Глава II. §6. п.17 Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня — с. 98
411. (Для работы в парах.) Площадь треугольника S см² со сторонами a см, b см и c см можно вычислить по формуле Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p — полупериметр треугольника. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны: а) 12 см, 16 см, 24 см; б) 18 см, 22 см, 26 см. (Можете воспользоваться калькулятором.) 1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.
2. Проверьте друг у друга правильность вычислений.
3. Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.
1) а) p = (12 + 16 + 24)/2 = 26. p − a = 14, p − b = 10, p − c = 2. S = √(26 · 14 · 10 · 2) = √7280 = √(16 · 455) = 4√455 ≈ 85,3 (см²).
б) p = (18 + 22 + 26)/2 = 33. p − a = 15, p − b = 11, p − c = 7. S = √(33 · 15 · 11 · 7) = √(3² · 11² · 5 · 7) = 33√35 ≈ 195,2 (см²).
2) Проверка: 4√455 ≈ 4 · 21,33 ≈ 85,3; 33√35 ≈ 33 · 5,916 ≈ 195,2.
3) Предположение: площадь увеличится в 4 раза. Если стороны 2a, 2b, 2c, то полупериметр 2p и S₁ = √(2p · 2(p − a) · 2(p − b) · 2(p − c)) = √(16 · p(p − a)(p − b)(p − c)) = 4S.
Ответ: а) 4√455 ≈ 85,3 см²; б) 33√35 ≈ 195,2 см²; площадь увеличится в 4 раза.
б) p = (18 + 22 + 26)/2 = 33. p − a = 15, p − b = 11, p − c = 7. S = √(33 · 15 · 11 · 7) = √(3² · 11² · 5 · 7) = 33√35 ≈ 195,2 (см²).
2) Проверка: 4√455 ≈ 4 · 21,33 ≈ 85,3; 33√35 ≈ 33 · 5,916 ≈ 195,2.
3) Предположение: площадь увеличится в 4 раза. Если стороны 2a, 2b, 2c, то полупериметр 2p и S₁ = √(2p · 2(p − a) · 2(p − b) · 2(p − c)) = √(16 · p(p − a)(p − b)(p − c)) = 4S.
Ответ: а) 4√455 ≈ 85,3 см²; б) 33√35 ≈ 195,2 см²; площадь увеличится в 4 раза.
412. В школьной мастерской учащиеся за три дня переплели 144 книги. Сколько книг было переплетено в каждый из трёх дней, если известно, что во второй день учащиеся переплели на 12 книг больше, чем в первый, а в третий — 5/7 числа книг, переплетённых в первый и во второй дни вместе?
Пусть в первый день переплели x книг, тогда во второй — (x + 12) книг, а в третий — 5/7 · (x + x + 12) = 5/7 · (2x + 12) книг.
Всего 144 книги:
x + (x + 12) + 5/7 · (2x + 12) = 144;
(2x + 12) + 5/7 · (2x + 12) = 144;
12/7 · (2x + 12) = 144;
2x + 12 = 84; x = 36.
Во второй день 36 + 12 = 48 книг, в третий 5/7 · 84 = 60 книг. Проверка: 36 + 48 + 60 = 144.
Ответ: 36, 48 и 60 книг.
Всего 144 книги:
x + (x + 12) + 5/7 · (2x + 12) = 144;
(2x + 12) + 5/7 · (2x + 12) = 144;
12/7 · (2x + 12) = 144;
2x + 12 = 84; x = 36.
Во второй день 36 + 12 = 48 книг, в третий 5/7 · 84 = 60 книг. Проверка: 36 + 48 + 60 = 144.
Ответ: 36, 48 и 60 книг.
413. Решите уравнение: а) (4x − 1)/12 + 7/4 = (5 − x)/9; б) (2x − 9)/6 − 2(5x + 3)/15 = 1/2.
а) Умножим на 36: 3(4x − 1) + 63 = 4(5 − x); 12x − 3 + 63 = 20 − 4x; 16x = −40; x = −2,5.
б) Умножим на 30: 5(2x − 9) − 4(5x + 3) = 15; 10x − 45 − 20x − 12 = 15; −10x = 72; x = −7,2.
Ответ: а) −2,5; б) −7,2.
б) Умножим на 30: 5(2x − 9) − 4(5x + 3) = 15; 10x − 45 − 20x − 12 = 15; −10x = 72; x = −7,2.
Ответ: а) −2,5; б) −7,2.