Глава VI. §2. Параллелограмм и трапеция — с. 128
482. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что четырёхугольник A1B1C1D1, вершинами которого являются середины отрезков ОА, ОB, ОC и OD, — параллелограмм.
Диагонали параллелограмма делятся точкой O пополам: OA = OC, OB = OD. Точки A1 и C1 — середины отрезков OA и OC, поэтому OA1 = OA/2 = OC/2 = OC1, причём A1 и C1 лежат на прямой AC по разные стороны от O. Аналогично OB1 = OD1, и B1, D1 лежат по разные стороны от O на прямой BD.
Значит, диагонали A1C1 и B1D1 четырёхугольника A1B1C1D1 пересекаются в точке O и делятся ею пополам. По признаку 3° параллелограмма A1B1C1D1 — параллелограмм.
Значит, диагонали A1C1 и B1D1 четырёхугольника A1B1C1D1 пересекаются в точке O и делятся ею пополам. По признаку 3° параллелограмма A1B1C1D1 — параллелограмм.
483. На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точки Р и Q так, что PB = QD. Докажите, что четырёхугольник APCQ — параллелограмм.
Пусть O — точка пересечения диагоналей, тогда AO = OC и BO = OD. Точки P и Q лежат на диагонали BD на равных расстояниях от концов B и D: PB = QD, при этом P ближе к B, Q ближе к D. Тогда OP = OB − PB = OD − QD = OQ, и P, Q лежат по разные стороны от O.
Диагонали AC и PQ четырёхугольника APCQ пересекаются в точке O и делятся ею пополам (AO = OC, PO = OQ), значит, APCQ — параллелограмм по признаку 3°.
Диагонали AC и PQ четырёхугольника APCQ пересекаются в точке O и делятся ею пополам (AO = OC, PO = OQ), значит, APCQ — параллелограмм по признаку 3°.
484. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Докажите свойства средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Пусть в треугольнике ABC точка M — середина AC, N — середина BC. Докажем, что MN || AB и MN = AB/2.
На продолжении MN за точку N отложим отрезок ND = MN. Треугольники MNC и DNB равны по двум сторонам и углу между ними (CN = NB, MN = ND, ∠MNC = ∠DNB как вертикальные). Поэтому BD = CM и ∠NMC = ∠NDB. Последние углы накрест лежащие при прямых AC, BD и секущей MD, значит, BD || AC.
Так как CM = AM, то BD = AM, при этом BD || AM. Четырёхугольник AMDB имеет две равные параллельные стороны AM и BD, поэтому он параллелограмм (признак 1°). Следовательно, MD || AB и MD = AB. Но MN = MD/2, откуда MN || AB и MN = AB/2.
На продолжении MN за точку N отложим отрезок ND = MN. Треугольники MNC и DNB равны по двум сторонам и углу между ними (CN = NB, MN = ND, ∠MNC = ∠DNB как вертикальные). Поэтому BD = CM и ∠NMC = ∠NDB. Последние углы накрест лежащие при прямых AC, BD и секущей MD, значит, BD || AC.
Так как CM = AM, то BD = AM, при этом BD || AM. Четырёхугольник AMDB имеет две равные параллельные стороны AM и BD, поэтому он параллелограмм (признак 1°). Следовательно, MD || AB и MD = AB. Но MN = MD/2, откуда MN || AB и MN = AB/2.
485. Докажите признак средней линии треугольника. Через середину М стороны AB треугольника ABC проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что MN — средняя линия треугольника ABC. [рисунок 195]
Пусть N1 — середина стороны AC. Тогда MN1 — средняя линия треугольника ABC, и по свойству средней линии (задача 484) MN1 || BC.
Через точку M проходит только одна прямая, параллельная BC (аксиома параллельных прямых). Прямая MN по условию тоже параллельна BC и проходит через M, поэтому она совпадает с прямой MN1. Прямая MN пересекает сторону AC в единственной точке, значит, N совпадает с N1, то есть N — середина AC.
Итак, MN соединяет середины сторон AB и AC, то есть MN — средняя линия треугольника ABC.
Через точку M проходит только одна прямая, параллельная BC (аксиома параллельных прямых). Прямая MN по условию тоже параллельна BC и проходит через M, поэтому она совпадает с прямой MN1. Прямая MN пересекает сторону AC в единственной точке, значит, N совпадает с N1, то есть N — середина AC.
Итак, MN соединяет середины сторон AB и AC, то есть MN — средняя линия треугольника ABC.
486. Докажите, что середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма (теорема Вариньона).
Пусть M, N, P, Q — середины сторон AB, BC, CD, DA четырёхугольника ABCD. Проведём диагональ AC.
MN — средняя линия треугольника ABC, поэтому MN || AC и MN = AC/2. QP — средняя линия треугольника ADC, поэтому QP || AC и QP = AC/2.
Значит, MN || QP и MN = QP. В четырёхугольнике MNPQ две стороны равны и параллельны, поэтому он параллелограмм (признак 1°).
MN — средняя линия треугольника ABC, поэтому MN || AC и MN = AC/2. QP — средняя линия треугольника ADC, поэтому QP || AC и QP = AC/2.
Значит, MN || QP и MN = QP. В четырёхугольнике MNPQ две стороны равны и параллельны, поэтому он параллелограмм (признак 1°).
487. Диагональ равнобедренной трапеции равна a. Найдите периметр четырёхугольника, вершины которого являются серединами сторон равнобедренной трапеции.
Пусть M, N, P, Q — середины сторон трапеции ABCD. Как в задаче 486, MNPQ — параллелограмм, каждая сторона которого равна половине соответствующей диагонали трапеции (средние линии треугольников, на которые диагональ делит трапецию): MN = QP = AC/2, NP = MQ = BD/2.
Диагонали равнобедренной трапеции равны, AC = BD = a, поэтому все стороны четырёхугольника MNPQ равны a/2.
P = 4 · a/2 = 2a.
Ответ: 2a.
Диагонали равнобедренной трапеции равны, AC = BD = a, поэтому все стороны четырёхугольника MNPQ равны a/2.
P = 4 · a/2 = 2a.
Ответ: 2a.
488. Докажите теорему Фалеса: если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
Пусть на прямой l1 отложены равные отрезки A1A2 = A2A3 = A3A4 = …, а параллельные прямые A1B1, A2B2, A3B3, … пересекают прямую l2 в точках B1, B2, B3, …. Докажем, что B1B2 = B2B3 (для остальных пар рассуждение такое же).
Случай 1: l1 || l2. Тогда A1A2B2B1 и A2A3B3B2 — параллелограммы (противоположные стороны попарно параллельны), поэтому B1B2 = A1A2 и B2B3 = A2A3. Так как A1A2 = A2A3, то B1B2 = B2B3.
Случай 2: l1 не параллельна l2. Проведём через B1 прямую m || l1; она пересекает прямые A2B2 и A3B3 в точках C и D. Четырёхугольник A1A2CB1 — параллелограмм, поэтому B1C = A1A2; четырёхугольник A2A3DC — параллелограмм, поэтому CD = A2A3. Так как A1A2 = A2A3, то B1C = CD, то есть C — середина B1D.
Рассмотрим треугольник B1DB3. Прямая CB2 проходит через середину C стороны B1D и параллельна стороне DB3 (обе лежат на параллельных прямых A2B2 и A3B3). По признаку средней линии (задача 485) B2 — середина стороны B1B3, то есть B1B2 = B2B3.
Случай 1: l1 || l2. Тогда A1A2B2B1 и A2A3B3B2 — параллелограммы (противоположные стороны попарно параллельны), поэтому B1B2 = A1A2 и B2B3 = A2A3. Так как A1A2 = A2A3, то B1B2 = B2B3.
Случай 2: l1 не параллельна l2. Проведём через B1 прямую m || l1; она пересекает прямые A2B2 и A3B3 в точках C и D. Четырёхугольник A1A2CB1 — параллелограмм, поэтому B1C = A1A2; четырёхугольник A2A3DC — параллелограмм, поэтому CD = A2A3. Так как A1A2 = A2A3, то B1C = CD, то есть C — середина B1D.
Рассмотрим треугольник B1DB3. Прямая CB2 проходит через середину C стороны B1D и параллельна стороне DB3 (обе лежат на параллельных прямых A2B2 и A3B3). По признаку средней линии (задача 485) B2 — середина стороны B1B3, то есть B1B2 = B2B3.