Упражнения 600–604 — Глава VII. §3. Теорема Пифагора (задачи)…

Вписанный угол C прямой, поэтому он опирается на диаметр: гипотенуза AB — диаметр описанной окружности, R = AB/2.
а) AB = √(8² + 6²) = 10 см, R = 5 см.
б) Катет AC лежит против угла B = 30°, поэтому AB = 2 · AC = 36 см, R = 18 см.
Ответ: а) 5 см; б) 18 см.

Центр описанной окружности равностороннего треугольника — точка пересечения его медиан (они же высоты и серединные перпендикуляры), которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины. Поэтому R = 2/3 h, где h = a√3/2 — высота.
R = 2/3 · a√3/2 = a√3/3, откуда a = 3R/√3 = R√3 = 10√3 см.
Ответ: 10√3 см.

Пусть в треугольнике ABC AB = BC = 8 см, ∠B = 120°, O — центр описанной окружности. O лежит на серединном перпендикуляре к AC, то есть на прямой BD, где BD — высота (она же биссектриса и медиана); так как угол B тупой, центр лежит по другую сторону от AC, чем B, на продолжении BD за точку D.
Тогда ∠ABO = 120° : 2 = 60°. Треугольник ABO равнобедренный (OA = OB = R) с углом 60° при вершине B, значит, он равносторонний, и R = OB = AB = 8 см.
Диаметр равен 2R = 16 см.
Ответ: 16 см.

Окно — квадрат со стороной 600 мм. Самый длинный отрезок, лежащий в квадрате, — его диагональ: d = 600√2 мм. Так как √2 > 1,41, d > 600 · 1,41 = 846 мм, то есть d > 846 мм.
Щит можно пропустить в окно узкой стороной, расположив его ширину (800 мм) вдоль диагонали окна и протаскивая щит под углом по длине (2000 мм). Для этого достаточно, чтобы ширина щита была меньше диагонали окна: 800 < 846 ≤ d. Условие выполняется.
Ответ: да, смогут: ширина щита 800 мм меньше диагонали окна 600√2 ≈ 848 мм.
Оговорка: толщина щита не учитывается (считаем щит тонкой плоскостью); при ощутимой толщине запас в несколько сантиметров может оказаться решающим.

Диагональ в сантиметрах: 31,5 · 2,54 = 80,01 см.
Пусть ширина экрана 16x, высота 9x (отношение сторон 16 : 9). По теореме Пифагора (16x)² + (9x)² = 80,01², 337x² ≈ 6401,6, x² ≈ 19,0, x ≈ 4,36 см.
Ширина телевизора 16x ≈ 69,7 см, высота 9x ≈ 39,2 см.
Ширина ниши 74 см: 69,7 < 74. Глубина ниши 35 см: подставка глубиной 25 см < 35. Ниша квадратная, значит, её высота тоже 74 см, а высота телевизора около 39,2 см (даже с запасом на подставку) помещается.
Ответ: да, телевизор поместится: его ширина примерно 70 см меньше 74 см, а глубина подставки 25 см меньше 35 см.
Оговорка: высоту подставки в условии не дано, считаем, что вместе с телевизором она не превышает 74 см.

Для измерения площади выбирают единицу измерения — квадрат, сторона которого равна единице измерения длины (например, квадрат со стороной 1 см — квадратный сантиметр, см²). Площадь показывает, сколько раз единица измерения и её части укладываются в данном многоугольнике.
Если единичный квадрат укладывается в многоугольнике целое число раз n, то площадь равна n. Если не укладывается целое число раз, единицу делят на 10 равных частей (потом на 100 и т. д.) и смотрят, сколько таких долей укладывается, получая десятичные приближения площади всё с большей точностью. Площадь многоугольника выражается положительным числом.

1°. Равные многоугольники имеют равные площади.
2°. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
3°. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Равновеликими называются многоугольники, имеющие равные площади.
Равносоставленными называются многоугольники, которые можно разрезать на одни и те же многоугольники, то есть составить из одних и тех же (равных) частей. По свойствам 1° и 2° равносоставленные многоугольники равновелики.

Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
Доказательство. Пусть стороны прямоугольника a и b, площадь S. Достроим прямоугольник до квадрата со стороной a + b. По свойству 3° его площадь равна (a + b)². С другой стороны, этот квадрат составлен из данного прямоугольника (площадь S), равного ему прямоугольника (площадь S, свойство 1°) и двух квадратов со сторонами a и b (площади a² и b²). По свойству 2°: (a + b)² = S + S + a² + b², то есть a² + 2ab + b² = 2S + a² + b². Отсюда S = ab. Теорема доказана.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Доказательство. Пусть ABCD — параллелограмм площади S, AD — основание, BH и CK — высоты к прямой AD. Докажем, что S = AD · BH. Четырёхугольник HBCK — прямоугольник (BH ∥ CK как перпендикуляры к одной прямой, BC ∥ HK, углы прямые), HK = BC = AD.
Случай 1: точка H лежит на стороне AD. Трапеция ABCK составлена из параллелограмма ABCD и треугольника DCK, а также из прямоугольника HBCK и треугольника ABH. Прямоугольные треугольники ABH и DCK равны (AB = CD как противоположные стороны параллелограмма, ∠BAH = ∠CDK как соответственные углы при параллельных AB и CD и секущей AD), поэтому их площади равны, и S = SHBCK = BC · BH = AD · BH.
Случай 2: H совпадает с A. Тогда ABCD — прямоугольник, S = AD · AB = AD · BH.
Случай 3: H совпадает с D. Тогда BD ⊥ AD, диагональ BD делит параллелограмм на два равных прямоугольных треугольника с катетами AD и BD, каждый из которых равен половине прямоугольника со сторонами AD и BD. Значит, S = AD · BD = AD · BH.
Случай 4: H лежит на прямой AD вне отрезка AD. Трапеция HBCD составлена из прямоугольника HBCK и треугольника KCD, и она же составлена из параллелограмма ABCD и треугольника HBA; треугольники HBA и KCD равны (BH = CK, AB = CD, прямые углы), значит, S = SHBCK = BC · BH = AD · BH.
Теорема доказана.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Доказательство. Пусть S — площадь треугольника ABC, CH — его высота к стороне AB. Достроим треугольник до параллелограмма ABDC (проведём через C прямую, параллельную AB, и через B прямую, параллельную AC). Треугольники ABC и DCB равны по трём сторонам (BC — общая, AB = CD, AC = BD как противоположные стороны параллелограмма), поэтому их площади равны, и S равна половине площади параллелограмма ABDC. Площадь параллелограмма равна AB · CH, значит, S = 1/2 · AB · CH. Теорема доказана.
Следствие: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (один катет — основание, другой — высота): S = 1/2 ab.

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
Доказательство. Пусть S и S1 — площади треугольников ABC и A1B1C1, ∠A = ∠A1. Докажем, что S : S1 = (AB · AC) : (A1B1 · A1C1). Наложим треугольник A1B1C1 на ABC так, чтобы A1 совпала с A, а стороны A1B1 и A1C1 легли на лучи AB и AC; пусть B1 и C1 — вершины наложенного треугольника на этих лучах.
Треугольники ABC и AB1C имеют общую высоту CH (из вершины C к прямой AB), поэтому S : SAB1C = AB : AB1. Треугольники AB1C и AB1C1 имеют общую высоту B1H1 (из B1 к прямой AC), поэтому SAB1C : SAB1C1 = AC : AC1. Перемножив равенства, получим S : SAB1C1 = (AB · AC) : (AB1 · AC1), то есть S : S1 = (AB · AC) : (A1B1 · A1C1). Теорема доказана.

Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
Доказательство. Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, высотой BH. Докажем, что S = 1/2 (AD + BC) · BH. Диагональ BD разделяет трапецию на два треугольника ABD и BCD, поэтому S = SABD + SBCD. Примем AD и BH за основание и высоту треугольника ABD, а BC и DH1 (перпендикуляр из D к прямой BC) за основание и высоту треугольника BCD. Тогда SABD = 1/2 AD · BH, SBCD = 1/2 BC · DH1. Так как DH1 = BH (расстояние между параллельными прямыми BC и AD), то SBCD = 1/2 BC · BH. Значит, S = 1/2 AD · BH + 1/2 BC · BH = 1/2 (AD + BC) · BH. Теорема доказана.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. Пусть катеты равны a и b, гипотенуза c. Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b: на каждой стороне квадрата от вершин отложим отрезки a и b (так, чтобы получились четыре равных прямоугольных треугольника с катетами a и b). Площадь большого квадрата равна (a + b)². Четыре треугольника равны по двум катетам, их гипотенузы равны c; четырёхугольник, образованный гипотенузами, — ромб со стороной c, и его углы прямые (острые углы треугольников дают в сумме 90°, поэтому оставшийся угол равен 180° − 90° = 90°), то есть это квадрат со стороной c. Значит, площадь большого квадрата равна 4 · 1/2 ab + c² = 2ab + c².
Итак, (a + b)² = 2ab + c², a² + 2ab + b² = 2ab + c², откуда c² = a² + b². Теорема доказана.

Теорема. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC AB² = AC² + BC². Докажем, что угол C прямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник A1B1C1 с прямым углом C1, у которого A1C1 = AC и B1C1 = BC. По теореме Пифагора A1B1² = A1C1² + B1C1² = AC² + BC². Но по условию AC² + BC² = AB², значит, A1B1² = AB², A1B1 = AB. Треугольники ABC и A1B1C1 равны по трём сторонам, поэтому ∠C = ∠C1 = 90°. Теорема доказана.

Пифагоровыми называются прямоугольные треугольники, у которых длины всех сторон выражаются целыми числами.
Примеры: треугольники со сторонами 3, 4, 5 (египетский треугольник); 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25; а также 6, 8, 10 и 9, 12, 15 (получаются умножением сторон треугольника 3, 4, 5 на 2 и на 3). Каждый из них прямоугольный по теореме, обратной теореме Пифагора: например, 5² = 3² + 4², 13² = 5² + 12². Катеты и гипотенуза всех пифагоровых треугольников выражаются формулами a = 2kmn, b = k(m² − n²), c = k(m² + n²), где k, m, n — натуральные числа, m > n.

Формула Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где a, b, c — стороны треугольника, p = (a + b + c)/2 — его полупериметр.
Вывод. Пусть в треугольнике ABC AB = c, BC = a, AC = b. Углы A и B острые (в любом треугольнике хотя бы два угла острые), поэтому основание H высоты CH = h лежит на стороне AB. Обозначим AH = y, HB = x, x + y = c. По теореме Пифагора для треугольников BCH и ACH: a² − x² = h² = b² − y², откуда y² − x² = b² − a², то есть (y − x)(y + x) = b² − a². Так как y + x = c, то y − x = (b² − a²)/c. Сложив с равенством y + x = c и разделив на 2, получим y = (b² + c² − a²)/(2c).
Тогда h² = b² − y² = (b − y)(b + y) = (b + (b² + c² − a²)/(2c)) · (b − (b² + c² − a²)/(2c)) = ((b + c)² − a²)/(2c) · (a² − (b − c)²)/(2c) = (b + c + a)(b + c − a)(a − b + c)(a + b − c)/(4c²).
Так как a + b + c = 2p, b + c − a = 2(p − a), a − b + c = 2(p − b), a + b − c = 2(p − c), то h² = 2p · 2(p − a) · 2(p − b) · 2(p − c)/(4c²) = 4p(p − a)(p − b)(p − c)/c², откуда h = 2√(p(p − a)(p − b)(p − c))/c.
Но S = 1/2 · c · h, поэтому S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)). Формула доказана.