Глава VII. §2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции — с. 151
561. Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведённые из вершины тупого угла, равны 2 см и 3 см. Найдите площадь параллелограмма.
Пусть в параллелограмме ABCD ∠A = ∠C = 30°, а из вершины тупого угла B проведены высоты BH ⊥ AD и BK ⊥ CD: BH = 2 см, BK = 3 см.
В прямоугольном треугольнике ABH угол A равен 30°, значит, гипотенуза AB = 2BH = 4 см.
В прямоугольном треугольнике BCK угол C равен 30°, значит, BC = 2BK = 6 см.
Тогда S = AD · BH = BC · BH = 6 · 2 = 12 см². (Проверка: S = CD · BK = AB · BK = 4 · 3 = 12 см².)
Ответ: 12 см².
В прямоугольном треугольнике ABH угол A равен 30°, значит, гипотенуза AB = 2BH = 4 см.
В прямоугольном треугольнике BCK угол C равен 30°, значит, BC = 2BK = 6 см.
Тогда S = AD · BH = BC · BH = 6 · 2 = 12 см². (Проверка: S = CD · BK = AB · BK = 4 · 3 = 12 см².)
Ответ: 12 см².
562. Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите площадь параллелограмма, если бо́льшая его сторона равна 15,2 см, а один из его углов — 45°.
Пусть ABCD — параллелограмм, AB = 15,2 см — большая сторона. Диагональ равна стороне; она не может быть равна большей стороне: если бы AC = AB, то в равнобедренном треугольнике ABC углы при основании BC острые, и из ∠ABC = 45° получилось бы ∠BAC = 90°, а BC = AB√2 > AB — противоречие с тем, что AB наибольшая. Значит, диагональ BD равна меньшей стороне: BD = AD.
Треугольник ABD — равнобедренный (AD = BD) с основанием AB. Угол 45° параллелограмма — острый угол A (тупой угол равен 135°). Тогда ∠ABD = ∠A = 45°, ∠ADB = 180° − 90° = 90°. Проведём высоту DH к AB; в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABD она равна половине гипотенузы: DH = 15,2 : 2 = 7,6 см.
S = AB · DH = 15,2 · 7,6 = 115,52 см².
Ответ: 115,52 см².
Треугольник ABD — равнобедренный (AD = BD) с основанием AB. Угол 45° параллелограмма — острый угол A (тупой угол равен 135°). Тогда ∠ABD = ∠A = 45°, ∠ADB = 180° − 90° = 90°. Проведём высоту DH к AB; в равнобедренном прямоугольном треугольнике ABD она равна половине гипотенузы: DH = 15,2 : 2 = 7,6 см.
S = AB · DH = 15,2 · 7,6 = 115,52 см².
Ответ: 115,52 см².
563. Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одинаковые периметры. Сравните площади этих фигур.
Равные периметры означают равные стороны: пусть сторона каждой фигуры a.
Площадь квадрата S1 = a².
Площадь ромба S2 = a · h, где h — высота ромба. Высота — перпендикуляр, а сторона ромба — наклонная, проведённая из той же вершины, поэтому h < a (у квадрата h = a, а у ромба, не являющегося квадратом, угол не прямой, и h меньше стороны).
Значит, S2 = a · h < a · a = S1.
Ответ: площадь квадрата больше площади ромба.
Площадь квадрата S1 = a².
Площадь ромба S2 = a · h, где h — высота ромба. Высота — перпендикуляр, а сторона ромба — наклонная, проведённая из той же вершины, поэтому h < a (у квадрата h = a, а у ромба, не являющегося квадратом, угол не прямой, и h меньше стороны).
Значит, S2 = a · h < a · a = S1.
Ответ: площадь квадрата больше площади ромба.
564. Пусть а — основание, h — высота, а S — площадь треугольника. Найдите: а) S, если а = 7 см, h = 11 см; б) S, если a = 2√3 см, h = 5 см; в) h, если S = 37,8 см2, а = 14 см; г) а, если S = 12 см2, h = 3√2 см.
Площадь треугольника S = 1/2 · a · h.
а) S = 1/2 · 7 · 11 = 38,5 см².
б) S = 1/2 · 2√3 · 5 = 5√3 см².
в) h = 2S : a = 75,6 : 14 = 5,4 см.
г) a = 2S : h = 24 : (3√2) = 8/√2 = 4√2 см.
Ответ: а) 38,5 см²; б) 5√3 см²; в) 5,4 см; г) 4√2 см.
а) S = 1/2 · 7 · 11 = 38,5 см².
б) S = 1/2 · 2√3 · 5 = 5√3 см².
в) h = 2S : a = 75,6 : 14 = 5,4 см.
г) a = 2S : h = 24 : (3√2) = 8/√2 = 4√2 см.
Ответ: а) 38,5 см²; б) 5√3 см²; в) 5,4 см; г) 4√2 см.
565. Стороны AB и ВС треугольника ABC равны соответственно 16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне AB, равна 11 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ВС.
Площадь треугольника: S = 1/2 · AB · h1 = 1/2 · 16 · 11 = 88 см².
С другой стороны, S = 1/2 · BC · h2, откуда h2 = 2S : BC = 176 : 22 = 8 см.
Ответ: 8 см.
С другой стороны, S = 1/2 · BC · h2, откуда h2 = 2S : BC = 176 : 22 = 8 см.
Ответ: 8 см.
566. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведённая к большей из данных сторон, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведённую к меньшей из данных сторон.
Площадь треугольника S = 1/2 · 7,5 · 2,4 = 9 см².
Высота, проведённая к стороне 3,2 см: h = 2S : 3,2 = 18 : 3,2 = 5,625 см.
Ответ: 5,625 см.
Высота, проведённая к стороне 3,2 см: h = 2S : 3,2 = 18 : 3,2 = 5,625 см.
Ответ: 5,625 см.
567. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катеты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
а) S = 1/2 · 4 · 11 = 22 см².
б) S = 1/2 · 1,2 · 3 = 1,8 дм².
Ответ: а) 22 см²; б) 1,8 дм².
а) S = 1/2 · 4 · 11 = 22 см².
б) S = 1/2 · 1,2 · 3 = 1,8 дм².
Ответ: а) 22 см²; б) 1,8 дм².
568. Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2. Найдите его катеты, если отношение их длин равно 7/12.
Пусть катеты равны 7x и 12x. Тогда 1/2 · 7x · 12x = 42x² = 168, x² = 4, x = 2.
Катеты: 7 · 2 = 14 см и 12 · 2 = 24 см.
Ответ: 14 см и 24 см.
Катеты: 7 · 2 = 14 см и 12 · 2 = 24 см.
Ответ: 14 см и 24 см.
569. Пусть a, b, c — стороны треугольника, P — периметр треугольника, r — радиус вписанной окружности, S — площадь треугольника. Найдите:
а) r, если P = 56, S = 84;
б) S, если P = 144, r = 3,5;
в) a, если b = 15, c = 20, r = 2, S = 42.
а) r, если P = 56, S = 84;
б) S, если P = 144, r = 3,5;
в) a, если b = 15, c = 20, r = 2, S = 42.
Площадь треугольника равна S = p · r, где p = P/2 — полупериметр (разбиваем треугольник на три треугольника с вершиной в центре вписанной окружности: их высоты равны r, а основания — стороны a, b, c, поэтому S = 1/2 (a + b + c) r).
а) p = 28, r = S : p = 84 : 28 = 3.
б) p = 72, S = 72 · 3,5 = 252.
в) p = S : r = 42 : 2 = 21, P = 42, a = P − b − c = 42 − 15 − 20 = 7.
Ответ: а) 3; б) 252; в) 7.
а) p = 28, r = S : p = 84 : 28 = 3.
б) p = 72, S = 72 · 3,5 = 252.
в) p = S : r = 42 : 2 = 21, P = 42, a = P − b − c = 42 − 15 − 20 = 7.
Ответ: а) 3; б) 252; в) 7.
570. В треугольник АВС вписана окружность радиуса 3 см, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках P, Q и R. Найдите площадь треугольника АВС, если AP = 5 см, BQ = 5 см, CR = 6 см.
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны: AR = AP = 5 см, BP = BQ = 5 см, CQ = CR = 6 см.
Стороны: AB = AP + PB = 10 см, BC = BQ + QC = 11 см, AC = AR + RC = 11 см.
Периметр 32 см, полупериметр p = 16 см. S = p · r = 16 · 3 = 48 см².
Ответ: 48 см².
Стороны: AB = AP + PB = 10 см, BC = BQ + QC = 11 см, AC = AR + RC = 11 см.
Периметр 32 см, полупериметр p = 16 см. S = p · r = 16 · 3 = 48 см².
Ответ: 48 см².
571. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая m, параллельная стороне AB. Докажите, что все треугольники с вершинами на прямой m и основанием AB имеют равные площади.
Пусть M — произвольная точка прямой m. Расстояние от M до прямой AB равно расстоянию между параллельными прямыми m и AB (все точки одной из параллельных прямых равноудалены от другой), то есть высота треугольника ABM, проведённая к основанию AB, одна и та же для всех точек M и равна h.
Тогда SABM = 1/2 · AB · h для любой точки M прямой m, то есть площади всех таких треугольников равны (в частности, равны площади треугольника ABC).
Тогда SABM = 1/2 · AB · h для любой точки M прямой m, то есть площади всех таких треугольников равны (в частности, равны площади треугольника ABC).
572. Сравните площади двух треугольников, на которые разделяется данный треугольник его медианой.
Пусть AD — медиана треугольника ABC, D — середина BC, то есть BD = DC. Треугольники ABD и ADC имеют общую высоту AH, проведённую из вершины A к прямой BC.
SABD = 1/2 · BD · AH, SADC = 1/2 · DC · AH. Так как BD = DC, то SABD = SADC.
Ответ: площади равны.
SABD = 1/2 · BD · AH, SADC = 1/2 · DC · AH. Так как BD = DC, то SABD = SADC.
Ответ: площади равны.
573. Начертите треугольник ABC. Через вершину А проведите две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади.
Построение:
1) Разделим сторону BC на три равные части. Для этого проведём из точки B произвольный луч, не лежащий на прямой BC, и отложим на нём циркулем три равных отрезка BB1 = B1B2 = B2B3. Соединим B3 с C и проведём через B1 и B2 прямые, параллельные B3C; они пересекут BC в точках D и E, причём BD = DE = EC (теорема Фалеса).
2) Проведём прямые AD и AE. Они разделяют треугольник ABC на треугольники ABD, ADE и AEC.
Доказательство: эти три треугольника имеют общую высоту — перпендикуляр, проведённый из вершины A к прямой BC, а их основания BD, DE, EC равны. Поэтому по формуле S = 1/2 · основание · высота их площади равны: SABD = SADE = SAEC (каждая равна трети площади треугольника ABC).
1) Разделим сторону BC на три равные части. Для этого проведём из точки B произвольный луч, не лежащий на прямой BC, и отложим на нём циркулем три равных отрезка BB1 = B1B2 = B2B3. Соединим B3 с C и проведём через B1 и B2 прямые, параллельные B3C; они пересекут BC в точках D и E, причём BD = DE = EC (теорема Фалеса).
2) Проведём прямые AD и AE. Они разделяют треугольник ABC на треугольники ABD, ADE и AEC.
Доказательство: эти три треугольника имеют общую высоту — перпендикуляр, проведённый из вершины A к прямой BC, а их основания BD, DE, EC равны. Поэтому по формуле S = 1/2 · основание · высота их площади равны: SABD = SADE = SAEC (каждая равна трети площади треугольника ABC).