Глава VI. §3. Прямоугольник, ромб, квадрат — с. 134
502. Докажите, что параллелограмм, один из углов которого прямой, является прямоугольником.
Пусть в параллелограмме ABCD угол A прямой. Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому ∠C = ∠A = 90°. Углы A и B прилежат к стороне AB, поэтому ∠B = 180° − 90° = 90°, и тогда ∠D = ∠B = 90°. Все углы параллелограмма прямые, значит, это прямоугольник.
503. Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник — прямоугольник.
Пусть в четырёхугольнике ABCD все углы прямые. Углы A и B — односторонние при прямых AD, BC и секущей AB, их сумма равна 90° + 90° = 180°, поэтому AD || BC. Аналогично ∠B + ∠C = 180°, значит, AB || CD. Противоположные стороны попарно параллельны, значит, ABCD — параллелограмм, у которого все углы прямые, то есть прямоугольник.
504. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см; б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.
Пусть биссектриса угла A пересекает сторону в точке K. Так как ∠BAK = ∠KAD и ∠KAD = ∠AKB (накрест лежащие при AD || BC), то треугольник ABK равнобедренный: AB = BK. Аналогично, если биссектриса пересекает CD в точке K, то DK = AD.
а) BC = 45,6 + 7,85 = 53,45 см, BK равно либо 45,6, либо 7,85.
Если BK = 45,6: AB = 45,6 см, P = 2 · (45,6 + 53,45) = 198,1 см.
Если BK = 7,85: AB = 7,85 см, P = 2 · (7,85 + 53,45) = 122,6 см.
б) DC = 2,7 + 4,5 = 7,2 дм, DK равно 2,7 или 4,5 и AD = DK.
Если AD = 2,7: P = 2 · (2,7 + 7,2) = 19,8 дм.
Если AD = 4,5: P = 2 · (4,5 + 7,2) = 23,4 дм.
Ответ: а) 198,1 см или 122,6 см; б) 19,8 дм или 23,4 дм.
а) BC = 45,6 + 7,85 = 53,45 см, BK равно либо 45,6, либо 7,85.
Если BK = 45,6: AB = 45,6 см, P = 2 · (45,6 + 53,45) = 198,1 см.
Если BK = 7,85: AB = 7,85 см, P = 2 · (7,85 + 53,45) = 122,6 см.
б) DC = 2,7 + 4,5 = 7,2 дм, DK равно 2,7 или 4,5 и AD = DK.
Если AD = 2,7: P = 2 · (2,7 + 7,2) = 19,8 дм.
Если AD = 4,5: P = 2 · (4,5 + 7,2) = 23,4 дм.
Ответ: а) 198,1 см или 122,6 см; б) 19,8 дм или 23,4 дм.
505. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и AOB равнобедренные.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому AO = OB = OC = OD (каждый из отрезков равен половине диагонали). Значит, в треугольнике AOD равны стороны AO и OD, а в треугольнике AOB равны стороны AO и OB. Оба треугольника равнобедренные.
506. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника AOB, если ∠CAD = 30°, АС = 12 см.
Угол BAC = 90° − ∠CAD = 90° − 30° = 60°. Диагонали равны и делятся пополам: AO = BO = 12 : 2 = 6 см. Треугольник AOB равнобедренный с углом 60° при вершине A при основании AB, поэтому ∠ABO = ∠BAO = 60°, ∠AOB = 60°, и треугольник равносторонний: AB = 6 см.
P = 6 + 6 + 6 = 18 см.
Ответ: 18 см.
P = 6 + 6 + 6 = 18 см.
Ответ: 18 см.