Глава II. §6. п.19 Преобразование двойных радикалов — с. 105
437. Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата: а) √(6 + 2√5); б) √(11 − 4√7).
а) 6 + 2√5 = 1 + 2·1·√5 + 5 = (1 + √5)². Тогда √(6 + 2√5) = |1 + √5| = 1 + √5.
б) 11 − 4√7 = 11 − 2·2·√7 = 4 − 2·2·√7 + 7 = (2 − √7)². Тогда √(11 − 4√7) = |2 − √7| = √7 − 2, так как √7 > 2.
Ответ: а) 1 + √5; б) √7 − 2.
б) 11 − 4√7 = 11 − 2·2·√7 = 4 − 2·2·√7 + 7 = (2 − √7)². Тогда √(11 − 4√7) = |2 − √7| = √7 − 2, так как √7 > 2.
Ответ: а) 1 + √5; б) √7 − 2.
438. Найдите значение выражения: а) √(11 + 6√2) − √2; б) √(27 − 5√8) + √2.
а) 11 + 6√2 = 9 + 2·3·√2 + 2 = (3 + √2)². Значит, √(11 + 6√2) − √2 = 3 + √2 − √2 = 3.
б) 5√8 = 10√2 = 2·5·√2, а 27 = 25 + 2, поэтому 27 − 5√8 = (5 − √2)². Значит, √(27 − 5√8) + √2 = |5 − √2| + √2 = 5 − √2 + √2 = 5.
Ответ: а) 3; б) 5.
б) 5√8 = 10√2 = 2·5·√2, а 27 = 25 + 2, поэтому 27 − 5√8 = (5 − √2)². Значит, √(27 − 5√8) + √2 = |5 − √2| + √2 = 5 − √2 + √2 = 5.
Ответ: а) 3; б) 5.