Глава VI. §3. Прямоугольник, ромб, квадрат — с. 135
507. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами.
Пусть в ромбе ABCD диагональ AC равна стороне. Тогда в треугольнике ABC AB = BC = AC, он равносторонний, и ∠ABC = 60°.
а) ∠B = ∠D = 60°, ∠A = ∠C = 180° − 60° = 120°.
б) Диагонали ромба делят его углы пополам. Диагональ BD делит угол B = 60° на два угла по 30°, диагональ AC делит угол A = 120° на два угла по 60°. Значит, диагонали образуют со сторонами углы 30° и 60°.
Ответ: а) 60° и 120°; б) 30° и 60°.
а) ∠B = ∠D = 60°, ∠A = ∠C = 180° − 60° = 120°.
б) Диагонали ромба делят его углы пополам. Диагональ BD делит угол B = 60° на два угла по 30°, диагональ AC делит угол A = 120° на два угла по 60°. Значит, диагонали образуют со сторонами углы 30° и 60°.
Ответ: а) 60° и 120°; б) 30° и 60°.
508. Найдите периметр ромба ABCD, в котором ∠B = 60°, АС = 10,5 см.
В ромбе AB = BC. Треугольник ABC равнобедренный с углом 60° при вершине B, поэтому он равносторонний: AB = BC = AC = 10,5 см.
P = 4 · 10,5 = 42 см.
Ответ: 42 см.
P = 4 · 10,5 = 42 см.
Ответ: 42 см.
509. Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторонами, если один из углов ромба равен 45°.
Другой угол ромба равен 180° − 45° = 135°. Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому они образуют со сторонами углы 45° : 2 = 22°30′ и 135° : 2 = 67°30′.
Ответ: 22°30′ и 67°30′.
Ответ: 22°30′ и 67°30′.
510. Докажите признаки ромба. Параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.
Пусть ABCD — параллелограмм, O — точка пересечения диагоналей.
а) Пусть AC ⊥ BD. Так как AO = OC, в треугольнике ABC отрезок BO — и медиана, и высота, поэтому треугольник равнобедренный: AB = BC. В параллелограмме AB = CD и BC = AD, значит, все стороны равны, и ABCD — ромб.
б) Пусть диагональ AC делит угол A пополам: ∠BAC = ∠CAD. Углы CAD и ACB равны как накрест лежащие при AD || BC, поэтому ∠BAC = ∠ACB, и треугольник ABC равнобедренный: AB = BC. Так же, как в пункте а), получаем, что все стороны равны, и ABCD — ромб.
а) Пусть AC ⊥ BD. Так как AO = OC, в треугольнике ABC отрезок BO — и медиана, и высота, поэтому треугольник равнобедренный: AB = BC. В параллелограмме AB = CD и BC = AD, значит, все стороны равны, и ABCD — ромб.
б) Пусть диагональ AC делит угол A пополам: ∠BAC = ∠CAD. Углы CAD и ACB равны как накрест лежащие при AD || BC, поэтому ∠BAC = ∠ACB, и треугольник ABC равнобедренный: AB = BC. Так же, как в пункте а), получаем, что все стороны равны, и ABCD — ромб.
511. Докажите признак квадрата. Ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.
Ромб — параллелограмм. Параллелограмм с одним прямым углом — прямоугольник (задача 502). Значит, данный ромб — прямоугольник, у которого, как у ромба, все стороны равны. По определению это квадрат.
512. Является ли четырёхугольник квадратом, если его диагонали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину?
а) Нет. Например, возьмём перпендикулярные диагонали AC = BD = 4, пересекающиеся в точке O так, что AO = 1, OC = 3, BO = 1, OD = 3. Диагонали равны и перпендикулярны, но AB = √2, а BC = √10, поэтому четырёхугольник не квадрат (его диагонали не делятся пополам).
б) Нет. Диагонали, делящиеся пополам, дают параллелограмм (признак 3°); перпендикулярные диагонали — признак ромба. Получается ромб, а он не обязательно квадрат (например, ромб с углами 60° и 120°).
в) Да. Диагонали делятся пополам, значит, это параллелограмм; диагонали равны, значит, это прямоугольник; диагонали перпендикулярны, значит, это ромб. Прямоугольник, являющийся ромбом, — квадрат.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
б) Нет. Диагонали, делящиеся пополам, дают параллелограмм (признак 3°); перпендикулярные диагонали — признак ромба. Получается ромб, а он не обязательно квадрат (например, ромб с углами 60° и 120°).
в) Да. Диагонали делятся пополам, значит, это параллелограмм; диагонали равны, значит, это прямоугольник; диагонали перпендикулярны, значит, это ромб. Прямоугольник, являющийся ромбом, — квадрат.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
513. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипотенузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите, что полученный четырёхугольник — квадрат.
Пусть в треугольнике ABC угол C прямой, CL — биссектриса (L на AB), LM || AC (M на BC), LN || BC (N на AC). В четырёхугольнике CNLM противоположные стороны попарно параллельны (CN || LM, CM || LN), значит, это параллелограмм, а так как угол C прямой, — прямоугольник (задача 502).
Угол MCL = 45° (CL — биссектриса прямого угла). В прямоугольном треугольнике CML (∠M = 90°) тогда ∠MLC = 90° − 45° = 45°, поэтому он равнобедренный: CM = ML. В прямоугольнике ML = CN, поэтому смежные стороны CM и CN равны. Прямоугольник с равными смежными сторонами — квадрат.
Угол MCL = 45° (CL — биссектриса прямого угла). В прямоугольном треугольнике CML (∠M = 90°) тогда ∠MLC = 90° − 45° = 45°, поэтому он равнобедренный: CM = ML. В прямоугольнике ML = CN, поэтому смежные стороны CM и CN равны. Прямоугольник с равными смежными сторонами — квадрат.
514. Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с прямым углом С, катетом АС = 12 см и квадрат CDEF, такой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е — на гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.
Пусть D лежит на AC, F — на BC, сторона квадрата равна x. Треугольник ABC равнобедренный прямоугольный, поэтому ∠A = 45°. В треугольнике ADE угол D прямой (DE ⊥ AC, как сторона квадрата), ∠A = 45°, значит, ∠AED = 45° и AD = DE = x.
Тогда AC = AD + DC = x + x = 2x = 12, x = 6 см.
P = 4 · 6 = 24 см.
Ответ: 24 см.
Тогда AC = AD + DC = x + x = 2x = 12, x = 6 см.
P = 4 · 6 = 24 см.
Ответ: 24 см.
515. Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями.
а) Даны стороны a и b. Строим прямой угол A, на его сторонах откладываем AB = a, AD = b. Через B проводим перпендикуляр к AB, через D — перпендикуляр к AD; C — их пересечение. ABCD — прямоугольник (три прямых угла).
б) Даны сторона a и диагональ d. Строим отрезок AB = a и прямую, перпендикулярную AB в точке B. Циркулем с центром A и радиусом d проводим дугу, она пересекает перпендикуляр в точке C (нужно d > a). Через A строим перпендикуляр к AB и через C — прямую, параллельную AB; их пересечение D. ABCD — прямоугольник с AB = a, AC = d.
в) Даны диагональ d и угол φ между диагоналями. Строим отрезок AC = d и находим его середину O. Через O проводим прямую, образующую с AC угол φ, и откладываем на ней по обе стороны от O отрезки OB = OD = d/2. ABCD — искомый прямоугольник: диагонали равны (AC = BD = d) и делятся пополам, значит, это параллелограмм (признак 3°) с равными диагоналями, то есть прямоугольник; угол между диагоналями равен φ.
Исследование: в б) решение существует при d > a и единственно; в а) и в) единственно.
б) Даны сторона a и диагональ d. Строим отрезок AB = a и прямую, перпендикулярную AB в точке B. Циркулем с центром A и радиусом d проводим дугу, она пересекает перпендикуляр в точке C (нужно d > a). Через A строим перпендикуляр к AB и через C — прямую, параллельную AB; их пересечение D. ABCD — прямоугольник с AB = a, AC = d.
в) Даны диагональ d и угол φ между диагоналями. Строим отрезок AC = d и находим его середину O. Через O проводим прямую, образующую с AC угол φ, и откладываем на ней по обе стороны от O отрезки OB = OD = d/2. ABCD — искомый прямоугольник: диагонали равны (AC = BD = d) и делятся пополам, значит, это параллелограмм (признак 3°) с равными диагоналями, то есть прямоугольник; угол между диагоналями равен φ.
Исследование: в б) решение существует при d > a и единственно; в а) и в) единственно.
516. Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.
а) Даны диагонали d1 и d2. Строим отрезок AC = d1 и его серединный перпендикуляр; точка пересечения — O. На серединном перпендикуляре от O по разные стороны откладываем OB = OD = d2/2. ABCD — ромб: диагонали делятся пополам, поэтому ABCD — параллелограмм, и они перпендикулярны, поэтому это ромб (признак ромба, задача 510 а).
б) Даны сторона a и угол α. Строим угол A, равный α, и на его сторонах откладываем AB = AD = a. Через B проводим прямую, параллельную AD, через D — параллельную AB; C — точка их пересечения. ABCD — параллелограмм с равными смежными сторонами AB = AD, то есть ромб, с углом A = α и стороной a.
Исследование: решение единственно (угол α меньше 180°).
б) Даны сторона a и угол α. Строим угол A, равный α, и на его сторонах откладываем AB = AD = a. Через B проводим прямую, параллельную AD, через D — параллельную AB; C — точка их пересечения. ABCD — параллелограмм с равными смежными сторонами AB = AD, то есть ромб, с углом A = α и стороной a.
Исследование: решение единственно (угол α меньше 180°).
517. Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.
а) Дана сторона a. Строим отрезок AB = a. В точках A и B строим перпендикуляры к AB, на них в одну сторону откладываем AD = BC = a. Соединяем D и C. ABCD — квадрат: AB ∥ DC и AB = DC (AD = BC, AD || BC), значит, ABCD — параллелограмм, углы A и B прямые, значит, это прямоугольник; стороны AB = AD = a, значит, это квадрат.
б) Дана диагональ d. Строим отрезок AC = d, его серединный перпендикуляр и середину O. На серединном перпендикуляре откладываем OB = OD = d/2. ABCD — квадрат: диагонали равны (AC = BD = d), перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому это параллелограмм с равными диагоналями (прямоугольник) и перпендикулярными диагоналями (ромб), то есть квадрат.
б) Дана диагональ d. Строим отрезок AC = d, его серединный перпендикуляр и середину O. На серединном перпендикуляре откладываем OB = OD = d/2. ABCD — квадрат: диагонали равны (AC = BD = d), перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому это параллелограмм с равными диагоналями (прямоугольник) и перпендикулярными диагоналями (ромб), то есть квадрат.
518. Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.
Пусть ABCD — прямоугольник, M — середина AB, N — середина CD. Так как AB = CD, AM = DN, и AM || DN, то AMND — параллелограмм (признак 1°). У него угол A прямой, значит, это прямоугольник и ∠AMN = 90°, то есть MN ⊥ AB. Так как M — середина AB, прямая MN — серединный перпендикуляр к отрезку AB, поэтому точки A и B симметричны относительно MN. Так же MN ⊥ CD (∠DNM = 90°) и N — середина CD, поэтому D и C симметричны относительно MN.
Значит, при симметрии относительно прямой MN вершины A, B, C, D переходят в B, A, D, C, отрезки AB, BC, CD, DA переходят в отрезки BA, AD, DC, CB, то есть прямоугольник переходит сам в себя. Поэтому MN — ось симметрии прямоугольника.
Значит, при симметрии относительно прямой MN вершины A, B, C, D переходят в B, A, D, C, отрезки AB, BC, CD, DA переходят в отрезки BA, AD, DC, CB, то есть прямоугольник переходит сам в себя. Поэтому MN — ось симметрии прямоугольника.
519. Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка AB.
Построение.
1) Находим середину O отрезка AB: строим две окружности с центрами A и B одного радиуса, большего AB/2; прямая через их точки пересечения пересекает AB в точке O.
2) Проводим луч MO.
3) На продолжении луча MO за точку O откладываем отрезок OM1 = MO.
Точка M1 — искомая: O — середина MM1, поэтому M и M1 симметричны относительно точки O, то есть относительно середины отрезка AB.
1) Находим середину O отрезка AB: строим две окружности с центрами A и B одного радиуса, большего AB/2; прямая через их точки пересечения пересекает AB в точке O.
2) Проводим луч MO.
3) На продолжении луча MO за точку O откладываем отрезок OM1 = MO.
Точка M1 — искомая: O — середина MM1, поэтому M и M1 симметричны относительно точки O, то есть относительно середины отрезка AB.
1. Какой многоугольник называется выпуклым?
Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Углами выпуклого многоугольника A1A2 … An называются углы AnA1A2, A1A2A3, …, An−1AnA1, образованные соседними сторонами при его вершинах (лежащие внутри многоугольника).
2. Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого n-угольника.
Диагоналями, проведёнными из вершины A1, выпуклый n-угольник A1A2 … An разделяется на n − 2 треугольника. Сумма углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника (углы треугольников при вершине A1 составляют угол многоугольника при этой вершине, а в остальных вершинах углы складываются так же). Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов n-угольника равна (n − 2) · 180°.