Глава VI. §2. Параллелограмм и трапеция — с. 129
489. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, M — середина AB, N — середина CD. Прямая BN пересекает прямую AD в точке K.
Треугольники BCN и KDN равны по стороне и двум прилежащим углам: CN = ND, ∠BNC = ∠KND (вертикальные), ∠BCN = ∠KDN (накрест лежащие при BC || AD). Поэтому BN = NK и DK = BC.
Теперь MN соединяет середины сторон AB и BK треугольника ABK, то есть является его средней линией (задача 484). Значит, MN || AK, то есть MN параллельна основаниям, и MN = AK/2 = (AD + DK)/2 = (AD + BC)/2.
Треугольники BCN и KDN равны по стороне и двум прилежащим углам: CN = ND, ∠BNC = ∠KND (вертикальные), ∠BCN = ∠KDN (накрест лежащие при BC || AD). Поэтому BN = NK и DK = BC.
Теперь MN соединяет середины сторон AB и BK треугольника ABK, то есть является его средней линией (задача 484). Значит, MN || AK, то есть MN параллельна основаниям, и MN = AK/2 = (AD + DK)/2 = (AD + BC)/2.
490. Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если ∠A = 36°, ∠C = 117°.
Так как BC || AD, углы A и B — односторонние при секущей AB, поэтому ∠B = 180° − 36° = 144°. Углы C и D — односторонние при секущей CD, поэтому ∠D = 180° − 117° = 63°.
Ответ: ∠B = 144°, ∠D = 63°.
Ответ: ∠B = 144°, ∠D = 63°.
491. Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) в равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны; б) в равнобедренной трапеции диагонали равны.
Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC, AB = CD.
а) Через C проведём CE || AB (E на AD). Тогда ABCE — параллелограмм, поэтому CE = AB = CD, и треугольник CED равнобедренный: ∠CED = ∠D. Угол A равен углу CED как соответственные при AB || CE, значит, ∠A = ∠D. Углы при другом основании: ∠B = 180° − ∠A = 180° − ∠D = ∠C.
б) Треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам и углу между ними: AB = DC, AD — общая сторона, ∠BAD = ∠CDA (пункт а). Следовательно, BD = CA.
а) Через C проведём CE || AB (E на AD). Тогда ABCE — параллелограмм, поэтому CE = AB = CD, и треугольник CED равнобедренный: ∠CED = ∠D. Угол A равен углу CED как соответственные при AB || CE, значит, ∠A = ∠D. Углы при другом основании: ∠B = 180° − ∠A = 180° − ∠D = ∠C.
б) Треугольники ABD и DCA равны по двум сторонам и углу между ними: AB = DC, AD — общая сторона, ∠BAD = ∠CDA (пункт а). Следовательно, BD = CA.
492. Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция равнобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагонали трапеции равны.
Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC.
а) Пусть ∠A = ∠D. Проведём CE || AB (E на AD). ABCE — параллелограмм, поэтому CE = AB и ∠CED = ∠A (соответственные углы). Тогда ∠CED = ∠D, треугольник CED равнобедренный и CE = CD. Значит, AB = CE = CD, то есть трапеция равнобедренная.
б) Пусть AC = BD. Проведём CE || BD, E на прямой AD (за точкой D). BCED — параллелограмм (BC || DE, BD || CE), поэтому CE = BD = AC. Треугольник ACE равнобедренный, ∠CAE = ∠E. Но ∠E = ∠BDA как соответственные при BD || CE. Итак, ∠CAD = ∠BDA. Треугольники ACD и DBA равны по двум сторонам и углу между ними (AC = DB, AD — общая, ∠CAD = ∠BDA), поэтому CD = AB. Трапеция равнобедренная.
а) Пусть ∠A = ∠D. Проведём CE || AB (E на AD). ABCE — параллелограмм, поэтому CE = AB и ∠CED = ∠A (соответственные углы). Тогда ∠CED = ∠D, треугольник CED равнобедренный и CE = CD. Значит, AB = CE = CD, то есть трапеция равнобедренная.
б) Пусть AC = BD. Проведём CE || BD, E на прямой AD (за точкой D). BCED — параллелограмм (BC || DE, BD || CE), поэтому CE = BD = AC. Треугольник ACE равнобедренный, ∠CAE = ∠E. Но ∠E = ∠BDA как соответственные при BD || CE. Итак, ∠CAD = ∠BDA. Треугольники ACD и DBA равны по двум сторонам и углу между ними (AC = DB, AD — общая, ∠CAD = ∠BDA), поэтому CD = AB. Трапеция равнобедренная.
493. Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите остальные углы трапеции.
В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны (задача 491), а углы при боковой стороне в сумме дают 180°. Угол 68° — острый, значит, он лежит при большем основании, и второй угол при этом основании тоже 68°. Углы при меньшем основании равны 180° − 68° = 112°.
Ответ: 68°, 112°, 112°.
Ответ: 68°, 112°, 112°.
494. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости.
Пусть плитка — равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD (большее) и BC, ∠A = ∠D = α, ∠B = ∠C = 180° − α.
Поверним вторую такую же плитку на 180° вокруг середины боковой стороны CD. Точка C перейдёт в D, а D в C, и вторая плитка приложится к первой боковой стороной. Углы при вершине C: у первой плитки 180° − α, у второй α, в сумме 180°, поэтому основание BC и большее основание второй плитки лежат на одной прямой; так же на одной прямой лежат AD и меньшее основание второй плитки. Две плитки образуют четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны (AB = A1B1 и BA1 = AB1, обе равны сумме оснований AD + BC) — это параллелограмм.
Параллелограммами, равными между собой, можно без зазоров и наложений покрыть всю плоскость: проведём два семейства параллельных прямых, содержащих стороны параллелограмма, и плоскость разобьётся на такие параллелограммы. Разбивая каждый из них на две плитки-трапеции, получим паркет из одинаковых плиток.
Поверним вторую такую же плитку на 180° вокруг середины боковой стороны CD. Точка C перейдёт в D, а D в C, и вторая плитка приложится к первой боковой стороной. Углы при вершине C: у первой плитки 180° − α, у второй α, в сумме 180°, поэтому основание BC и большее основание второй плитки лежат на одной прямой; так же на одной прямой лежат AD и меньшее основание второй плитки. Две плитки образуют четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны (AB = A1B1 и BA1 = AB1, обе равны сумме оснований AD + BC) — это параллелограмм.
Параллелограммами, равными между собой, можно без зазоров и наложений покрыть всю плоскость: проведём два семейства параллельных прямых, содержащих стороны параллелограмма, и плоскость разобьётся на такие параллелограммы. Разбивая каждый из них на две плитки-трапеции, получим паркет из одинаковых плиток.
495. Основания прямоугольной трапеции равны a и b, один из углов равен α. Найдите: а) большую боковую сторону трапеции, если а = 4 см, b = 7 см, α = 60°; б) меньшую боковую сторону трапеции, если a = 10 см, b = 15 см, α = 45°.
Прямоугольная трапеция имеет один прямой угол при боковой стороне, перпендикулярной основаниям; вторая боковая сторона — наклонная. Угол α — острый угол при наклонной стороне. Проведём из конца меньшего основания высоту к большему: получим прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований b − a, и острым углом α.
а) b − a = 7 − 4 = 3 см. Большая боковая сторона — наклонная, это гипотенуза c; она прилежит к углу 60°: cos 60° = 3 / c, откуда c = 3 : 0,5 = 6 см.
б) b − a = 15 − 10 = 5 см. Меньшая боковая сторона — перпендикулярная основаниям, она равна высоте h. В прямоугольном треугольнике угол α = 45°, значит, он равнобедренный и h = 5 см.
Ответ: а) 6 см; б) 5 см.
а) b − a = 7 − 4 = 3 см. Большая боковая сторона — наклонная, это гипотенуза c; она прилежит к углу 60°: cos 60° = 3 / c, откуда c = 3 : 0,5 = 6 см.
б) b − a = 15 − 10 = 5 см. Меньшая боковая сторона — перпендикулярная основаниям, она равна высоте h. В прямоугольном треугольнике угол α = 45°, значит, он равнобедренный и h = 5 см.
Ответ: а) 6 см; б) 5 см.