Глава VII. §2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции — с. 152
574. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагонали равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.
Доказательство. Пусть ABCD — ромб, O — точка пересечения его диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам: AO = OC = AC/2. Диагональ BD делит ромб на треугольники ABD и CBD. Отрезки AO и CO — высоты этих треугольников, проведённые к общему основанию BD.
S = SABD + SCBD = 1/2 · BD · AO + 1/2 · BD · CO = 1/2 · BD · (AO + CO) = 1/2 · BD · AC.
Вычисления:
а) 3,2 дм = 32 см. S = 1/2 · 32 · 14 = 224 см².
б) S = 1/2 · 4,6 · 2 = 4,6 дм².
Ответ: а) 224 см²; б) 4,6 дм².
S = SABD + SCBD = 1/2 · BD · AO + 1/2 · BD · CO = 1/2 · BD · (AO + CO) = 1/2 · BD · AC.
Вычисления:
а) 3,2 дм = 32 см. S = 1/2 · 32 · 14 = 224 см².
б) S = 1/2 · 4,6 · 2 = 4,6 дм².
Ответ: а) 224 см²; б) 4,6 дм².
575. Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше другой, а площадь ромба равна 27 см2.
Пусть меньшая диагональ d см, тогда большая 1,5d см. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: 1/2 · d · 1,5d = 0,75d² = 27, d² = 36, d = 6 см. Большая диагональ 1,5 · 6 = 9 см.
Ответ: 6 см и 9 см.
Ответ: 6 см и 9 см.
576. В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
Пусть диагонали AC и BD выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O и AC ⊥ BD. Так как четырёхугольник выпуклый, O лежит внутри обеих диагоналей: AC = AO + OC, BD = BO + OD.
Диагональ BD разбивает четырёхугольник на треугольники ABD и CBD. Отрезки AO и CO перпендикулярны BD, поэтому AO и CO — высоты этих треугольников, проведённые к основанию BD.
S = SABD + SCBD = 1/2 · BD · AO + 1/2 · BD · OC = 1/2 · BD · (AO + OC) = 1/2 · BD · AC.
Что и требовалось доказать.
Диагональ BD разбивает четырёхугольник на треугольники ABD и CBD. Отрезки AO и CO перпендикулярны BD, поэтому AO и CO — высоты этих треугольников, проведённые к основанию BD.
S = SABD + SCBD = 1/2 · BD · AO + 1/2 · BD · OC = 1/2 · BD · (AO + OC) = 1/2 · BD · AC.
Что и требовалось доказать.
577. Точки D и Е лежат на сторонах AB и АС треугольника ABC. Найдите: а) SADE, если AB = 5 см, АС = 6 см, АD = 3 см, АЕ = 2 см, SABС = 10 см2; б) AD, если AB = 8 см, АС = 3 см, АЕ = 2 см, SABC = 10 см2, SADE = 2 см2.
Треугольники ADE и ABC имеют общий угол A, поэтому SADE : SABC = (AD · AE) : (AB · AC).
а) SADE = 10 · (3 · 2) : (5 · 6) = 10 · 6 : 30 = 2 см².
б) 2 : 10 = (AD · 2) : (8 · 3), 1/5 = 2 · AD : 24, 2 · AD = 24/5 = 4,8, AD = 2,4 см.
Ответ: а) 2 см²; б) 2,4 см.
а) SADE = 10 · (3 · 2) : (5 · 6) = 10 · 6 : 30 = 2 см².
б) 2 : 10 = (AD · 2) : (8 · 3), 1/5 = 2 · AD : 24, 2 · AD = 24/5 = 4,8, AD = 2,4 см.
Ответ: а) 2 см²; б) 2,4 см.
578. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD, если:
а) AB = 21 см, CD = 17 см, высота ВН равна 7 см;
б) ∠D = 30°, AB = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см;
в) ВС ⊥ AB, AB = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.
а) AB = 21 см, CD = 17 см, высота ВН равна 7 см;
б) ∠D = 30°, AB = 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см;
в) ВС ⊥ AB, AB = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.
Площадь трапеции S = 1/2 (основание + основание) · высота.
а) S = 1/2 · (21 + 17) · 7 = 19 · 7 = 133 см².
б) Проведём из вершины A высоту AK к основанию CD. В прямоугольном треугольнике ADK угол D равен 30°, значит, AK = AD : 2 = 4 см. S = 1/2 · (2 + 10) · 4 = 24 см².
в) AB ∥ CD, BC ⊥ AB, значит, BC ⊥ CD, и BC — высота трапеции, BC = 8 см. S = 1/2 · (5 + 13) · 8 = 72 см².
Ответ: а) 133 см²; б) 24 см²; в) 72 см².
а) S = 1/2 · (21 + 17) · 7 = 19 · 7 = 133 см².
б) Проведём из вершины A высоту AK к основанию CD. В прямоугольном треугольнике ADK угол D равен 30°, значит, AK = AD : 2 = 4 см. S = 1/2 · (2 + 10) · 4 = 24 см².
в) AB ∥ CD, BC ⊥ AB, значит, BC ⊥ CD, и BC — высота трапеции, BC = 8 см. S = 1/2 · (5 + 13) · 8 = 72 см².
Ответ: а) 133 см²; б) 24 см²; в) 72 см².
579. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°.
Пусть ABCD — прямоугольная трапеция, ∠A = ∠B = 90°, BC и AB — две меньшие стороны: BC = AB = 6 см (меньшее основание и меньшая боковая сторона — высота), ∠D — острый, ∠C = 135° — больший угол.
Проведём высоту CH к основанию AD. Тогда ABCH — прямоугольник: AH = BC = 6 см, CH = AB = 6 см. В треугольнике CHD ∠HCD = 135° − 90° = 45°, значит, он равнобедренный прямоугольный: HD = CH = 6 см. Большее основание AD = AH + HD = 12 см.
S = 1/2 · (6 + 12) · 6 = 54 см².
Ответ: 54 см².
Проведём высоту CH к основанию AD. Тогда ABCH — прямоугольник: AH = BC = 6 см, CH = AB = 6 см. В треугольнике CHD ∠HCD = 135° − 90° = 45°, значит, он равнобедренный прямоугольный: HD = CH = 6 см. Большее основание AD = AH + HD = 12 см.
S = 1/2 · (6 + 12) · 6 = 54 см².
Ответ: 54 см².
580. Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.
Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, BC и AD — основания, ∠B = 135°, BH — высота, AH = 1,4 см, HD = 3,4 см (в равнобедренной трапеции высота из вершины тупого угла делит большее основание на меньший отрезок, равный полуразности оснований, и больший, равный полусумме оснований).
∠A = 180° − 135° = 45°, значит, в прямоугольном треугольнике ABH углы при гипотенузе равны 45°, откуда BH = AH = 1,4 см.
AD = 1,4 + 3,4 = 4,8 см. Из AH = (AD − BC)/2 следует BC = AD − 2 · AH = 4,8 − 2,8 = 2 см (проверка: (AD + BC)/2 = 3,4).
S = 1/2 · (4,8 + 2) · 1,4 = 3,4 · 1,4 = 4,76 см².
Ответ: 4,76 см².
∠A = 180° − 135° = 45°, значит, в прямоугольном треугольнике ABH углы при гипотенузе равны 45°, откуда BH = AH = 1,4 см.
AD = 1,4 + 3,4 = 4,8 см. Из AH = (AD − BC)/2 следует BC = AD − 2 · AH = 4,8 − 2,8 = 2 см (проверка: (AD + BC)/2 = 3,4).
S = 1/2 · (4,8 + 2) · 1,4 = 3,4 · 1,4 = 4,76 см².
Ответ: 4,76 см².