Глава VII. §3. Теорема Пифагора — с. 156
581. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным катетам a и b:
а) а = 6, b = 8;
б) а = 5, b = 6;
в) a = 3/7, b = 4/7;
г) a = 8, b = 8√3.
а) а = 6, b = 8;
б) а = 5, b = 6;
в) a = 3/7, b = 4/7;
г) a = 8, b = 8√3.
По теореме Пифагора c² = a² + b², c = √(a² + b²).
а) c² = 36 + 64 = 100, c = 10.
б) c² = 25 + 36 = 61, c = √61.
в) c² = 9/49 + 16/49 = 25/49, c = 5/7.
г) c² = 64 + 64 · 3 = 256, c = 16.
Ответ: а) 10; б) √61; в) 5/7; г) 16.
а) c² = 36 + 64 = 100, c = 10.
б) c² = 25 + 36 = 61, c = √61.
в) c² = 9/49 + 16/49 = 25/49, c = 5/7.
г) c² = 64 + 64 · 3 = 256, c = 16.
Ответ: а) 10; б) √61; в) 5/7; г) 16.
582. В прямоугольном треугольнике a и b — катеты, с — гипотенуза. Найдите b, если:
а) а = 12, с = 13;
б) а = 7, с = 9;
в) а = 12, с = 2b;
г) a = 2√3, с = 2b;
д) а = 3b, c = 2√10.
а) а = 12, с = 13;
б) а = 7, с = 9;
в) а = 12, с = 2b;
г) a = 2√3, с = 2b;
д) а = 3b, c = 2√10.
Из теоремы Пифагора b² = c² − a².
а) b² = 169 − 144 = 25, b = 5.
б) b² = 81 − 49 = 32, b = 4√2.
в) c = 2b: 4b² = 144 + b², 3b² = 144, b² = 48, b = 4√3.
г) c = 2b: 4b² = 12 + b², 3b² = 12, b² = 4, b = 2.
д) a = 3b: 9b² + b² = 40, b² = 4, b = 2.
Ответ: а) 5; б) 4√2; в) 4√3; г) 2; д) 2.
а) b² = 169 − 144 = 25, b = 5.
б) b² = 81 − 49 = 32, b = 4√2.
в) c = 2b: 4b² = 144 + b², 3b² = 144, b² = 48, b = 4√3.
г) c = 2b: 4b² = 12 + b², 3b² = 12, b² = 4, b = 2.
д) a = 3b: 9b² + b² = 40, b² = 4, b = 2.
Ответ: а) 5; б) 4√2; в) 4√3; г) 2; д) 2.
583. Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.
Пусть в треугольнике ABC ∠C = 90°, ∠A = 30°, ∠B = 60°, AB = c. Катет BC лежит против угла 30°, поэтому BC = c/2. Искомый катет AC лежит против угла 60°.
По теореме Пифагора AC² = c² − c²/4 = 3c²/4, AC = c√3/2.
Ответ: c√3/2.
По теореме Пифагора AC² = c² − c²/4 = 3c²/4, AC = c√3/2.
Ответ: c√3/2.
584. В прямоугольнике ABCD найдите:
а) AD, если AB = 5, АС = 13;
б) ВС, если CD = 1,5, AC = 2,5;
в) CD, если BD = 17, BC = 15.
а) AD, если AB = 5, АС = 13;
б) ВС, если CD = 1,5, AC = 2,5;
в) CD, если BD = 17, BC = 15.
Диагональ прямоугольника — гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого — две смежные стороны; диагонали равны.
а) Из прямоугольного треугольника ABD (или ACD): AD² = AC² − CD² = 169 − 25 = 144 (CD = AB = 5), AD = 12.
б) В треугольнике ACD с прямым углом D: AD² = AC² − CD² = 6,25 − 2,25 = 4, AD = 2; BC = AD = 2 (противоположные стороны прямоугольника).
в) В треугольнике BCD с прямым углом C: CD² = BD² − BC² = 289 − 225 = 64, CD = 8.
Ответ: а) 12; б) 2; в) 8.
а) Из прямоугольного треугольника ABD (или ACD): AD² = AC² − CD² = 169 − 25 = 144 (CD = AB = 5), AD = 12.
б) В треугольнике ACD с прямым углом D: AD² = AC² − CD² = 6,25 − 2,25 = 4, AD = 2; BC = AD = 2 (противоположные стороны прямоугольника).
в) В треугольнике BCD с прямым углом C: CD² = BD² − BC² = 289 − 225 = 64, CD = 8.
Ответ: а) 12; б) 2; в) 8.
585. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к основанию.
Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является медианой, поэтому делит основание пополам: половина основания 16 : 2 = 8 см.
Из прямоугольного треугольника (гипотенуза — боковая сторона): h² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, h = 15 см.
Ответ: 15 см.
Из прямоугольного треугольника (гипотенуза — боковая сторона): h² = 17² − 8² = 289 − 64 = 225, h = 15 см.
Ответ: 15 см.
586. Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника, если его высота равна 4 см.
Высота равностороннего треугольника со стороной a является и медианой, поэтому делит сторону на отрезки a/2 и h² = a² − a²/4 = 3a²/4, h = a√3/2.
а) h = 6 · √3/2 = 3√3 см.
б) a = 2h/√3, a² = 4h²/3 = 64/3, a = 8/√3 = 8√3/3 см.
Ответ: а) 3√3 см; б) 8√3/3 см.
а) h = 6 · √3/2 = 3√3 см.
б) a = 2h/√3, a² = 4h²/3 = 64/3, a = 8/√3 = 8√3/3 см.
Ответ: а) 3√3 см; б) 8√3/3 см.