Глава VI. Вопросы для повторения к главе VI — с. 136
3. Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Внешний угол при вершине Ak равен 180° − ∠Ak (смежный с углом многоугольника). Сумма внешних углов равна (180° − ∠A1) + (180° − ∠A2) + … + (180° − ∠An) = n · 180° − (∠A1 + ∠A2 + … + ∠An) = n · 180° − (n − 2) · 180° = 360°.
4. Начертите четырёхугольник и покажите его диагонали, противоположные стороны и противоположные вершины.
Начертим выпуклый четырёхугольник ABCD. Диагонали — отрезки AC и BD, соединяющие несоседние вершины. Противоположные стороны — несмежные стороны: AB и CD, BC и AD. Противоположные вершины — несоседние вершины: A и C, B и D.
5. Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника?
Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n − 2) · 180°, при n = 4 получаем 2 · 180° = 360°. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°.
6. Дайте определение параллелограмма. Является ли параллелограмм выпуклым четырёхугольником?
Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Да, параллелограмм — выпуклый четырёхугольник: прямая, содержащая сторону, не пересекает противоположную сторону (они параллельны), поэтому весь параллелограмм лежит по одну сторону от каждой такой прямой (см. задачу 478).
7. Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
Пусть ABCD — параллелограмм. Проведём диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по стороне и двум прилежащим углам: AC — общая, ∠BAC = ∠ACD как накрест лежащие при AB || CD и секущей AC, ∠BCA = ∠CAD как накрест лежащие при BC || AD и секущей AC. Поэтому AB = CD, BC = DA и ∠B = ∠D. Кроме того, ∠A = ∠BAC + ∠CAD = ∠ACD + ∠BCA = ∠C.
8. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам: AB = CD (противоположные стороны), ∠BAO = ∠DCO и ∠ABO = ∠CDO как накрест лежащие при AB || CD и секущих AC и BD. Следовательно, AO = OC и BO = OD.
9. Сформулируйте и докажите утверждения о признаках параллелограмма.
Признак 1°. Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то это параллелограмм. Доказательство: пусть AB || CD и AB = CD. Проведём диагональ AC. Треугольники ABC и CDA равны по двум сторонам и углу между ними (AC — общая, AB = CD, ∠BAC = ∠ACD как накрест лежащие). Поэтому ∠BCA = ∠CAD; это накрест лежащие углы при прямых BC, AD и секущей AC, значит, BC || AD. Противоположные стороны попарно параллельны, ABCD — параллелограмм.
Признак 2°. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм. Доказательство: пусть AB = CD и BC = DA. Треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам, поэтому ∠BAC = ∠ACD. Это накрест лежащие углы при AB, CD и секущей AC, значит, AB || CD. Так как ещё AB = CD, по признаку 1° ABCD — параллелограмм.
Признак 3°. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Доказательство: пусть AO = OC и BO = OD. Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (∠AOB = ∠COD как вертикальные), поэтому AB = CD и ∠OAB = ∠OCD. Из равенства накрест лежащих углов AB || CD. По признаку 1° ABCD — параллелограмм.
Признак 2°. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм. Доказательство: пусть AB = CD и BC = DA. Треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам, поэтому ∠BAC = ∠ACD. Это накрест лежащие углы при AB, CD и секущей AC, значит, AB || CD. Так как ещё AB = CD, по признаку 1° ABCD — параллелограмм.
Признак 3°. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это параллелограмм. Доказательство: пусть AO = OC и BO = OD. Треугольники AOB и COD равны по двум сторонам и углу между ними (∠AOB = ∠COD как вертикальные), поэтому AB = CD и ∠OAB = ∠OCD. Из равенства накрест лежащих углов AB || CD. По признаку 1° ABCD — параллелограмм.
10. Какой четырёхугольник называется трапецией?
Как называются стороны трапеции?
Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны — боковыми сторонами.
11. Какая трапеция называется равнобедренной; прямоугольной?
Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны. Трапеция называется прямоугольной, если один из её углов прямой.
12. Какой четырёхугольник называется прямоугольником?
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
13. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.
Пусть ABCD — прямоугольник. Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны по двум катетам: CD = BA (противоположные стороны) и AD — общий катет. Поэтому равны их гипотенузы: AC = BD.
14. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.
Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD равны. Треугольники ABD и DCA равны по трём сторонам (AB = DC, BD = CA, AD — общая), поэтому ∠A = ∠D. В параллелограмме противоположные углы равны: ∠A = ∠C и ∠B = ∠D, значит, ∠A = ∠B = ∠C = ∠D. Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°, поэтому каждый угол равен 90°, и ABCD — прямоугольник.
15. Какой четырёхугольник называется ромбом?
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
16. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Пусть ABCD — ромб, O — точка пересечения диагоналей. Так как AB = AD, треугольник BAD равнобедренный. Ромб — параллелограмм, поэтому BO = OD, и AO — медиана равнобедренного треугольника BAD, проведённая к основанию, значит, она также высота и биссектриса. Поэтому AC ⊥ BD и ∠BAC = ∠DAC. Для остальных углов ромба рассуждение такое же.
17. Какой четырёхугольник называется квадратом?
Перечислите основные свойства квадрата.
Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат является параллелограммом и ромбом. Основные свойства: 1) все углы квадрата прямые; 2) диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
18. Сформулируйте и докажите утверждения о признаках квадрата.
Признак квадрата: ромб, у которого один угол прямой, является квадратом. Доказательство: ромб — параллелограмм, а параллелограмм с прямым углом — прямоугольник (если угол A прямой, то ∠C = ∠A = 90°, ∠B = ∠D = 180° − 90° = 90°). Значит, это прямоугольник со всеми равными сторонами, то есть квадрат.
Аналогично: прямоугольник, у которого две смежные стороны равны, — квадрат (равны все стороны: противоположные стороны прямоугольника равны). Параллелограмм с равными и перпендикулярными диагоналями — квадрат (равные диагонали дают прямоугольник, перпендикулярные — ромб).
Аналогично: прямоугольник, у которого две смежные стороны равны, — квадрат (равны все стороны: противоположные стороны прямоугольника равны). Параллелограмм с равными и перпендикулярными диагоналями — квадрат (равные диагонали дают прямоугольник, перпендикулярные — ромб).
19. Сформулируйте и докажите утверждения о признаках ромба.
Параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.
Доказательство а): пусть в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O и AC ⊥ BD. Так как AO = OC, в треугольнике ABC отрезок BO — медиана и высота, поэтому AB = BC. В параллелограмме AB = CD и BC = AD, значит, все стороны равны — это ромб.
Доказательство б): пусть ∠BAC = ∠CAD. Углы CAD и ACB равны как накрест лежащие при AD || BC, поэтому ∠BAC = ∠ACB, и треугольник ABC равнобедренный: AB = BC. Тогда, как в пункте а), все стороны равны и ABCD — ромб.
Также ромбом является четырёхугольник, у которого все стороны равны (он параллелограмм по признаку 2°, и его смежные стороны равны).
Доказательство а): пусть в параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O и AC ⊥ BD. Так как AO = OC, в треугольнике ABC отрезок BO — медиана и высота, поэтому AB = BC. В параллелограмме AB = CD и BC = AD, значит, все стороны равны — это ромб.
Доказательство б): пусть ∠BAC = ∠CAD. Углы CAD и ACB равны как накрест лежащие при AD || BC, поэтому ∠BAC = ∠ACB, и треугольник ABC равнобедренный: AB = BC. Тогда, как в пункте а), все стороны равны и ABCD — ромб.
Также ромбом является четырёхугольник, у которого все стороны равны (он параллелограмм по признаку 2°, и его смежные стороны равны).
20. Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?
Две точки A и A1 называются симметричными относительно точки O, если O — середина отрезка AA1. Точка O считается симметричной самой себе.
21. Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?
Фигура называется симметричной относительно точки O, если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно O точка также принадлежит этой фигуре. Точка O называется центром симметрии фигуры.
22. Приведите примеры фигур, обладающих: а) осевой симметрией; б) центральной симметрией; в) и осевой, и центральной симметрией.
а) Осевой симметрией обладают равнобедренный треугольник (ось — высота к основанию), равнобедренная трапеция (ось — серединный перпендикуляр к основаниям), угол (ось — биссектриса).
б) Центральной симметрией обладает параллелограмм (центр — точка пересечения диагоналей), а также окружность (центр) и прямая (любая её точка).
в) И осевой, и центральной: прямоугольник (две оси — прямые через середины противоположных сторон), ромб (две оси — прямые, содержащие диагонали), квадрат, окружность (любая прямая через центр), прямая.
б) Центральной симметрией обладает параллелограмм (центр — точка пересечения диагоналей), а также окружность (центр) и прямая (любая её точка).
в) И осевой, и центральной: прямоугольник (две оси — прямые через середины противоположных сторон), ромб (две оси — прямые, содержащие диагонали), квадрат, окружность (любая прямая через центр), прямая.