Глава VII. Дополнительные задачи — с. 160
617*. Основания трапеции равны a и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.
Пусть в трапеции ABCD BC = a, AD = b (a < b), EF ∥ AD — отрезок с концами E ∈ AB, F ∈ CD, EF = x, и площади трапеций BEFC и EADF равны. Продолжим боковые стороны до пересечения в точке P. Треугольники PBC, PEF, PAD подобны (BC ∥ EF ∥ AD), а площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон.
Пусть S1 — площадь треугольника PBC, T — площадь каждой из двух равновеликих трапеций. Тогда площадь PEF равна S1 + T, площадь PAD равна S1 + 2T.
x²/a² = (S1 + T)/S1, b²/a² = (S1 + 2T)/S1. Тогда 1 + b²/a² = (2S1 + 2T)/S1 = 2 · (S1 + T)/S1 = 2x²/a².
Отсюда a² + b² = 2x², x = √((a² + b²)/2).
Ответ: √((a² + b²)/2).
Оговорка: в решении использовано подобие треугольников (глава VIII) и тот факт, что площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
Пусть S1 — площадь треугольника PBC, T — площадь каждой из двух равновеликих трапеций. Тогда площадь PEF равна S1 + T, площадь PAD равна S1 + 2T.
x²/a² = (S1 + T)/S1, b²/a² = (S1 + 2T)/S1. Тогда 1 + b²/a² = (2S1 + 2T)/S1 = 2 · (S1 + T)/S1 = 2x²/a².
Отсюда a² + b² = 2x², x = √((a² + b²)/2).
Ответ: √((a² + b²)/2).
Оговорка: в решении использовано подобие треугольников (глава VIII) и тот факт, что площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.
618. Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам: получаем прямоугольный треугольник с катетами 9 м и 12 м, его гипотенуза — сторона ромба: a = √(81 + 144) = 15 м. Периметр P = 4 · 15 = 60 м.
Площадь ромба S = 1/2 · 18 · 24 = 216 м². С другой стороны, S = a · h, где h — расстояние между параллельными сторонами: h = 216 : 15 = 14,4 м.
Ответ: 60 м; 14,4 м.
Площадь ромба S = 1/2 · 18 · 24 = 216 м². С другой стороны, S = a · h, где h — расстояние между параллельными сторонами: h = 216 : 15 = 14,4 м.
Ответ: 60 м; 14,4 м.
619. Площадь ромба равна 540 см2, а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.
4,5 дм = 45 см. Вторая диагональ d2 = 2S : d1 = 1080 : 45 = 24 см.
Половины диагоналей 22,5 см и 12 см; сторона ромба a = √(22,5² + 12²) = √(506,25 + 144) = √650,25 = 25,5 см.
Расстояние r от точки O пересечения диагоналей до стороны — высота прямоугольного треугольника AOB (катеты 22,5 и 12), проведённая к гипотенузе AB = 25,5. Площадь SAOB = S : 4 = 135 см² (диагонали делят ромб на четыре равных треугольника) и SAOB = 1/2 · 25,5 · r, откуда r = 270 : 25,5 = 180/17 = 10 10/17 см.
Ответ: 10 10/17 см (≈ 10,6 см).
Половины диагоналей 22,5 см и 12 см; сторона ромба a = √(22,5² + 12²) = √(506,25 + 144) = √650,25 = 25,5 см.
Расстояние r от точки O пересечения диагоналей до стороны — высота прямоугольного треугольника AOB (катеты 22,5 и 12), проведённая к гипотенузе AB = 25,5. Площадь SAOB = S : 4 = 135 см² (диагонали делят ромб на четыре равных треугольника) и SAOB = 1/2 · 25,5 · r, откуда r = 270 : 25,5 = 180/17 = 10 10/17 см.
Ответ: 10 10/17 см (≈ 10,6 см).
620. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45°.
а) Пусть ABC — равнобедренный, AB = BC = 20 см, ∠A = ∠C = 30°, BH — высота к основанию. В прямоугольном треугольнике ABH катет BH лежит против 30°, поэтому BH = 10 см; AH = √(400 − 100) = 10√3 см, AC = 2AH = 20√3 см. S = 1/2 · 20√3 · 10 = 100√3 см².
б) Пусть AB = BC, AH — высота к боковой стороне BC, AH = 6 см, ∠HAC = 45°. В прямоугольном треугольнике AHC ∠C = 90° − 45° = 45°. Значит, углы при основании равны 45°, угол при вершине B равен 90°, треугольник ABC — прямоугольный равнобедренный с прямым углом B. Тогда высота AH, проведённая к катету BC, совпадает с катетом AB: AB = AH = 6 см, BC = 6 см. S = 1/2 · 6 · 6 = 18 см².
Ответ: а) 100√3 см²; б) 18 см².
б) Пусть AB = BC, AH — высота к боковой стороне BC, AH = 6 см, ∠HAC = 45°. В прямоугольном треугольнике AHC ∠C = 90° − 45° = 45°. Значит, углы при основании равны 45°, угол при вершине B равен 90°, треугольник ABC — прямоугольный равнобедренный с прямым углом B. Тогда высота AH, проведённая к катету BC, совпадает с катетом AB: AB = AH = 6 см, BC = 6 см. S = 1/2 · 6 · 6 = 18 см².
Ответ: а) 100√3 см²; б) 18 см².
621. В треугольнике АBС ВС = 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки AN = 25 см и NC = 15 см. Найдите площадь треугольника ABC.
M — середина BC, MC = 17 см, MN ⊥ AC, NC = 15 см. Из прямоугольного треугольника MNC: MN² = 17² − 15² = 289 − 225 = 64, MN = 8 см.
Проведём высоту BH к прямой AC. BH ∥ MN (оба перпендикулярны AC), M — середина BC, значит, N — середина HC, и MN — средняя линия треугольника BHC: BH = 2MN = 16 см.
AC = AN + NC = 40 см. S = 1/2 · AC · BH = 1/2 · 40 · 16 = 320 см².
Ответ: 320 см².
Проведём высоту BH к прямой AC. BH ∥ MN (оба перпендикулярны AC), M — середина BC, значит, N — середина HC, и MN — средняя линия треугольника BHC: BH = 2MN = 16 см.
AC = AN + NC = 40 см. S = 1/2 · AC · BH = 1/2 · 40 · 16 = 320 см².
Ответ: 320 см².
622. Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором AB = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, АС = 12 см.
Рассмотрим треугольники ABC и ACD.
В треугольнике ABC: AB² + AC² = 25 + 144 = 169 = BC², значит, по обратной теореме Пифагора он прямоугольный с прямым углом A, SABC = 1/2 · 5 · 12 = 30 см².
В треугольнике ACD: CD² + AC² = 81 + 144 = 225 = AD², он прямоугольный с прямым углом C, SACD = 1/2 · 9 · 12 = 54 см².
Диагональ AC разбивает четырёхугольник на эти два треугольника (точки B и D лежат по разные стороны от AC, иначе стороны BC и AD пересекались бы), поэтому S = 30 + 54 = 84 см².
Ответ: 84 см².
В треугольнике ABC: AB² + AC² = 25 + 144 = 169 = BC², значит, по обратной теореме Пифагора он прямоугольный с прямым углом A, SABC = 1/2 · 5 · 12 = 30 см².
В треугольнике ACD: CD² + AC² = 81 + 144 = 225 = AD², он прямоугольный с прямым углом C, SACD = 1/2 · 9 · 12 = 54 см².
Диагональ AC разбивает четырёхугольник на эти два треугольника (точки B и D лежат по разные стороны от AC, иначе стороны BC и AD пересекались бы), поэтому S = 30 + 54 = 84 см².
Ответ: 84 см².
623. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её меньшее основание равно 18 см, высота — 9 см и острый угол равен 45°; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали взаимно перпендикулярны.
а) Пусть ABCD — трапеция, BC = 18 см, BH и CK — высоты, BH = CK = 9 см, ∠A = 45°. Треугольник ABH прямоугольный с углом 45°, значит, AH = BH = 9 см; так же KD = 9 см. Большее основание AD = 9 + 18 + 9 = 36 см. S = 1/2 · (18 + 36) · 9 = 243 см².
б) Докажем, что высота равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями равна полусумме оснований. Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке E. BCED — параллелограмм, DE = BC, CE = BD. Диагонали равнобедренной трапеции равны: AC = BD = CE, и CE ∥ BD ⊥ AC, поэтому треугольник ACE прямоугольный равнобедренный с гипотенузой AE = AD + DE = AD + BC. Высота CK этого треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы (она же медиана): h = (AD + BC)/2.
Здесь h = (16 + 30)/2 = 23 см. S = 1/2 · (16 + 30) · 23 = 23 · 23 = 529 см².
Ответ: а) 243 см²; б) 529 см².
б) Докажем, что высота равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями равна полусумме оснований. Через вершину C проведём прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке E. BCED — параллелограмм, DE = BC, CE = BD. Диагонали равнобедренной трапеции равны: AC = BD = CE, и CE ∥ BD ⊥ AC, поэтому треугольник ACE прямоугольный равнобедренный с гипотенузой AE = AD + DE = AD + BC. Высота CK этого треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы (она же медиана): h = (AD + BC)/2.
Здесь h = (16 + 30)/2 = 23 см. S = 1/2 · (16 + 30) · 23 = 23 · 23 = 529 см².
Ответ: а) 243 см²; б) 529 см².
624. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна h, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Для равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна полусумме оснований (доказательство: через вершину C проводим прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке E; треугольник ACE прямоугольный равнобедренный с гипотенузой AE = AD + BC, его высота CK равна AE/2): h = (AD + BC)/2.
Тогда S = (AD + BC)/2 · h = h · h = h².
Ответ: h².
Тогда S = (AD + BC)/2 · h = h · h = h².
Ответ: h².
625. Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, а сумма оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.
Как и в задаче 624, высота трапеции равна полусумме оснований: h = (AD + BC)/2 = 2a/2 = a (через вершину C проведём прямую, параллельную BD, до пересечения с прямой AD в точке E; треугольник ACE — прямоугольный равнобедренный с гипотенузой AE = AD + BC = 2a, его высота равна половине гипотенузы).
S = (AD + BC)/2 · h = a · a = a².
Ответ: a².
S = (AD + BC)/2 · h = a · a = a².
Ответ: a².
626. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 + BC2 = AB2 + CD2.
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O под прямым углом. Применим теорему Пифагора к четырём прямоугольным треугольникам:
AD² = AO² + DO², BC² = BO² + CO², AB² = AO² + BO², CD² = CO² + DO².
Тогда AD² + BC² = AO² + DO² + BO² + CO², AB² + CD² = AO² + BO² + CO² + DO². Правые части равны, значит, AD² + BC² = AB² + CD². (Если O лежит на продолжении диагоналей, рассуждение то же: теорема Пифагора применяется к тем же треугольникам.)
AD² = AO² + DO², BC² = BO² + CO², AB² = AO² + BO², CD² = CO² + DO².
Тогда AD² + BC² = AO² + DO² + BO² + CO², AB² + CD² = AO² + BO² + CO² + DO². Правые части равны, значит, AD² + BC² = AB² + CD². (Если O лежит на продолжении диагоналей, рассуждение то же: теорема Пифагора применяется к тем же треугольникам.)
627. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями АD = 17 см, ВС = 5 см и боковой стороной AB = 10 см через вершину В проведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекающая основание AD в точке М. Найдите площадь треугольника BDM.
Пусть K — середина AC, прямая BK пересекает AD в точке M. Треугольники BKC и MKA равны: CK = AK, ∠BKC = ∠MKA (вертикальные), ∠BCK = ∠MAK (накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей AC). Значит, AM = BC = 5 см, MD = 17 − 5 = 12 см.
Высота трапеции: проведём BH ⊥ AD. В равнобедренной трапеции AH = (AD − BC)/2 = 6 см, BH² = 10² − 6² = 64, BH = 8 см.
Площадь треугольника BDM с основанием MD = 12 см и высотой BH = 8 см: S = 1/2 · 12 · 8 = 48 см².
Ответ: 48 см².
Высота трапеции: проведём BH ⊥ AD. В равнобедренной трапеции AH = (AD − BC)/2 = 6 см, BH² = 10² − 6² = 64, BH = 8 см.
Площадь треугольника BDM с основанием MD = 12 см и высотой BH = 8 см: S = 1/2 · 12 · 8 = 48 см².
Ответ: 48 см².
628. Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину, причём сторона одного из них лежит на диагонали другого. Найдите площадь общей части этих квадратов.
Пусть ABCD — первый квадрат, A — общая вершина, второй квадрат AMNK имеет сторону AM = a на диагонали AC (M лежит между A и C, так как a < AC = a√2). Угол MAB равен 45°, MN ⊥ AM, MN = a.
В треугольнике AMN: ∠AMN = 90°, AM = MN = a, поэтому ∠MAN = 45° и AN = a√2. Значит, точка N лежит на луче AB (∠MAB = ∠MAN = 45°), причём AN = a√2 > a = AB, то есть N — на продолжении AB за точку B, BN = a√2 − a = a(√2 − 1).
Отрезок MN пересекает сторону BC в точке Q. Общая часть квадратов — четырёхугольник ABQM, то есть треугольник AMN без треугольника BNQ. Треугольник BNQ прямоугольный (∠B = 90°), ∠BNQ = ∠ANM = 45°, поэтому он равнобедренный: BQ = BN = a(√2 − 1).
SAMN = a²/2, SBNQ = 1/2 · a²(√2 − 1)² = a²(3 − 2√2)/2.
Площадь общей части: a²/2 − a²(3 − 2√2)/2 = a²(2√2 − 2)/2 = (√2 − 1)a².
Ответ: (√2 − 1)a².
В треугольнике AMN: ∠AMN = 90°, AM = MN = a, поэтому ∠MAN = 45° и AN = a√2. Значит, точка N лежит на луче AB (∠MAB = ∠MAN = 45°), причём AN = a√2 > a = AB, то есть N — на продолжении AB за точку B, BN = a√2 − a = a(√2 − 1).
Отрезок MN пересекает сторону BC в точке Q. Общая часть квадратов — четырёхугольник ABQM, то есть треугольник AMN без треугольника BNQ. Треугольник BNQ прямоугольный (∠B = 90°), ∠BNQ = ∠ANM = 45°, поэтому он равнобедренный: BQ = BN = a(√2 − 1).
SAMN = a²/2, SBNQ = 1/2 · a²(√2 − 1)² = a²(3 − 2√2)/2.
Площадь общей части: a²/2 − a²(3 − 2√2)/2 = a²(2√2 − 2)/2 = (√2 − 1)a².
Ответ: (√2 − 1)a².
629. Стороны треугольника равны 13 см, 5 см и 12 см. Найдите площадь этого треугольника.
5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13², по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник прямоугольный с катетами 5 см и 12 см.
S = 1/2 · 5 · 12 = 30 см².
Ответ: 30 см².
S = 1/2 · 5 · 12 = 30 см².
Ответ: 30 см².
630. Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника ABC, до прямой AB равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Найдите расстояние от точки М до прямой ВС, если AB = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см.
Найдём площадь ABC по формуле Герона: p = (13 + 14 + 15)/2 = 21, S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84 см².
Точка M лежит внутри треугольника, поэтому S = SMAB + SMBC + SMAC = 1/2 · 13 · 6 + 1/2 · 14 · x + 1/2 · 15 · 2 = 39 + 7x + 15.
84 = 54 + 7x, 7x = 30, x = 30/7 см.
Ответ: 30/7 см (4 2/7 см).
Точка M лежит внутри треугольника, поэтому S = SMAB + SMBC + SMAC = 1/2 · 13 · 6 + 1/2 · 14 · x + 1/2 · 15 · 2 = 39 + 7x + 15.
84 = 54 + 7x, 7x = 30, x = 30/7 см.
Ответ: 30/7 см (4 2/7 см).