Геометрия Атанасян 7-9 класс, страница 145 — задания и ответы

Question

Accepted Answer

Глава VII. Площадь. §1. Площадь многоугольника — с. 145 544. На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках М и N, причём точка М — середина отрезка АЕ. Докажите, что SABCD = SADE. Прямая BC параллельна AD (противоположные стороны прямоугольника). Расстояние между прямыми BC и AD равно AB, так как AB ⊥ AD и AB ⊥ BC. Точка M лежит на BC, значит, расстояние от M до прямой AD равно AB. Пусть EF — перпендикуляр из E к прямой AD (E лежит по ту же сторону от AD, что и BC). Пусть MP — перпендикуляр из M к AD, MP = AB. Прямые MP и EF параллельны (обе перпендикулярны AD), а M — середина AE, поэтому по теореме Фалеса P — середина AF, и MP — средняя линия треугольника AFE. Значит, EF = 2MP = 2AB. Тогда SADE = 1/2 · AD · EF = 1/2 · AD · 2AB = AD · AB = SABCD. Что и требовалось доказать. 545. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна: а) 1,2 см; б) 3/4 дм; в) 3√2 м. Площадь квадрата со стороной a равна a² (свойство 3°). а) S = 1,2² = 1,44 см². б) S = (3/4)² = 9/16 дм². в) S = (3√2)² = 9 · 2 = 18 м². Ответ: а) 1,44 см²; б) 9/16 дм²; в) 18 м². 546. Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см2; б) 2,25 дм2; в) 12 м2. Сторона квадрата a = √S. а) a = √16 = 4 см. б) a = √2,25 = 1,5 дм. в) a = √12 = 2√3 м. Ответ: а) 4 см; б) 1,5 дм; в) 2√3 м. 547. Площадь квадрата равна 24 см2. Выразите площадь этого квадрата: а) в квадратных миллиметрах; б) в квадратных дециметрах. а) 1 см = 10 мм, значит, 1 см² = 100 мм². Тогда 24 см² = 24 · 100 = 2400 мм². б) 1 дм = 10 см, значит, 1 дм² = 100 см², 1 см² = 0,01 дм². Тогда 24 см² = 24 · 0,01 = 0,24 дм². Ответ: а) 2400 мм²; б) 0,24 дм². 548. Пусть a и b — смежные стороны прямоугольника, а S — его площадь. Вычислите: а) S, если а = 8,5 см, b = 3,2 см; б) S, если а = 2√2 см, b = 3 см; в) b, если а = 32 см, S = 684,8 см2; г) а, если b = 4,5 см, S = 12,15 см2. По теореме о площади прямоугольника S = ab. а) S = 8,5 · 3,2 = 27,2 см². б) S = 2√2 · 3 = 6√2 см². в) b = S : a = 684,8 : 32 = 21,4 см. г) a = S : b = 12,15 : 4,5 = 2,7 см. Ответ: а) 27,2 см²; б) 6√2 см²; в) 21,4 см; г) 2,7 см. 549. Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару противоположных сторон увеличить в 2 раза; б) каждую сторону увеличить в 2 раза; в) одну пару противоположных сторон увеличить в 2 раза, а другую — уменьшить в 2 раза? Пусть стороны прямоугольника a и b, площадь S = ab. а) Стороны стали 2a и b: S1 = 2a · b = 2ab = 2S. Площадь увеличится в 2 раза. б) Стороны стали