Глава VII. §3. Теорема Пифагора — с. 157
587. Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = a²√3/4, где a — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2√2 дм.
Доказательство. В равностороннем треугольнике со стороной a высота является медианой, значит, делит основание на отрезки a/2. По теореме Пифагора h² = a² − (a/2)² = 3a²/4, h = a√3/2. Тогда S = 1/2 · a · h = 1/2 · a · a√3/2 = a²√3/4.
Вычисления:
а) S = 25√3/4 см².
б) S = 1,44 · √3/4 = 0,36√3 см².
в) a² = (2√2)² = 8, S = 8√3/4 = 2√3 дм².
Ответ: а) 25√3/4 см²; б) 0,36√3 см²; в) 2√3 дм².
Вычисления:
а) S = 25√3/4 см².
б) S = 1,44 · √3/4 = 0,36√3 см².
в) a² = (2√2)² = 8, S = 8√3/4 = 2√3 дм².
Ответ: а) 25√3/4 см²; б) 0,36√3 см²; в) 2√3 дм².
588. Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного треугольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведённая к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол, противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник прямоугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.
Во всех случаях высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, — медиана и биссектриса.
а) Половина основания 6 см, боковая сторона b = √(6² + 8²) = 10 см. S = 1/2 · 12 · 8 = 48 см².
б) Высота делит угол при вершине пополам: углы по 60°, а угол при основании равен 30°. Половина основания 9 см. В прямоугольном треугольнике с углом 30° гипотенуза (боковая сторона) b вдвое больше катета, лежащего против 30°, то есть высоты h: b = 2h. По теореме Пифагора b² = h² + 81, 4h² = h² + 81, h² = 27, h = 3√3, b = 6√3 см. S = 1/2 · 18 · 3√3 = 27√3 см².
в) Прямоугольный равнобедренный треугольник: катеты равны, острые углы по 45°. Высота к гипотенузе является и медианой, поэтому равна половине гипотенузы: гипотенуза 14 см. Из c² = 2b²: 196 = 2b², b² = 98, b = 7√2 см. S = 1/2 · 14 · 7 = 49 см².
Ответ: а) 10 см и 48 см²; б) 6√3 см и 27√3 см²; в) 7√2 см и 49 см².
а) Половина основания 6 см, боковая сторона b = √(6² + 8²) = 10 см. S = 1/2 · 12 · 8 = 48 см².
б) Высота делит угол при вершине пополам: углы по 60°, а угол при основании равен 30°. Половина основания 9 см. В прямоугольном треугольнике с углом 30° гипотенуза (боковая сторона) b вдвое больше катета, лежащего против 30°, то есть высоты h: b = 2h. По теореме Пифагора b² = h² + 81, 4h² = h² + 81, h² = 27, h = 3√3, b = 6√3 см. S = 1/2 · 18 · 3√3 = 27√3 см².
в) Прямоугольный равнобедренный треугольник: катеты равны, острые углы по 45°. Высота к гипотенузе является и медианой, поэтому равна половине гипотенузы: гипотенуза 14 см. Из c² = 2b²: 196 = 2b², b² = 98, b = 7√2 см. S = 1/2 · 14 · 7 = 49 см².
Ответ: а) 10 см и 48 см²; б) 6√3 см и 27√3 см²; в) 7√2 см и 49 см².
589. По данным катетам a и b прямоугольного треугольника найдите высоту, проведённую к гипотенузе: а) а = 5, b = 12; б) а = 12, b = 16.
Пусть c — гипотенуза, h — высота к ней. Площадь S = 1/2 ab = 1/2 ch, значит, h = ab / c.
а) c = √(25 + 144) = 13, h = 5 · 12 : 13 = 60/13 = 4 8/13.
б) c = √(144 + 256) = 20, h = 12 · 16 : 20 = 9,6.
Ответ: а) 60/13 (то есть 4 8/13); б) 9,6.
а) c = √(25 + 144) = 13, h = 5 · 12 : 13 = 60/13 = 4 8/13.
б) c = √(144 + 256) = 20, h = 12 · 16 : 20 = 9,6.
Ответ: а) 60/13 (то есть 4 8/13); б) 9,6.
590. Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.
Треугольник равнобедренный с основанием 12 см. Высота к основанию — медиана: h1² = 10² − 6² = 64, h1 = 8 см. Площадь S = 1/2 · 12 · 8 = 48 см².
Высота к боковой стороне: h2 = 2S : 10 = 96 : 10 = 9,6 см (обе боковые стороны равны, поэтому высоты к ним равны).
Ответ: 8 см, 9,6 см, 9,6 см.
Высота к боковой стороне: h2 = 2S : 10 = 96 : 10 = 9,6 см (обе боковые стороны равны, поэтому высоты к ним равны).
Ответ: 8 см, 9,6 см, 9,6 см.
591. Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам: получается прямоугольный треугольник с катетами 5 см и 12 см, гипотенуза — сторона ромба: a = √(25 + 144) = 13 см.
Площадь S = 1/2 · 10 · 24 = 120 см².
Ответ: 13 см; 120 см².
Площадь S = 1/2 · 10 · 24 = 120 см².
Ответ: 13 см; 120 см².
592. Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна 10 см, а другая диагональ — 12 см.
Половина известной диагонали 6 см, сторона 10 см. Половина искомой диагонали: √(10² − 6²) = 8 см, значит, диагональ 16 см.
Площадь S = 1/2 · 12 · 16 = 96 см².
Ответ: 16 см; 96 см².
Площадь S = 1/2 · 12 · 16 = 96 см².
Ответ: 16 см; 96 см².
593. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если: а) AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C = ∠D = 60°, AB = ВС = 8 см; в) ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, BC = 9√2 см.
Во всех случаях трапеция равнобедренная (равные боковые стороны или равные углы при основании CD). Проведём высоты AK и BL к основанию CD; тогда DK = LC = (CD − AB)/2.
а) DK = (20 − 10)/2 = 5 см, высота AK = √(13² − 5²) = 12 см. S = 1/2 · (10 + 20) · 12 = 180 см².
б) В прямоугольном треугольнике BLC угол C равен 60°, угол CBL равен 30°, значит, LC = BC/2 = 4 см, BL = √(64 − 16) = 4√3 см. CD = AB + 2 · LC = 8 + 8 = 16 см. S = 1/2 · (8 + 16) · 4√3 = 48√3 см².
в) В прямоугольном треугольнике BLC угол C = 45°, он равнобедренный: BL = LC = BC/√2 = 9 см (BL² + LC² = 162, BL = LC = 9). CD = AB + 2 · 9 = 24 см. S = 1/2 · (6 + 24) · 9 = 135 см².
Ответ: а) 180 см²; б) 48√3 см²; в) 135 см².
а) DK = (20 − 10)/2 = 5 см, высота AK = √(13² − 5²) = 12 см. S = 1/2 · (10 + 20) · 12 = 180 см².
б) В прямоугольном треугольнике BLC угол C равен 60°, угол CBL равен 30°, значит, LC = BC/2 = 4 см, BL = √(64 − 16) = 4√3 см. CD = AB + 2 · LC = 8 + 8 = 16 см. S = 1/2 · (8 + 16) · 4√3 = 48√3 см².
в) В прямоугольном треугольнике BLC угол C = 45°, он равнобедренный: BL = LC = BC/√2 = 9 см (BL² + LC² = 162, BL = LC = 9). CD = AB + 2 · 9 = 24 см. S = 1/2 · (6 + 24) · 9 = 135 см².
Ответ: а) 180 см²; б) 48√3 см²; в) 135 см².
594. Основание D высоты CD треугольника ABC лежит на стороне AB, причём AD = BC. Найдите АС, если AB = 3, а CD = √3.
Пусть AD = BC = x. Тогда DB = AB − AD = 3 − x.
В прямоугольном треугольнике CDB: BC² = CD² + DB², то есть x² = 3 + (3 − x)² = 3 + 9 − 6x + x², откуда 6x = 12, x = 2. Значит, AD = 2.
В прямоугольном треугольнике ACD: AC² = AD² + CD² = 4 + 3 = 7, AC = √7.
Ответ: √7.
В прямоугольном треугольнике CDB: BC² = CD² + DB², то есть x² = 3 + (3 − x)² = 3 + 9 − 6x + x², откуда 6x = 12, x = 2. Значит, AD = 2.
В прямоугольном треугольнике ACD: AC² = AD² + CD² = 4 + 3 = 7, AC = √7.
Ответ: √7.
595. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма равен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.
Пусть смежные стороны параллелограмма a и b, a > b. Тогда a + b = 50 : 2 = 25, a − b = 1, откуда a = 13 см, b = 12 см.
Пусть диагональ BD ⊥ AB (так что BD — высота). Тогда треугольник ABD прямоугольный с прямым углом B и гипотенузой AD — это сторона, смежная с AB. Гипотенуза больше катета, поэтому AD = 13 см, AB = 12 см.
BD² = 13² − 12² = 25, BD = 5 см.
Ответ: 5 см.
Пусть диагональ BD ⊥ AB (так что BD — высота). Тогда треугольник ABD прямоугольный с прямым углом B и гипотенузой AD — это сторона, смежная с AB. Гипотенуза больше катета, поэтому AD = 13 см, AB = 12 см.
BD² = 13² − 12² = 25, BD = 5 см.
Ответ: 5 см.
596. Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. В каждом случае ответ обоснуйте.
Используем теорему, обратную теореме Пифагора: если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный; если не равен — то нет (если бы треугольник был прямоугольным, по теореме Пифагора равенство выполнялось бы).
а) 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Да.
б) 5² + 6² = 61 ≠ 49 = 7². Нет.
в) 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15². Да.
г) 10² + 24² = 100 + 576 = 676 = 26². Да.
д) 3² + 4² = 25 ≠ 36 = 6². Нет.
е) 11² + 9² = 121 + 81 = 202 ≠ 169 = 13². Нет.
ж) 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25². Да.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) да.
а) 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Да.
б) 5² + 6² = 61 ≠ 49 = 7². Нет.
в) 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15². Да.
г) 10² + 24² = 100 + 576 = 676 = 26². Да.
д) 3² + 4² = 25 ≠ 36 = 6². Нет.
е) 11² + 9² = 121 + 81 = 202 ≠ 169 = 13². Нет.
ж) 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25². Да.
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет; ж) да.
597. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равными: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см.
Меньшая высота проведена к большей стороне (S = 1/2 · сторона · высота, при одной площади большей стороне соответствует меньшая высота).
а) 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25², треугольник прямоугольный с катетами 7 и 24, S = 1/2 · 7 · 24 = 84 см². Высота к стороне 25 см: h = 2 · 84 : 25 = 6,72 см.
б) 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17², треугольник прямоугольный с катетами 8 и 15, S = 1/2 · 8 · 15 = 60 см². Высота к стороне 17 см: h = 120 : 17 = 7 1/17 см.
Ответ: а) 6,72 см; б) 7 1/17 см.
а) 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25², треугольник прямоугольный с катетами 7 и 24, S = 1/2 · 7 · 24 = 84 см². Высота к стороне 25 см: h = 2 · 84 : 25 = 6,72 см.
б) 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17², треугольник прямоугольный с катетами 8 и 15, S = 1/2 · 8 · 15 = 60 см². Высота к стороне 17 см: h = 120 : 17 = 7 1/17 см.
Ответ: а) 6,72 см; б) 7 1/17 см.
598. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Высота к основанию: h = √(13² − 5²) = 12 см. Площадь S = 1/2 · 10 · 12 = 60 см².
Полупериметр p = (13 + 13 + 10)/2 = 18 см. Радиус вписанной окружности r = S : p = 60 : 18 = 10/3 см.
Ответ: 10/3 см (3 1/3 см).
Полупериметр p = (13 + 13 + 10)/2 = 18 см. Радиус вписанной окружности r = S : p = 60 : 18 = 10/3 см.
Ответ: 10/3 см (3 1/3 см).
599. В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, r = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.
Пусть катеты a и b, гипотенуза c; окружность касается катетов в точках, отстоящих от вершины прямого угла на r (четырёхугольник из центра, вершины прямого угла и двух точек касания — квадрат со стороной r). Поэтому a = r + (отрезок гипотенузы, примыкающий к катету a), b = r + (другой отрезок), так как касательные из одной точки равны.
а) c = (a − r) + (b − r), откуда a + b = c + 2r = 26 + 8 = 34 см. Периметр P = 34 + 26 = 60 см.
б) c = 5 + 12 = 17 см, катеты a = r + 5, b = r + 12. По теореме Пифагора (r + 5)² + (r + 12)² = 17², 2r² + 34r + 169 = 289, r² + 17r − 60 = 0, r = 3 (корень r = −20 не подходит). Катеты 8 и 15, P = 8 + 15 + 17 = 40 см. (Это тоже можно найти как P = 2 · (5 + 12 + r) = 2 · 20.)
Ответ: а) 60 см; б) 40 см.
а) c = (a − r) + (b − r), откуда a + b = c + 2r = 26 + 8 = 34 см. Периметр P = 34 + 26 = 60 см.
б) c = 5 + 12 = 17 см, катеты a = r + 5, b = r + 12. По теореме Пифагора (r + 5)² + (r + 12)² = 17², 2r² + 34r + 169 = 289, r² + 17r − 60 = 0, r = 3 (корень r = −20 не подходит). Катеты 8 и 15, P = 8 + 15 + 17 = 40 см. (Это тоже можно найти как P = 2 · (5 + 12 + r) = 2 · 20.)
Ответ: а) 60 см; б) 40 см.