Глава VI. Дополнительные задачи — с. 137
520. Докажите, что если не все углы выпуклого четырёхугольника равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
Предположим противное: тупых углов нет, то есть каждый угол не больше 90°. Сумма четырёх углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Если бы хотя бы один угол был меньше 90°, то сумма была бы меньше 4 · 90° = 360°, что неверно. Поэтому все углы равны 90°, то есть равны друг другу, а это противоречит условию. Значит, хотя бы один угол тупой.
521. Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, AB = 14 см. Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса угла А?
Найдите отрезки, которые образуются при этом пересечении.
Сумма смежных сторон равна 46 : 2 = 23 см, поэтому AD = BC = 23 − 14 = 9 см. Биссектриса угла A отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Если бы она пересекала BC в точке K, то BK = AB = 14 см, но BC = 9 см < 14 см, что невозможно. Значит, биссектриса пересекает сторону CD в точке K. Угол DKA равен углу KAB (накрест лежащие при AB || CD), а ∠KAB = ∠KAD, поэтому треугольник ADK равнобедренный: DK = AD = 9 см. Тогда KC = CD − DK = 14 − 9 = 5 см.
Ответ: сторону CD; отрезки 9 см и 5 см.
Ответ: сторону CD; отрезки 9 см и 5 см.
522. Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
Пусть AD = 10 см — большая сторона, AB = CD = 3 см. Биссектрисы углов A и D пересекают противоположную сторону BC в точках K и L. Как в задаче 474, треугольники ABK и DCL равнобедренные: BK = AB = 3 см, CL = CD = 3 см. Так как 3 + 3 < 10, точки K и L лежат на BC в порядке B, K, L, C, и KL = 10 − 3 − 3 = 4 см.
Ответ: 3 см, 4 см, 3 см.
Ответ: 3 см, 4 см, 3 см.
523. Через произвольную точку основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёхугольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
Пусть в треугольнике ABC AB = BC, точка M лежит на основании AC, MK || BC (K на AB), MN || AB (N на BC). Четырёхугольник BKMN — параллелограмм, его периметр равен 2 · (BK + KM).
Угол AMK равен углу C как соответственные при MK || BC, а ∠C = ∠A (углы при основании равнобедренного треугольника), значит, ∠AMK = ∠A, и треугольник AKM равнобедренный: KM = AK. Тогда BK + KM = BK + AK = AB, и периметр равен 2 · AB = AB + BC — сумме боковых сторон.
Угол AMK равен углу C как соответственные при MK || BC, а ∠C = ∠A (углы при основании равнобедренного треугольника), значит, ∠AMK = ∠A, и треугольник AKM равнобедренный: KM = AK. Тогда BK + KM = BK + AK = AB, и периметр равен 2 · AB = AB + BC — сумме боковых сторон.
524. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник.
Пусть ABCD — параллелограмм, AB ≠ AD. Углы A и B прилежат к стороне AB, поэтому ∠A + ∠B = 180°. Биссектрисы этих углов образуют с AB углы ∠A/2 и ∠B/2, сумма которых 90°, поэтому в треугольнике, образованном стороной AB и этими биссектрисами, третий угол равен 90°: биссектрисы углов A и B перпендикулярны. То же верно для каждой пары биссектрис соседних углов (A и D, B и C, C и D).
Обозначим точки пересечения биссектрис соседних углов: P (углы A и B), Q (углы B и C), R (углы C и D), S (углы D и A). Так как AB ≠ AD, биссектрисы не сливаются, и получается четырёхугольник PQRS. Его стороны лежат на биссектрисах, и в каждой вершине две соседние стороны перпендикулярны. Значит, все углы PQRS прямые, и по задаче 503 PQRS — прямоугольник.
Обозначим точки пересечения биссектрис соседних углов: P (углы A и B), Q (углы B и C), R (углы C и D), S (углы D и A). Так как AB ≠ AD, биссектрисы не сливаются, и получается четырёхугольник PQRS. Его стороны лежат на биссектрисах, и в каждой вершине две соседние стороны перпендикулярны. Значит, все углы PQRS прямые, и по задаче 503 PQRS — прямоугольник.
525. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух смежных сторон, равна 180°.
Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠A + ∠B = 180° (углы, прилежащие к стороне AB) и ∠B + ∠C = 180° (углы, прилежащие к смежной стороне BC). Углы A и B — односторонние при прямых AD, BC и секущей AB; их сумма 180°, поэтому AD || BC. Углы B и C — односторонние при прямых AB, CD и секущей BC; их сумма 180°, поэтому AB || CD. Противоположные стороны попарно параллельны, значит, ABCD — параллелограмм.
526. Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.
Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Сумма углов равна 360°: 2∠A + 2∠B = 360°, откуда ∠A + ∠B = 180°. Тогда и ∠B + ∠C = ∠B + ∠A = 180°. Углы, прилежащие к каждой из смежных сторон AB и BC, в сумме дают 180°, поэтому по задаче 525 ABCD — параллелограмм.
527. Точка K — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая ВK пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD = 1/3 AC.
Через точку M проведём прямую MN || BD (N на AC). В треугольнике BCD точка M — середина BC и MN || BD, поэтому по признаку средней линии (задача 485) N — середина CD: DN = NC. В треугольнике AMN точка K — середина AM и KD || MN, поэтому D — середина AN: AD = DN. Итак, AD = DN = NC, откуда AC = 3 · AD и AD = 1/3 AC.
528. Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагональ BD на три равные части.
Пусть прямая AN пересекает BD в точке P, а прямая MC — в точке Q. Так как AM = AD/2 = BC/2 = NC и AM || NC, то AMCN — параллелограмм, и AN || MC.
В треугольнике ADP точка M — середина AD, а MQ || AP (так как MC || AN), поэтому по признаку средней линии Q — середина DP: DQ = QP.
В треугольнике BCQ точка N — середина BC, а NP || CQ (AN || MC), поэтому P — середина BQ: BP = PQ.
Итак, BP = PQ = QD, диагональ BD разделена на три равные части.
В треугольнике ADP точка M — середина AD, а MQ || AP (так как MC || AN), поэтому по признаку средней линии Q — середина DP: DQ = QP.
В треугольнике BCQ точка N — середина BC, а NP || CQ (AN || MC), поэтому P — середина BQ: BP = PQ.
Итак, BP = PQ = QD, диагональ BD разделена на три равные части.
529. Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВK и ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является биссектрисой угла KВМ.
Диагональ BD ромба делит угол D пополам, то есть лежит на биссектрисе угла между прямыми DA и DC. Точка B этой биссектрисы равноудалена от прямых DA и DC, поэтому BK = BM. Прямоугольные треугольники BKD и BMD имеют общую гипотенузу BD и равные катеты BK = BM, поэтому они равны, и ∠KBD = ∠MBD. Значит, BD — биссектриса угла KBM.
530. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от его сторон.
Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба ABCD. Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому O лежит на биссектрисах всех четырёх углов. Точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон: O равноудалена от прямых AB и AD (биссектриса угла A), от AB и BC (биссектриса угла B), от BC и CD (угол C), от CD и DA (угол D). Следовательно, расстояния от O до прямых AB, BC, CD, DA равны.
531. Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину треугольника с любой точкой противоположной стороны, лежит на отрезке с концами в серединах двух других сторон.
Пусть D — точка на стороне BC треугольника ABC, M — середина AD, P и Q — середины сторон AB и AC. В треугольнике ABD отрезок PM — средняя линия, поэтому PM || BD, то есть PM || BC. В треугольнике ACD отрезок QM — средняя линия, поэтому QM || DC, то есть QM || BC. Через точку M проходит единственная прямая, параллельная BC, значит, точки P, M, Q лежат на одной прямой. Кроме того, векторы PM и MQ равны по длине BD/2 и DC/2 и направлены в одну сторону (так как D лежит между B и C), поэтому M находится между P и Q, то есть лежит на отрезке PQ.
532. Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС, пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N. Найдите MN.
Диагональ AC делит угол C квадрата пополам: ∠ACM = ∠ACN = 45°. В треугольнике ACM угол A равен 90°, ∠C = 45°, поэтому ∠M = 45° и AM = AC = 18,4 см. Аналогично AN = AC = 18,4 см. Точки M и N лежат на перпендикуляре к AC в точке A по разные стороны от A (одна на прямой BC, другая на прямой CD, по разные стороны от диагонали AC), поэтому MN = AM + AN = 36,8 см.
Ответ: 36,8 см.
Ответ: 36,8 см.