Глава VI. §1. Многоугольники — с. 123
462. Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник?
Чертим выпуклый пятиугольник ABCDE и из вершины A проводим все диагонали: AC и AD (диагонали к соседним вершинам B и E не проводятся, это стороны). Две диагонали делят пятиугольник на три треугольника: ABC, ACD, ADE.
Чертим выпуклый шестиугольник ABCDEF и из вершины A проводим диагонали AC, AD, AE. Они делят шестиугольник на четыре треугольника: ABC, ACD, ADE, AEF.
Из вершины n-угольника можно провести n − 3 диагонали, они делят многоугольник на n − 2 треугольника.
Ответ: пятиугольник — на 3 треугольника, шестиугольник — на 4.
Чертим выпуклый шестиугольник ABCDEF и из вершины A проводим диагонали AC, AD, AE. Они делят шестиугольник на четыре треугольника: ABC, ACD, ADE, AEF.
Из вершины n-угольника можно провести n − 3 диагонали, они делят многоугольник на n − 2 треугольника.
Ответ: пятиугольник — на 3 треугольника, шестиугольник — на 4.
463. Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) десятиугольника.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n − 2) · 180°.
а) n = 5: 3 · 180° = 540°.
б) n = 6: 4 · 180° = 720°.
в) n = 10: 8 · 180° = 1440°.
Ответ: а) 540°; б) 720°; в) 1440°.
а) n = 5: 3 · 180° = 540°.
б) n = 6: 4 · 180° = 720°.
в) n = 10: 8 · 180° = 1440°.
Ответ: а) 540°; б) 720°; в) 1440°.
464. Найдите количество диагоналей а) выпуклого пятиугольника, б) выпуклого двенадцатиугольника, в) выпуклого двадцатипятиугольника.
Число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n − 3)/2.
а) n = 5: 5 · 2 / 2 = 5.
б) n = 12: 12 · 9 / 2 = 54.
в) n = 25: 25 · 22 / 2 = 275.
Ответ: а) 5; б) 54; в) 275.
а) n = 5: 5 · 2 / 2 = 5.
б) n = 12: 12 · 9 / 2 = 54.
в) n = 25: 25 · 22 / 2 = 275.
Ответ: а) 5; б) 54; в) 275.
465. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?
Если все n углов выпуклого n-угольника равны α, то n · α = (n − 2) · 180°. Проще: внешний угол равен 180° − α, а сумма внешних углов равна 360°, поэтому n = 360° / (180° − α).
а) 180° − 90° = 90°, n = 360° / 90° = 4.
б) 180° − 60° = 120°, n = 3.
в) 180° − 120° = 60°, n = 6.
г) 180° − 108° = 72°, n = 5.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 6; г) 5.
а) 180° − 90° = 90°, n = 360° / 90° = 4.
б) 180° − 60° = 120°, n = 3.
в) 180° − 120° = 60°, n = 6.
г) 180° − 108° = 72°, n = 5.
Ответ: а) 4; б) 3; в) 6; г) 5.
466. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.
Периметр 8 см = 80 мм. Пусть большая сторона равна x мм, тогда остальные стороны равны x − 3, x − 4, x − 5 мм.
x + (x − 3) + (x − 4) + (x − 5) = 80, 4x − 12 = 80, 4x = 92, x = 23.
Стороны: 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм.
Ответ: 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм.
x + (x − 3) + (x − 4) + (x − 5) = 80, 4x − 12 = 80, 4x = 92, x = 23.
Стороны: 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм.
Ответ: 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм.
467. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая — в 3 раза больше второй.
Пусть вторая сторона x см. Первая x + 8, третья на 8 больше первой: x + 16, четвёртая 3x.
x + (x + 8) + (x + 16) + 3x = 66, 6x + 24 = 66, 6x = 42, x = 7.
Первая 15 см, вторая 7 см, третья 23 см, четвёртая 21 см (проверка: 15 + 7 + 23 + 21 = 66).
Ответ: 15 см, 7 см, 23 см, 21 см.
x + (x + 8) + (x + 16) + 3x = 66, 6x + 24 = 66, 6x = 42, x = 7.
Первая 15 см, вторая 7 см, третья 23 см, четвёртая 21 см (проверка: 15 + 7 + 23 + 21 = 66).
Ответ: 15 см, 7 см, 23 см, 21 см.
468. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. Все четыре угла равны, поэтому каждый равен 360° : 4 = 90°.
Ответ: все углы по 90°.
Ответ: все углы по 90°.
469. Найдите углы А, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD, если ∠A = ∠B = ∠C, а ∠D = 135°.
Сумма углов выпуклого четырёхугольника 360°, значит ∠A + ∠B + ∠C = 360° − 135° = 225°. Так как углы равны, каждый равен 225° : 3 = 75°.
Ответ: ∠A = ∠B = ∠C = 75°.
Ответ: ∠A = ∠B = ∠C = 75°.
470. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.
Пусть углы равны x, 2x, 4x, 5x. Их сумма 360°: 12x = 360°, x = 30°.
Углы: 30°, 60°, 120°, 150°.
Ответ: 30°, 60°, 120°, 150°.
Углы: 30°, 60°, 120°, 150°.
Ответ: 30°, 60°, 120°, 150°.