Глава VI. §2. Параллелограмм и трапеция — с. 126
471. Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: а) ∠BAC = ∠ACD и ∠BCA = ∠DAC; б) AB || CD, ∠A = ∠C.
а) Углы BAC и ACD — накрест лежащие при прямых AB, CD и секущей AC; они равны, поэтому AB || CD. Углы BCA и DAC — накрест лежащие при прямых BC, AD и секущей AC; они равны, поэтому BC || AD. Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, ABCD — параллелограмм по определению.
б) Так как AB || CD, углы A и D — односторонние при секущей AD, поэтому ∠A + ∠D = 180°. По условию ∠A = ∠C, значит, ∠C + ∠D = 180°. Углы C и D — односторонние при прямых BC, AD и секущей CD; их сумма 180°, поэтому BC || AD. Итак, AB || CD и BC || AD, и ABCD — параллелограмм.
б) Так как AB || CD, углы A и D — односторонние при секущей AD, поэтому ∠A + ∠D = 180°. По условию ∠A = ∠C, значит, ∠C + ∠D = 180°. Углы C и D — односторонние при прямых BC, AD и секущей CD; их сумма 180°, поэтому BC || AD. Итак, AB || CD и BC || AD, и ABCD — параллелограмм.
472. Периметр параллелограмма равен 48 см. Найдите стороны параллелограмма, если: а) одна сторона на 3 см больше другой; б) разность двух сторон равна 7 см; в) одна из сторон в 2 раза больше другой.
Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому сумма двух смежных сторон равна половине периметра: 48 : 2 = 24 см.
а) x + (x + 3) = 24, 2x = 21, x = 10,5. Стороны 10,5 см и 13,5 см.
б) Смежные стороны a и b: a + b = 24, a − b = 7. Отсюда 2a = 31, a = 15,5, b = 8,5. Стороны 15,5 см и 8,5 см.
в) x + 2x = 24, x = 8. Стороны 8 см и 16 см.
Ответ: а) 10,5 см и 13,5 см; б) 15,5 см и 8,5 см; в) 8 см и 16 см.
а) x + (x + 3) = 24, 2x = 21, x = 10,5. Стороны 10,5 см и 13,5 см.
б) Смежные стороны a и b: a + b = 24, a − b = 7. Отсюда 2a = 31, a = 15,5, b = 8,5. Стороны 15,5 см и 8,5 см.
в) x + 2x = 24, x = 8. Стороны 8 см и 16 см.
Ответ: а) 10,5 см и 13,5 см; б) 15,5 см и 8,5 см; в) 8 см и 16 см.