Глава VI. §2. Параллелограмм и трапеция — с. 131
497. Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?
Четвёртая вершина искомого параллелограмма противоположна одной из данных точек.
1) Пусть D противоположна B: через A проводим прямую, параллельную BC, через C — прямую, параллельную AB; их точка пересечения D. ABCD — параллелограмм.
2) Пусть E противоположна C: через A проводим прямую, параллельную BC, через B — прямую, параллельную AC; их пересечение E. AEBC — параллелограмм.
3) Пусть F противоположна A: через B проводим прямую, параллельную AC, через C — прямую, параллельную AB; пересечение F. ABFC — параллелограмм.
Доказательство: в каждом случае противоположные стороны попарно параллельны по построению.
Других параллелограммов нет: любой параллелограмм с тремя вершинами A, B, C имеет четвёртую вершину, противоположную одной из этих трёх точек, а при выбранной противоположной вершине четвёртая определяется однозначно (пересечение двух прямых). Три найденные точки D, E, F различны.
Ответ: можно построить три параллелограмма.
1) Пусть D противоположна B: через A проводим прямую, параллельную BC, через C — прямую, параллельную AB; их точка пересечения D. ABCD — параллелограмм.
2) Пусть E противоположна C: через A проводим прямую, параллельную BC, через B — прямую, параллельную AC; их пересечение E. AEBC — параллелограмм.
3) Пусть F противоположна A: через B проводим прямую, параллельную AC, через C — прямую, параллельную AB; пересечение F. ABFC — параллелограмм.
Доказательство: в каждом случае противоположные стороны попарно параллельны по построению.
Других параллелограммов нет: любой параллелограмм с тремя вершинами A, B, C имеет четвёртую вершину, противоположную одной из этих трёх точек, а при выбранной противоположной вершине четвёртая определяется однозначно (пересечение двух прямых). Три найденные точки D, E, F различны.
Ответ: можно построить три параллелограмма.
498. Даны острый угол hk и два отрезка P1Q1 и P2Q2. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между параллельными прямыми AB и DC равнялось P1Q1, AB = P2Q2 и ∠A = ∠hk.
Построение.
1) Строим угол A, равный углу hk. На одной его стороне откладываем AB = P2Q2.
2) В точке A строим перпендикуляр к прямой AB и откладываем на нём (в ту же сторону от AB, где лежит вторая сторона угла) отрезок AH1 = P1Q1.
3) Через H1 проводим прямую m, параллельную AB. Все её точки находятся на расстоянии P1Q1 от прямой AB.
4) Точку пересечения прямой m со второй стороной угла A обозначаем D.
5) От точки D по прямой m в сторону, где лежит B, откладываем DC = AB (или через B проводим прямую, параллельную AD, и берём её пересечение C с прямой m).
Доказательство: AB || DC и DC = AB, значит, ABCD — параллелограмм (признак 1°). Угол A равен hk, AB = P2Q2, расстояние между прямыми AB и DC равно P1Q1, так как D лежит на m.
Исследование: так как угол hk острый, вторая сторона угла пересекает прямую m, поэтому построение всегда выполнимо; решение единственно с точностью до равенства фигур.
1) Строим угол A, равный углу hk. На одной его стороне откладываем AB = P2Q2.
2) В точке A строим перпендикуляр к прямой AB и откладываем на нём (в ту же сторону от AB, где лежит вторая сторона угла) отрезок AH1 = P1Q1.
3) Через H1 проводим прямую m, параллельную AB. Все её точки находятся на расстоянии P1Q1 от прямой AB.
4) Точку пересечения прямой m со второй стороной угла A обозначаем D.
5) От точки D по прямой m в сторону, где лежит B, откладываем DC = AB (или через B проводим прямую, параллельную AD, и берём её пересечение C с прямой m).
Доказательство: AB || DC и DC = AB, значит, ABCD — параллелограмм (признак 1°). Угол A равен hk, AB = P2Q2, расстояние между прямыми AB и DC равно P1Q1, так как D лежит на m.
Исследование: так как угол hk острый, вторая сторона угла пересекает прямую m, поэтому построение всегда выполнимо; решение единственно с точностью до равенства фигур.
499. Разделите данный отрезок AB на n равных частей.
Построение (на рисунке n = 5).
1) Проводим луч AX, не лежащий на прямой AB.
2) На луче AX от точки A циркулем откладываем последовательно n равных отрезков произвольной длины: AA1, A1A2, …, An−1An.
3) Проводим прямую AnB.
4) Через точки A1, A2, …, An−1 проводим прямые, параллельные AnB. Они пересекают отрезок AB в точках B1, B2, …, Bn−1.
Доказательство: параллельные прямые AkBk отсекают на луче AX равные отрезки AA1 = A1A2 = …, поэтому по теореме Фалеса (задача 488) они отсекают равные отрезки и на AB: AB1 = B1B2 = … = Bn−1B. Значит, отрезок AB разделён на n равных частей.
1) Проводим луч AX, не лежащий на прямой AB.
2) На луче AX от точки A циркулем откладываем последовательно n равных отрезков произвольной длины: AA1, A1A2, …, An−1An.
3) Проводим прямую AnB.
4) Через точки A1, A2, …, An−1 проводим прямые, параллельные AnB. Они пересекают отрезок AB в точках B1, B2, …, Bn−1.
Доказательство: параллельные прямые AkBk отсекают на луче AX равные отрезки AA1 = A1A2 = …, поэтому по теореме Фалеса (задача 488) они отсекают равные отрезки и на AB: AB1 = B1B2 = … = Bn−1B. Значит, отрезок AB разделён на n равных частей.
500. Постройте равнобедренную трапецию ABCD: а) по основанию AD, углу А и боковой стороне AB; б) по основанию ВС, боковой стороне AB и диагонали BD.
а) Строим отрезок AD. При вершине A строим угол, равный данному, и откладываем на его стороне AB, равный данной боковой стороне. Строим при вершине D такой же угол (с той же стороны от AD, что и угол A): в равнобедренной трапеции углы при основании равны. Через B проводим прямую, параллельную AD, она пересекает луч из D в точке C. ABCD — искомая: BC || AD, ∠A = ∠D, поэтому трапеция равнобедренная (задача 492, а), AD, ∠A и AB заданы.
Исследование: решение существует, если лучи из A и D пересекают прямую через B на нужных сторонах, то есть AD > 2 · AB · cos A (при тупом угле A — всегда); оно единственно.
б) Пусть BC = a, AB = CD = c, BD = d. Строим треугольник BCD по трём сторонам: BC = a, BD = d, CD = c. Затем строим серединный перпендикуляр l к отрезку BC — ось симметрии равнобедренной трапеции — и точку A, симметричную D относительно l (из D опускаем перпендикуляр на l и откладываем за l такой же отрезок). ABCD — искомая трапеция: AD || BC (оба перпендикулярны l), ABCD симметрична относительно l, значит, AB = CD = c и трапеция равнобедренная, основание BC и диагональ BD заданы.
Исследование: нужно, чтобы существовал треугольник со сторонами a, d, c (каждая меньше суммы двух других) и чтобы d ≠ c (иначе D лежит на оси l и совпадает с A); решение единственно.
Исследование: решение существует, если лучи из A и D пересекают прямую через B на нужных сторонах, то есть AD > 2 · AB · cos A (при тупом угле A — всегда); оно единственно.
б) Пусть BC = a, AB = CD = c, BD = d. Строим треугольник BCD по трём сторонам: BC = a, BD = d, CD = c. Затем строим серединный перпендикуляр l к отрезку BC — ось симметрии равнобедренной трапеции — и точку A, симметричную D относительно l (из D опускаем перпендикуляр на l и откладываем за l такой же отрезок). ABCD — искомая трапеция: AD || BC (оба перпендикулярны l), ABCD симметрична относительно l, значит, AB = CD = c и трапеция равнобедренная, основание BC и диагональ BD заданы.
Исследование: нужно, чтобы существовал треугольник со сторонами a, d, c (каждая меньше суммы двух других) и чтобы d ≠ c (иначе D лежит на оси l и совпадает с A); решение единственно.
501. Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям и боковой стороне AD, перпендикулярной к основаниям.
Даны основания a и b и боковая сторона h = AD, перпендикулярная основаниям (основания AB = a и DC = b).
1) Строим отрезок AD = h.
2) В точках A и D строим перпендикуляры к AD и проводим их в одну сторону от AD.
3) На перпендикуляре из A откладываем AB = a, на перпендикуляре из D откладываем DC = b.
4) Соединяем B и C.
Доказательство: AB ⊥ AD и DC ⊥ AD, поэтому AB || DC, это основания; AD — боковая сторона, перпендикулярная основаниям, AB = a, DC = b. Так как a ≠ b, BC не параллельна AD, и ABCD — прямоугольная трапеция.
Исследование: задача имеет единственное решение при a ≠ b (при a = b получился бы прямоугольник).
1) Строим отрезок AD = h.
2) В точках A и D строим перпендикуляры к AD и проводим их в одну сторону от AD.
3) На перпендикуляре из A откладываем AB = a, на перпендикуляре из D откладываем DC = b.
4) Соединяем B и C.
Доказательство: AB ⊥ AD и DC ⊥ AD, поэтому AB || DC, это основания; AD — боковая сторона, перпендикулярная основаниям, AB = a, DC = b. Так как a ≠ b, BC не параллельна AD, и ABCD — прямоугольная трапеция.
Исследование: задача имеет единственное решение при a ≠ b (при a = b получился бы прямоугольник).