Глава II. §6. п.18 Преобразование выражений, содержащих квадратные корни — с. 103
435. Площадь кольца вычисляется по формуле S = π(R² − r²), где R — радиус внешнего круга, а r — радиус внутреннего круга. Выразите R через S и r.
S = π(R² − r²). Разделим на π: S/π = R² − r², откуда R² = S/π + r². Так как радиус положителен, R = √(S/π + r²).
Ответ: R = √(S/π + r²).
Ответ: R = √(S/π + r²).
436. Напишите для каждой прямой, изображённой на рисунке 21, уравнение, графиком которого является эта прямая. [рисунок 21: координатная плоскость с клетками; прямая a проходит через точки (0; −2) и (10; 0); прямая b проходит через точки (0; 1) и (1; −1)]
Уравнение прямой имеет вид y = kx + m.
Прямая a: пересекает ось y в точке (0; −2), значит, m = −2; проходит через (10; 0): 0 = 10k − 2, k = 0,2. Уравнение: y = 0,2x − 2.
Прямая b: пересекает ось y в точке (0; 1), значит, m = 1; проходит через (1; −1): −1 = k + 1, k = −2. Уравнение: y = −2x + 1.
Проверка: точка (−1; 3) лежит на прямой b: −2·(−1) + 1 = 3; точка (−5; −3) лежит на прямой a: 0,2·(−5) − 2 = −3.
Ответ: a: y = 0,2x − 2; b: y = −2x + 1.
Прямая a: пересекает ось y в точке (0; −2), значит, m = −2; проходит через (10; 0): 0 = 10k − 2, k = 0,2. Уравнение: y = 0,2x − 2.
Прямая b: пересекает ось y в точке (0; 1), значит, m = 1; проходит через (1; −1): −1 = k + 1, k = −2. Уравнение: y = −2x + 1.
Проверка: точка (−1; 3) лежит на прямой b: −2·(−1) + 1 = 3; точка (−5; −3) лежит на прямой a: 0,2·(−5) − 2 = −3.
Ответ: a: y = 0,2x − 2; b: y = −2x + 1.
Вопрос 1. На примере выражения 3√a покажите, как можно внести множитель под знак корня.
Положительный множитель, стоящий перед знаком корня, возводят в квадрат и записывают под корнем: 3√a = √9·√a = √(9a), где a ≥ 0. Это следует из свойства корня из произведения: √(9a) = √9·√a = 3√a.
Вопрос 2. На примере выражения √(8a) покажите, как можно вынести множитель из-под знака корня.
Разложим подкоренное выражение на множители, один из которых — квадрат: √(8a) = √(4·2a) = √4·√(2a) = 2√(2a), где a ≥ 0.
Вопрос 3. На примере выражений 1/√a и 1/(√a + √b) покажите, как можно освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.
Для 1/√a умножаем числитель и знаменатель на √a: 1/√a = √a/(√a·√a) = √a/a, a > 0.
Для 1/(√a + √b) умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение √a − √b и применяем формулу разности квадратов: 1/(√a + √b) = (√a − √b)/((√a + √b)(√a − √b)) = (√a − √b)/(a − b), где a ≥ 0, b ≥ 0, a ≠ b.
Для 1/(√a + √b) умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение √a − √b и применяем формулу разности квадратов: 1/(√a + √b) = (√a − √b)/((√a + √b)(√a − √b)) = (√a − √b)/(a − b), где a ≥ 0, b ≥ 0, a ≠ b.