки 1 см]
Сторона клетки равна 1 см. Вершины задаём парами (номер вертикали слева направо; номер горизонтали сверху вниз), считая от левого верхнего угла сетки.
а) Вершины (5; 1), (8; 4), (5; 7), (2; 4). Диагонали горизонтальная (от 2 до 8, длина 6 см) и вертикальная (от 1 до 7, длина 6 см) перпендикулярны, поэтому S = 1/2 · 6 · 6 = 18 см² (это квадрат).
б) Вершины (3; 1), (9; 2), (7; 7), (1; 6). Опишем прямоугольник 8 × 6 = 48 см² (от вертикали 1 до 9 и от горизонтали 1 до 7) и отнимем четыре прямоугольных треугольника у углов: 1/2 · 2 · 5 = 5 см², 1/2 · 6 · 1 = 3 см², 1/2 · 2 · 5 = 5 см², 1/2 · 6 · 1 = 3 см². Всего 16 см². S = 48 − 16 = 32 см².
в) Вершины (2; 1), (8; 1), (10; 7), (7; 7) — трапеция с горизонтальными основаниями 6 см и 3 см и высотой 6 см: S = 1/2 · (6 + 3) · 6 = 27 см².
г) Вершины (5; 1), (10; 2), (4; 6), (2; 3). Опишем прямоугольник 8 × 5 = 40 см² (от вертикали 2 до 10, от горизонтали 1 до 6) и отнимем четыре прямоугольных треугольника: 1/2 · 3 · 2 = 3, 1/2 · 5 · 1 = 2,5, 1/2 · 6 · 4 = 12, 1/2 · 2 · 3 = 3 (см²). Всего 20,5 см². S = 40 − 20,5 = 19,5 см².
д) Вершины по порядку: (1; 1), (4; 2), (8; 1), (10; 7), (5; 3), (2; 6). Опишем прямоугольник 9 × 6 = 54 см² и отнимем лишнее: треугольник сверху (1; 1), (4; 2), (8; 1) с основанием 7 и высотой 1 — 3,5 см²; прямоугольный треугольник справа (8; 1), (10; 1), (10; 7) с катетами 2 и 6 — 6 см²; и нижнюю часть — это треугольник (1; 1), (2; 6), (1; 7) с основанием 6 по вертикали и высотой 1 (3 см²) вместе с треугольником (1; 7), (5; 3), (10; 7) с основанием 9 и высотой 4 (18 см²); точки (1; 7), (2; 6), (5; 3) лежат на одной прямой. Всего 3,5 + 6 + 3 + 18 = 30,5 см². S = 54 − 30,5 = 23,5 см².
Ответ: а) 18 см²; б) 32 см²; в) 27 см²; г) 19,5 см²; д) 23,5 см².
Оговорка: ответ в книге не приводится; координаты вершин считаны по рисунку, вершины лежат в узлах сетки.
а) Вершины (5; 1), (8; 4), (5; 7), (2; 4). Диагонали горизонтальная (от 2 до 8, длина 6 см) и вертикальная (от 1 до 7, длина 6 см) перпендикулярны, поэтому S = 1/2 · 6 · 6 = 18 см² (это квадрат).
б) Вершины (3; 1), (9; 2), (7; 7), (1; 6). Опишем прямоугольник 8 × 6 = 48 см² (от вертикали 1 до 9 и от горизонтали 1 до 7) и отнимем четыре прямоугольных треугольника у углов: 1/2 · 2 · 5 = 5 см², 1/2 · 6 · 1 = 3 см², 1/2 · 2 · 5 = 5 см², 1/2 · 6 · 1 = 3 см². Всего 16 см². S = 48 − 16 = 32 см².
в) Вершины (2; 1), (8; 1), (10; 7), (7; 7) — трапеция с горизонтальными основаниями 6 см и 3 см и высотой 6 см: S = 1/2 · (6 + 3) · 6 = 27 см².
г) Вершины (5; 1), (10; 2), (4; 6), (2; 3). Опишем прямоугольник 8 × 5 = 40 см² (от вертикали 2 до 10, от горизонтали 1 до 6) и отнимем четыре прямоугольных треугольника: 1/2 · 3 · 2 = 3, 1/2 · 5 · 1 = 2,5, 1/2 · 6 · 4 = 12, 1/2 · 2 · 3 = 3 (см²). Всего 20,5 см². S = 40 − 20,5 = 19,5 см².
д) Вершины по порядку: (1; 1), (4; 2), (8; 1), (10; 7), (5; 3), (2; 6). Опишем прямоугольник 9 × 6 = 54 см² и отнимем лишнее: треугольник сверху (1; 1), (4; 2), (8; 1) с основанием 7 и высотой 1 — 3,5 см²; прямоугольный треугольник справа (8; 1), (10; 1), (10; 7) с катетами 2 и 6 — 6 см²; и нижнюю часть — это треугольник (1; 1), (2; 6), (1; 7) с основанием 6 по вертикали и высотой 1 (3 см²) вместе с треугольником (1; 7), (5; 3), (10; 7) с основанием 9 и высотой 4 (18 см²); точки (1; 7), (2; 6), (5; 3) лежат на одной прямой. Всего 3,5 + 6 + 3 + 18 = 30,5 см². S = 54 − 30,5 = 23,5 см².
Ответ: а) 18 см²; б) 32 см²; в) 27 см²; г) 19,5 см²; д) 23,5 см².
Оговорка: ответ в книге не приводится; координаты вершин считаны по рисунку, вершины лежат в узлах сетки.