Глава II. §6. п.18 Преобразование выражений, содержащих квадратные корни — с. 101
421. Разложите на множители выражение: а) 3 + √3; б) 10 − 2√10; в) √x + x; г) a − 5√a; д) √a − √(2a); е) √(3m) + √(5m); ж) √14 − √7; з) √33 + √22.
Выносим за скобки общий множитель, представляя числа и переменные через корни.
а) 3 + √3 = √3·√3 + √3 = √3(√3 + 1).
б) 10 − 2√10 = √10·√10 − 2√10 = √10(√10 − 2).
в) √x + x = √x + √x·√x = √x(1 + √x), x ≥ 0.
г) a − 5√a = √a·√a − 5√a = √a(√a − 5), a ≥ 0.
д) √a − √(2a) = √a − √2·√a = √a(1 − √2), a ≥ 0.
е) √(3m) + √(5m) = √3·√m + √5·√m = √m(√3 + √5), m ≥ 0.
ж) √14 − √7 = √7·√2 − √7 = √7(√2 − 1).
з) √33 + √22 = √11·√3 + √11·√2 = √11(√3 + √2).
а) 3 + √3 = √3·√3 + √3 = √3(√3 + 1).
б) 10 − 2√10 = √10·√10 − 2√10 = √10(√10 − 2).
в) √x + x = √x + √x·√x = √x(1 + √x), x ≥ 0.
г) a − 5√a = √a·√a − 5√a = √a(√a − 5), a ≥ 0.
д) √a − √(2a) = √a − √2·√a = √a(1 − √2), a ≥ 0.
е) √(3m) + √(5m) = √3·√m + √5·√m = √m(√3 + √5), m ≥ 0.
ж) √14 − √7 = √7·√2 − √7 = √7(√2 − 1).
з) √33 + √22 = √11·√3 + √11·√2 = √11(√3 + √2).
422. Сократите дробь: а) (b² − 5)/(b − √5); б) (m + √6)/(6 − m²); в) (2 − √x)/(x − 4); г) (b − 9)/(√b + 3); д) (a − b)/(√b + √a); е) (2√x − 3√y)/(4x − 9y).
Раскладываем числитель или знаменатель по формуле разности квадратов и сокращаем.
а) (b² − 5)/(b − √5) = (b − √5)(b + √5)/(b − √5) = b + √5.
б) 6 − m² = (√6 − m)(√6 + m), поэтому (m + √6)/((√6 − m)(√6 + m)) = 1/(√6 − m).
в) x − 4 = (√x − 2)(√x + 2), а 2 − √x = −(√x − 2), поэтому дробь равна −(√x − 2)/((√x − 2)(√x + 2)) = −1/(√x + 2).
г) b − 9 = (√b − 3)(√b + 3), поэтому дробь равна √b − 3.
д) a − b = (√a − √b)(√a + √b), поэтому дробь равна √a − √b.
е) 4x − 9y = (2√x − 3√y)(2√x + 3√y), поэтому дробь равна 1/(2√x + 3√y).
а) (b² − 5)/(b − √5) = (b − √5)(b + √5)/(b − √5) = b + √5.
б) 6 − m² = (√6 − m)(√6 + m), поэтому (m + √6)/((√6 − m)(√6 + m)) = 1/(√6 − m).
в) x − 4 = (√x − 2)(√x + 2), а 2 − √x = −(√x − 2), поэтому дробь равна −(√x − 2)/((√x − 2)(√x + 2)) = −1/(√x + 2).
г) b − 9 = (√b − 3)(√b + 3), поэтому дробь равна √b − 3.
д) a − b = (√a − √b)(√a + √b), поэтому дробь равна √a − √b.
е) 4x − 9y = (2√x − 3√y)(2√x + 3√y), поэтому дробь равна 1/(2√x + 3√y).
423. Сократите дробь: а) (x² − 2)/(x + √2); б) (√5 − a)/(5 − a²); в) (√x − 5)/(25 − x); г) (√2 + 2)/√2; д) (5 + √10)/√10; е) (2√3 − 3)/(5√3).
а) x² − 2 = (x − √2)(x + √2), поэтому дробь равна x − √2.
б) 5 − a² = (√5 − a)(√5 + a), поэтому дробь равна 1/(√5 + a).
в) 25 − x = (5 − √x)(5 + √x), а √x − 5 = −(5 − √x), поэтому дробь равна −1/(5 + √x).
г) 2 = √2·√2, поэтому √2 + 2 = √2(1 + √2) и дробь равна 1 + √2.
д) 5 = √5·√5, 10 = √5·√2, поэтому 5 + √10 = √5(√5 + √2), а √10 = √5·√2. После сокращения на √5 получаем (√5 + √2)/√2.
е) 3 = √3·√3, поэтому 2√3 − 3 = √3(2 − √3), а 5√3 = 5·√3. После сокращения на √3 получаем (2 − √3)/5.
б) 5 − a² = (√5 − a)(√5 + a), поэтому дробь равна 1/(√5 + a).
в) 25 − x = (5 − √x)(5 + √x), а √x − 5 = −(5 − √x), поэтому дробь равна −1/(5 + √x).
г) 2 = √2·√2, поэтому √2 + 2 = √2(1 + √2) и дробь равна 1 + √2.
д) 5 = √5·√5, 10 = √5·√2, поэтому 5 + √10 = √5(√5 + √2), а √10 = √5·√2. После сокращения на √5 получаем (√5 + √2)/√2.
е) 3 = √3·√3, поэтому 2√3 − 3 = √3(2 − √3), а 5√3 = 5·√3. После сокращения на √3 получаем (2 − √3)/5.
424. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) x/√5; б) 3/√b; в) 2/(7√y); г) a/(b√b); д) 4/√(a + b); е) 1/√(a − b); ж) 5/(2√3); з) 8/(3√2); и) 3√5/(5√2).
Умножаем числитель и знаменатель на корень, стоящий в знаменателе.
а) x/√5 = x√5/(√5·√5) = x√5/5.
б) 3/√b = 3√b/b, b > 0.
в) 2/(7√y) = 2√y/(7y), y > 0.
г) a/(b√b) = a√b/(b√b·√b) = a√b/b², b > 0.
д) 4/√(a + b) = 4√(a + b)/(a + b), a + b > 0.
е) 1/√(a − b) = √(a − b)/(a − b), a − b > 0.
ж) 5/(2√3) = 5√3/(2·3) = 5√3/6.
з) 8/(3√2) = 8√2/(3·2) = 4√2/3.
и) 3√5/(5√2) = 3√5·√2/(5·2) = 3√10/10.
а) x/√5 = x√5/(√5·√5) = x√5/5.
б) 3/√b = 3√b/b, b > 0.
в) 2/(7√y) = 2√y/(7y), y > 0.
г) a/(b√b) = a√b/(b√b·√b) = a√b/b², b > 0.
д) 4/√(a + b) = 4√(a + b)/(a + b), a + b > 0.
е) 1/√(a − b) = √(a − b)/(a − b), a − b > 0.
ж) 5/(2√3) = 5√3/(2·3) = 5√3/6.
з) 8/(3√2) = 8√2/(3·2) = 4√2/3.
и) 3√5/(5√2) = 3√5·√2/(5·2) = 3√10/10.
425. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) m/√x; б) 1/√2; в) 3/(5√c); г) a/(2√3); д) 3/(2√3); е) 5/(4√15).
а) m/√x = m√x/x, x > 0.
б) 1/√2 = √2/2.
в) 3/(5√c) = 3√c/(5c), c > 0.
г) a/(2√3) = a√3/6.
д) 3/(2√3) = 3√3/(2·3) = √3/2.
е) 5/(4√15) = 5√15/(4·15) = √15/12.
б) 1/√2 = √2/2.
в) 3/(5√c) = 3√c/(5c), c > 0.
г) a/(2√3) = a√3/6.
д) 3/(2√3) = 3√3/(2·3) = √3/2.
е) 5/(4√15) = 5√15/(4·15) = √15/12.
426. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) 4/(√3 + 1); б) 1/(1 − √2); в) 1/(√x − √y); г) a/(√a + √b); д) 33/(7 − 3√3); е) 15/(2√5 + 5).
Умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю, и применяем формулу разности квадратов.
а) 4(√3 − 1)/((√3 + 1)(√3 − 1)) = 4(√3 − 1)/(3 − 1) = 2(√3 − 1) = 2√3 − 2.
б) (1 + √2)/((1 − √2)(1 + √2)) = (1 + √2)/(1 − 2) = −1 − √2.
в) (√x + √y)/((√x − √y)(√x + √y)) = (√x + √y)/(x − y), x ≠ y.
г) a(√a − √b)/((√a + √b)(√a − √b)) = a(√a − √b)/(a − b), a ≠ b.
д) 33(7 + 3√3)/((7 − 3√3)(7 + 3√3)) = 33(7 + 3√3)/(49 − 27) = 33(7 + 3√3)/22 = 3(7 + 3√3)/2 = (21 + 9√3)/2.
е) 15(2√5 − 5)/((2√5 + 5)(2√5 − 5)) = 15(2√5 − 5)/(20 − 25) = −3(2√5 − 5) = 15 − 6√5.
а) 4(√3 − 1)/((√3 + 1)(√3 − 1)) = 4(√3 − 1)/(3 − 1) = 2(√3 − 1) = 2√3 − 2.
б) (1 + √2)/((1 − √2)(1 + √2)) = (1 + √2)/(1 − 2) = −1 − √2.
в) (√x + √y)/((√x − √y)(√x + √y)) = (√x + √y)/(x − y), x ≠ y.
г) a(√a − √b)/((√a + √b)(√a − √b)) = a(√a − √b)/(a − b), a ≠ b.
д) 33(7 + 3√3)/((7 − 3√3)(7 + 3√3)) = 33(7 + 3√3)/(49 − 27) = 33(7 + 3√3)/22 = 3(7 + 3√3)/2 = (21 + 9√3)/2.
е) 15(2√5 − 5)/((2√5 + 5)(2√5 − 5)) = 15(2√5 − 5)/(20 − 25) = −3(2√5 − 5) = 15 − 6√5.