Глава VII. §2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции — с. 150
555. Пусть а — основание, h — высота, а S — площадь параллелограмма. Найдите: а) S, если а = 15 см, h = 12 см; б) а, если S = 34 см2, h = 8,5 см; в) а, если S = 162 см2, h = 1/2 a; г) h, если h = 3а, S = 27.
Площадь параллелограмма S = a · h.
а) S = 15 · 12 = 180 см².
б) a = S : h = 34 : 8,5 = 4 см.
в) S = a · a/2 = a²/2 = 162, a² = 324, a = 18 см.
г) S = a · 3a = 3a² = 27, a² = 9, a = 3, h = 3a = 9.
Ответ: а) 180 см²; б) 4 см; в) 18 см; г) 9.
а) S = 15 · 12 = 180 см².
б) a = S : h = 34 : 8,5 = 4 см.
в) S = a · a/2 = a²/2 = 162, a² = 324, a = 18 см.
г) S = a · 3a = 3a² = 27, a² = 9, a = 3, h = 3a = 9.
Ответ: а) 180 см²; б) 4 см; в) 18 см; г) 9.
556. Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь параллелограмма.
Пусть в параллелограмме ABCD диагональ BD = 13 см перпендикулярна стороне AB = 12 см. Так как CD ∥ AB, отрезок BD, перпендикулярный AB, соединяет точку прямой AB с точкой параллельной прямой CD, то есть BD — высота параллелограмма, проведённая к стороне AB. Значит, h = BD = 13 см.
S = AB · h = 12 · 13 = 156 см².
Ответ: 156 см².
S = AB · h = 12 · 13 = 156 см².
Ответ: 156 см².
557. Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его острый угол равен 30°. Найдите площадь параллелограмма.
Пусть в параллелограмме ABCD AB = 12 см, AD = 14 см, ∠A = 30°. Проведём высоту BH к стороне AD. В прямоугольном треугольнике ABH катет BH лежит против угла 30°, поэтому BH = AB : 2 = 6 см.
S = AD · BH = 14 · 6 = 84 см².
Ответ: 84 см².
S = AD · BH = 14 · 6 = 84 см².
Ответ: 84 см².
558. Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найдите площадь ромба.
Ромб — параллелограмм, его острый угол равен 180° − 150° = 30°. Высота, проведённая из вершины тупого угла к стороне, образует прямоугольный треугольник с гипотенузой 6 см и углом 30°; высота лежит против угла 30°, значит, h = 6 : 2 = 3 см.
S = a · h = 6 · 3 = 18 см².
Ответ: 18 см².
S = a · h = 6 · 3 = 18 см².
Ответ: 18 см².
559. Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная 14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллелограмма.
Пусть в параллелограмме ABCD AB = 8,1 см, диагональ AC = 14 см, ∠CAB = 30°. Проведём высоту CH к стороне AB. В прямоугольном треугольнике ACH катет CH лежит против угла 30°, поэтому CH = 14 : 2 = 7 см.
S = AB · CH = 8,1 · 7 = 56,7 см².
Ответ: 56,7 см².
S = AB · CH = 8,1 · 7 = 56,7 см².
Ответ: 56,7 см².
560. Пусть a и b — смежные стороны параллелограмма, S — площадь, а h1 и h2 — его высоты. Найдите: а) h2, если а = 18 см, b = 30 см, h1 = 6 см, h2 > h1; б) h1, если а = 10 см, b = 15 см, h2 = 6 см, h2 > h1; в) h1 и h2, если S = 54 см2, а = 4,5 см, b = 6 см.
Площадь параллелограмма равна произведению любой стороны на проведённую к ней высоту, поэтому большая высота проведена к меньшей стороне. Так как в а) и б) a < b и h2 > h1, высота h2 проведена к стороне a, а h1 — к стороне b: S = a · h2 = b · h1.
а) S = b · h1 = 30 · 6 = 180 см². h2 = S : a = 180 : 18 = 10 см (10 > 6, условие выполнено).
б) S = a · h2 = 10 · 6 = 60 см². h1 = S : b = 60 : 15 = 4 см (4 < 6, условие выполнено).
в) Высота, проведённая к стороне a: S : a = 54 : 4,5 = 12 см; высота, проведённая к стороне b: S : b = 54 : 6 = 9 см.
Ответ: а) 10 см; б) 4 см; в) 12 см (к стороне 4,5 см) и 9 см (к стороне 6 см).
Оговорка: рисунка с обозначением высот в условии нет; соответствие h1 и h2 сторонам b и a выбрано так, чтобы выполнялось условие h2 > h1 в пунктах а) и б).
а) S = b · h1 = 30 · 6 = 180 см². h2 = S : a = 180 : 18 = 10 см (10 > 6, условие выполнено).
б) S = a · h2 = 10 · 6 = 60 см². h1 = S : b = 60 : 15 = 4 см (4 < 6, условие выполнено).
в) Высота, проведённая к стороне a: S : a = 54 : 4,5 = 12 см; высота, проведённая к стороне b: S : b = 54 : 6 = 9 см.
Ответ: а) 10 см; б) 4 см; в) 12 см (к стороне 4,5 см) и 9 см (к стороне 6 см).
Оговорка: рисунка с обозначением высот в условии нет; соответствие h1 и h2 сторонам b и a выбрано так, чтобы выполнялось условие h2 > h1 в пунктах а) и б).