Глава VII. Площадь. §1. Площадь многоугольника — с. 144
541. Вырежите из бумаги два равных прямоугольных треугольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур.
Пусть катеты вырезанных треугольников равны a и b (a ≠ b), гипотенуза равна c.
а) Приложим треугольники друг к другу равными катетами b так, чтобы они лежали по разные стороны от общего катета (второй треугольник — зеркальное отражение первого). Катеты a лежат на одной прямой (прямые углы вместе дают развёрнутый угол), получается треугольник с основанием 2a и высотой b. Две его стороны равны гипотенузам c, значит, треугольник равнобедренный.
б) Приложим треугольники гипотенузами, повернув второй на 180° вокруг середины гипотенузы. Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны (a, b, a, b), а углы при вершинах прямые (острые углы треугольников в сумме дают 90°), получается прямоугольник со сторонами a и b.
в) Приложим треугольники одинаковыми катетами b, повернув второй на 180° вокруг середины этого катета. Получается четырёхугольник со сторонами a, c, a, c, противоположные стороны попарно равны, значит, это параллелограмм; он не прямоугольник: у него есть острые углы (острый угол треугольника), а углы, равные сумме прямого и острого, — тупые.
Сравнение площадей: каждая из трёх фигур составлена из двух равных треугольников, поэтому по свойствам 1° и 2° площадь каждой равна сумме площадей двух равных треугольников, то есть все три фигуры имеют одинаковую площадь. Для прямоугольника она равна ab, значит, у остальных тоже S = ab.
а) Приложим треугольники друг к другу равными катетами b так, чтобы они лежали по разные стороны от общего катета (второй треугольник — зеркальное отражение первого). Катеты a лежат на одной прямой (прямые углы вместе дают развёрнутый угол), получается треугольник с основанием 2a и высотой b. Две его стороны равны гипотенузам c, значит, треугольник равнобедренный.
б) Приложим треугольники гипотенузами, повернув второй на 180° вокруг середины гипотенузы. Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны (a, b, a, b), а углы при вершинах прямые (острые углы треугольников в сумме дают 90°), получается прямоугольник со сторонами a и b.
в) Приложим треугольники одинаковыми катетами b, повернув второй на 180° вокруг середины этого катета. Получается четырёхугольник со сторонами a, c, a, c, противоположные стороны попарно равны, значит, это параллелограмм; он не прямоугольник: у него есть острые углы (острый угол треугольника), а углы, равные сумме прямого и острого, — тупые.
Сравнение площадей: каждая из трёх фигур составлена из двух равных треугольников, поэтому по свойствам 1° и 2° площадь каждой равна сумме площадей двух равных треугольников, то есть все три фигуры имеют одинаковую площадь. Для прямоугольника она равна ab, значит, у остальных тоже S = ab.
542. Начертите квадрат и примите его за единицу измерения площадей. Далее начертите: а) квадрат, площадь которого выражается числом 4; б) прямоугольник, отличный от квадрата, площадь которого выражается числом 4; в) треугольник, площадь которого выражается числом 2.
Начертим единичный квадрат со стороной 1 (например, клетка со стороной 1 см). Его площадь принимаем за 1.
а) Квадрат со стороной 2 состоит из 4 единичных квадратов, его площадь S = 2² = 4 (свойство 3°).
б) Прямоугольник со сторонами 1 и 4: S = 1 · 4 = 4. Он отличен от квадрата. Подойдут и другие размеры, например 0,5 и 8, но не 2 и 2 — это квадрат.
в) Прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2: S = 1/2 · 2 · 2 = 2. Его можно получить, проведя диагональ в квадрате 2 × 2 из пункта а): диагональ делит квадрат на два равных треугольника, и площадь каждого равна 4 : 2 = 2.
а) Квадрат со стороной 2 состоит из 4 единичных квадратов, его площадь S = 2² = 4 (свойство 3°).
б) Прямоугольник со сторонами 1 и 4: S = 1 · 4 = 4. Он отличен от квадрата. Подойдут и другие размеры, например 0,5 и 8, но не 2 и 2 — это квадрат.
в) Прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2: S = 1/2 · 2 · 2 = 2. Его можно получить, проведя диагональ в квадрате 2 × 2 из пункта а): диагональ делит квадрат на два равных треугольника, и площадь каждого равна 4 : 2 = 2.
543. Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М, симметричную точке D относительно точки С. Докажите, что SABCD = SAMD.
Построение: чертим параллелограмм ABCD, на луче DC откладываем от точки C отрезок CM = DC. Тогда C — середина отрезка DM, то есть M симметрична D относительно C. Соединяем A с M.
Доказательство. Точки D, C, M лежат на одной прямой, DM = 2DC. Проведём из точки A перпендикуляр AH к прямой DC; AH = h — высота параллелограмма ABCD, проведённая к стороне DC, и в то же время высота треугольника AMD, проведённая к стороне DM.
Площадь параллелограмма: SABCD = DC · h.
Площадь треугольника: SAMD = 1/2 · DM · h = 1/2 · 2DC · h = DC · h.
Значит, SABCD = SAMD, что и требовалось доказать.
Доказательство. Точки D, C, M лежат на одной прямой, DM = 2DC. Проведём из точки A перпендикуляр AH к прямой DC; AH = h — высота параллелограмма ABCD, проведённая к стороне DC, и в то же время высота треугольника AMD, проведённая к стороне DM.
Площадь параллелограмма: SABCD = DC · h.
Площадь треугольника: SAMD = 1/2 · DM · h = 1/2 · 2DC · h = DC · h.
Значит, SABCD = SAMD, что и требовалось доказать.