Глава VI. §2. Параллелограмм и трапеция — с. 127
473. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ∠C = 30°, а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите стороны параллелограмма.
В прямоугольном треугольнике BHC угол C равен 30°, а катет BH лежит против этого угла, поэтому BC = 2 · BH = 13 см.
Сумма смежных сторон равна 50 : 2 = 25 см, значит, CD = 25 − 13 = 12 см.
Противоположные стороны равны: AB = CD = 12 см, AD = BC = 13 см.
Ответ: 12 см и 13 см.
Сумма смежных сторон равна 50 : 2 = 25 см, значит, CD = 25 − 13 = 12 см.
Противоположные стороны равны: AB = CD = 12 см, AD = BC = 13 см.
Ответ: 12 см и 13 см.
474. Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторону ВС в точке K. Найдите периметр этого параллелограмма, если BK = 15 см, KC = 9 см.
AK — биссектриса, поэтому ∠BAK = ∠KAD. Углы KAD и AKB равны как накрест лежащие при параллельных AD, BC и секущей AK. Значит, ∠BAK = ∠AKB, треугольник ABK равнобедренный и AB = BK = 15 см.
BC = BK + KC = 15 + 9 = 24 см.
P = 2 · (15 + 24) = 78 см.
Ответ: 78 см.
BC = BK + KC = 15 + 9 = 24 см.
P = 2 · (15 + 24) = 78 см.
Ответ: 78 см.
475. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и 14 см.
Пусть биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Как в задаче 474, треугольник ABK равнобедренный: AB = BK. Сторона BC = 7 + 14 = 21 см. Возможны два случая.
1) BK = 7 см: AB = 7 см, P = 2 · (7 + 21) = 56 см.
2) BK = 14 см: AB = 14 см, P = 2 · (14 + 21) = 70 см.
Ответ: 56 см или 70 см.
1) BK = 7 см: AB = 7 см, P = 2 · (7 + 21) = 56 см.
2) BK = 14 см: AB = 14 см, P = 2 · (14 + 21) = 70 см.
Ответ: 56 см или 70 см.
476. Найдите углы параллелограмма ABCD, если: а) ∠A = 84°; б) ∠A − ∠B = 55°; в) ∠A + ∠C = 142°; г) ∠A = 2∠B; д) ∠CAD = 16°, ∠ACD = 37°.
Противоположные углы параллелограмма равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
а) ∠C = 84°, ∠B = ∠D = 180° − 84° = 96°.
б) ∠A + ∠B = 180° и ∠A − ∠B = 55°. Сложим: 2∠A = 235°, ∠A = 117°30′, ∠B = 62°30′. Тогда ∠C = 117°30′, ∠D = 62°30′.
в) ∠A = ∠C, поэтому ∠A = 142° : 2 = 71°, ∠B = ∠D = 180° − 71° = 109°.
г) ∠A = 2∠B и ∠A + ∠B = 180°, значит, 3∠B = 180°, ∠B = 60°, ∠A = 120°; ∠C = 120°, ∠D = 60°.
д) ∠ACB = ∠CAD = 16° как накрест лежащие при AD || BC, ∠BAC = ∠ACD = 37° как накрест лежащие при AB || CD. Тогда ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 37° + 16° = 53°, ∠C = 53°, ∠B = ∠D = 180° − 53° = 127°.
Ответ: а) 84°, 96°, 84°, 96°; б) 117°30′, 62°30′, 117°30′, 62°30′; в) 71°, 109°, 71°, 109°; г) 120°, 60°, 120°, 60°; д) 53°, 127°, 53°, 127° (углы A, B, C, D по порядку).
а) ∠C = 84°, ∠B = ∠D = 180° − 84° = 96°.
б) ∠A + ∠B = 180° и ∠A − ∠B = 55°. Сложим: 2∠A = 235°, ∠A = 117°30′, ∠B = 62°30′. Тогда ∠C = 117°30′, ∠D = 62°30′.
в) ∠A = ∠C, поэтому ∠A = 142° : 2 = 71°, ∠B = ∠D = 180° − 71° = 109°.
г) ∠A = 2∠B и ∠A + ∠B = 180°, значит, 3∠B = 180°, ∠B = 60°, ∠A = 120°; ∠C = 120°, ∠D = 60°.
д) ∠ACB = ∠CAD = 16° как накрест лежащие при AD || BC, ∠BAC = ∠ACD = 37° как накрест лежащие при AB || CD. Тогда ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 37° + 16° = 53°, ∠C = 53°, ∠B = ∠D = 180° − 53° = 127°.
Ответ: а) 84°, 96°, 84°, 96°; б) 117°30′, 62°30′, 117°30′, 62°30′; в) 71°, 109°, 71°, 109°; г) 120°, 60°, 120°, 60°; д) 53°, 127°, 53°, 127° (углы A, B, C, D по порядку).
477. В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к прямой MQ, причём точка Н лежит на стороне MQ. Найдите стороны и углы параллелограмма, если известно, что МН = 3 см, HQ = 5 см, ∠MNH = 30°.
В прямоугольном треугольнике MNH угол MNH равен 30°, значит, ∠M = 90° − 30° = 60°, а катет MH = 3 см лежит против угла 30°, поэтому гипотенуза MN = 2 · 3 = 6 см.
Точка H лежит на стороне MQ, поэтому MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8 см.
Противоположные стороны равны: PQ = MN = 6 см, NP = MQ = 8 см.
Углы: ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 180° − 60° = 120°.
Ответ: MN = PQ = 6 см, NP = MQ = 8 см; ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 120°.
Точка H лежит на стороне MQ, поэтому MQ = MH + HQ = 3 + 5 = 8 см.
Противоположные стороны равны: PQ = MN = 6 см, NP = MQ = 8 см.
Углы: ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 180° − 60° = 120°.
Ответ: MN = PQ = 6 см, NP = MQ = 8 см; ∠M = ∠P = 60°, ∠N = ∠Q = 120°.
478. Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Пусть ABCD — параллелограмм. Нужно показать, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Возьмём прямую AB. Так как CD || AB, прямая CD не имеет общих точек с прямой AB, поэтому отрезок CD целиком лежит в одной полуплоскости относительно AB. Вершины A и B лежат на самой прямой, значит, отрезки BC и AD (каждый соединяет точку прямой AB с точкой этой полуплоскости) лежат в той же полуплоскости. Итак, весь параллелограмм лежит по одну сторону от прямой AB. Для прямых BC, CD, DA рассуждение такое же (используем AD || BC и AB || CD). Следовательно, параллелограмм — выпуклый четырёхугольник.
479. Из вершин В и D параллелограмма ABCD, у которого AB ≠ ВС и угол А острый, проведены перпендикуляры ВK и DM к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK — параллелограмм.
Пусть O — точка пересечения диагоналей, тогда BO = OD. Прямоугольные треугольники BKO и DMO (∠K = ∠M = 90°) равны по гипотенузе (BO = DO) и острому углу (∠BOK = ∠DOM как вертикальные). Поэтому KO = MO.
При AB ≠ BC диагонали параллелограмма не перпендикулярны (иначе он был бы ромбом), поэтому точки K и M отличны от O и лежат на прямой AC по разные стороны от O.
Диагонали KM и BD четырёхугольника BMDK пересекаются в точке O и делятся ею пополам (KO = OM, BO = OD). По признаку параллелограмма BMDK — параллелограмм.
При AB ≠ BC диагонали параллелограмма не перпендикулярны (иначе он был бы ромбом), поэтому точки K и M отличны от O и лежат на прямой AC по разные стороны от O.
Диагонали KM и BD четырёхугольника BMDK пересекаются в точке O и делятся ею пополам (KO = OM, BO = OD). По признаку параллелограмма BMDK — параллелограмм.
480. На сторонах AB, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что АМ = СР, BN = DQ, BM = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.
1) AB = AM + MB, CD = CP + PD. Так как AM = CP и MB = PD, то AB = CD. Аналогично BC = BN + NC, DA = DQ + QA, где BN = DQ и NC = QA, поэтому BC = DA. Противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно равны, значит, ABCD — параллелограмм (признак 2).
2) В параллелограмме ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Треугольники AMQ и CPN равны по двум сторонам и углу между ними (AM = CP, AQ = CN, ∠A = ∠C), поэтому MQ = PN. Треугольники BMN и DPQ равны по двум сторонам и углу между ними (BM = DP, BN = DQ, ∠B = ∠D), поэтому MN = PQ. Противоположные стороны четырёхугольника MNPQ попарно равны, значит, MNPQ — параллелограмм.
2) В параллелограмме ∠A = ∠C и ∠B = ∠D. Треугольники AMQ и CPN равны по двум сторонам и углу между ними (AM = CP, AQ = CN, ∠A = ∠C), поэтому MQ = PN. Треугольники BMN и DPQ равны по двум сторонам и углу между ними (BM = DP, BN = DQ, ∠B = ∠D), поэтому MN = PQ. Противоположные стороны четырёхугольника MNPQ попарно равны, значит, MNPQ — параллелограмм.
481. На рисунке 194 изображены два одинаковых колеса тепловоза. Радиусы О1А и О2В равны. Стержень AB, длина которого равна расстоянию O1O2 между центрами колёс, передаёт движение от одного колеса к другому. Докажите, что отрезки AB и O1O2 либо параллельны, либо лежат на одной прямой. [рисунок 194: два колеса с центрами O1 и O2, точки A и B на ободах в верхней части, стержень AB]
Рассмотрим четырёхугольник O1ABO2. По условию O1A = O2B (радиусы одинаковых колёс) и AB = O1O2. Значит, у него противоположные стороны O1A, BO2 и AB, O2O1 попарно равны, поэтому он является параллелограммом (признак 2). Следовательно, AB || O1O2.
Если же точки O1, A, B, O2 лежат на одной прямой, четырёхугольник вырождается, и тогда AB лежит на прямой O1O2.
Таким образом, AB и O1O2 либо параллельны, либо лежат на одной прямой.
Оговорка: считаем, что четырёхугольник O1ABO2 не самопересекающийся, как на рисунке 194.
Если же точки O1, A, B, O2 лежат на одной прямой, четырёхугольник вырождается, и тогда AB лежит на прямой O1O2.
Таким образом, AB и O1O2 либо параллельны, либо лежат на одной прямой.
Оговорка: считаем, что четырёхугольник O1ABO2 не самопересекающийся, как на рисунке 194.