Глава VI. §2. Параллелограмм и трапеция — с. 130
496. Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) по двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диагонали.
а) Даны стороны a, b и угол α. Строим угол A, равный α. На одной его стороне откладываем AB = a, на другой AD = b. Через B проводим прямую, параллельную AD, через D прямую, параллельную AB; точка их пересечения — C. ABCD — искомый параллелограмм: противоположные стороны параллельны по построению, AB = a, AD = b, ∠A = α.
б) Даны диагонали d1, d2 и угол φ между ними. Строим угол с вершиной O, равный φ. На одной его стороне по разные стороны от O откладываем OA = OC = d1/2 (середину отрезка d1 находим построением серединного перпендикуляра), на прямой другой стороны откладываем OB = OD = d2/2, B и D по разные стороны от O. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, потому что его диагонали делятся точкой O пополам (признак 3°); диагонали равны d1, d2 и пересекаются под углом φ.
в) Даны стороны a, b и диагональ d, соединяющая их концы. Строим по трём сторонам треугольник ABD: AB = a, AD = b, BD = d. Через B проводим прямую, параллельную AD, через D прямую, параллельную AB; C — точка их пересечения. ABCD — параллелограмм с нужными сторонами и диагональю BD = d.
Исследование: а) и б) задача имеет единственное решение при любых данных, если угол меньше 180°. в) решение существует, когда из отрезков a, b, d можно составить треугольник, то есть каждый из них меньше суммы двух других; тогда решение единственно с точностью до равенства фигур.
б) Даны диагонали d1, d2 и угол φ между ними. Строим угол с вершиной O, равный φ. На одной его стороне по разные стороны от O откладываем OA = OC = d1/2 (середину отрезка d1 находим построением серединного перпендикуляра), на прямой другой стороны откладываем OB = OD = d2/2, B и D по разные стороны от O. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм, потому что его диагонали делятся точкой O пополам (признак 3°); диагонали равны d1, d2 и пересекаются под углом φ.
в) Даны стороны a, b и диагональ d, соединяющая их концы. Строим по трём сторонам треугольник ABD: AB = a, AD = b, BD = d. Через B проводим прямую, параллельную AD, через D прямую, параллельную AB; C — точка их пересечения. ABCD — параллелограмм с нужными сторонами и диагональю BD = d.
Исследование: а) и б) задача имеет единственное решение при любых данных, если угол меньше 180°. в) решение существует, когда из отрезков a, b, d можно составить треугольник, то есть каждый из них меньше суммы двух других; тогда решение единственно с точностью до равенства фигур.