Глава II. Дополнительные упражнения к главе II — с. 107
447. Известно, что числа a и b натуральные. Является ли натуральным число: а) a + b; б) a − b; в) ab; г) a/b?
а) Да: сумма натуральных чисел — натуральное число.
б) Не всегда: например, 3 − 5 = −2 (не натуральное), 4 − 4 = 0 (тоже не натуральное). Разность натуральна только при a > b.
в) Да: произведение натуральных чисел — натуральное число.
г) Не всегда: например, 1/2 не натуральное число. Частное натурально, только если a делится на b.
б) Не всегда: например, 3 − 5 = −2 (не натуральное), 4 − 4 = 0 (тоже не натуральное). Разность натуральна только при a > b.
в) Да: произведение натуральных чисел — натуральное число.
г) Не всегда: например, 1/2 не натуральное число. Частное натурально, только если a делится на b.
448. Известно, что числа a и b целые. Является ли целым число: а) a + b; б) a − b; в) ab; г) a/b (b ≠ 0)?
а) Да: сумма целых чисел — целое число.
б) Да: разность целых чисел — целое число.
в) Да: произведение целых чисел — целое число.
г) Не всегда: например, 1/2 не целое число. Частное целое, только если a делится на b.
б) Да: разность целых чисел — целое число.
в) Да: произведение целых чисел — целое число.
г) Не всегда: например, 1/2 не целое число. Частное целое, только если a делится на b.
449. Известно, что числа a и b рациональные. Является ли рациональным число: а) a + b; б) a − b; в) ab; г) a/b (b ≠ 0)?
Пусть a = m/n, b = p/q, где m, p — целые, n, q — натуральные.
а) a + b = (mq + pn)/(nq) — отношение целого числа к натуральному, значит, рациональное число.
б) a − b = (mq − pn)/(nq) — рациональное число.
в) ab = mp/(nq) — рациональное число.
г) a/b = mq/(np), где p ≠ 0 (так как b ≠ 0), — рациональное число.
Ответ: во всех случаях да.
а) a + b = (mq + pn)/(nq) — отношение целого числа к натуральному, значит, рациональное число.
б) a − b = (mq − pn)/(nq) — рациональное число.
в) ab = mp/(nq) — рациональное число.
г) a/b = mq/(np), где p ≠ 0 (так как b ≠ 0), — рациональное число.
Ответ: во всех случаях да.
450. Докажите, что если числа x и y чётные, то чётным будет число: а) x − y; б) xy; в) 3x + y.
Пусть x = 2m, y = 2n, где m и n — целые числа.
а) x − y = 2m − 2n = 2(m − n) — чётное.
б) xy = 2m·2n = 2·(2mn) — чётное.
в) 3x + y = 6m + 2n = 2(3m + n) — чётное.
а) x − y = 2m − 2n = 2(m − n) — чётное.
б) xy = 2m·2n = 2·(2mn) — чётное.
в) 3x + y = 6m + 2n = 2(3m + n) — чётное.
451. Известно, что числа x и y нечётные. Будет ли чётным или нечётным числом: а) сумма x + y; б) разность x − y; в) произведение xy?
Пусть x = 2m + 1, y = 2n + 1, где m и n — целые числа.
а) x + y = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1) — чётное.
б) x − y = 2m − 2n = 2(m − n) — чётное.
в) xy = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1 — нечётное.
а) x + y = 2m + 2n + 2 = 2(m + n + 1) — чётное.
б) x − y = 2m − 2n = 2(m − n) — чётное.
в) xy = (2m + 1)(2n + 1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn + m + n) + 1 — нечётное.
452. Назовите: а) пять положительных чисел, меньших 0,002; б) пять отрицательных чисел, больших −1/11; в) пять чисел, больших 1/3 и меньших 1/2.
а) 0,001; 0,0011; 0,0012; 0,0015; 0,0019 — все положительные и меньше 0,002.
б) −1/11 = −0,0909…, поэтому подойдут числа −0,09; −0,05; −0,03; −0,02; −0,01: каждое отрицательно и больше −0,0909….
в) 1/3 = 0,333…, 1/2 = 0,5, поэтому подойдут 0,34; 0,35; 0,4; 0,45; 0,49.
Ответ: возможны и другие числа с теми же свойствами.
б) −1/11 = −0,0909…, поэтому подойдут числа −0,09; −0,05; −0,03; −0,02; −0,01: каждое отрицательно и больше −0,0909….
в) 1/3 = 0,333…, 1/2 = 0,5, поэтому подойдут 0,34; 0,35; 0,4; 0,45; 0,49.
Ответ: возможны и другие числа с теми же свойствами.
453. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число: а) 23/64; б) −7/25; в) 11/13; г) 1/27; д) 2/35; е) −7/22; ж) 23/30; з) 12/55.
Делим числитель на знаменатель уголком.
а) 23/64 = 0,359375 = 0,359375(0).
б) −7/25 = −0,28 = −0,28(0).
в) 11/13 = 0,846153846153… = 0,(846153).
г) 1/27 = 0,037037… = 0,(037).
д) 2/35 = 0,0571428571428… = 0,0(571428).
е) −7/22 = −0,31818… = −0,3(18).
ж) 23/30 = 0,7666… = 0,7(6).
з) 12/55 = 0,21818… = 0,2(18).
а) 23/64 = 0,359375 = 0,359375(0).
б) −7/25 = −0,28 = −0,28(0).
в) 11/13 = 0,846153846153… = 0,(846153).
г) 1/27 = 0,037037… = 0,(037).
д) 2/35 = 0,0571428571428… = 0,0(571428).
е) −7/22 = −0,31818… = −0,3(18).
ж) 23/30 = 0,7666… = 0,7(6).
з) 12/55 = 0,21818… = 0,2(18).
454. Назовите два рациональных и два иррациональных числа, заключённых между числами 10 и 10,1.
Рациональные: 10,02 и 10,05 (обе десятичные дроби лежат между 10 и 10,1).
Иррациональные: √101 и √102. Так как 10² = 100 < 101 < 102 < 102,01 = 10,1², то 10 < √101 < √102 < 10,1. Числа √101 и √102 иррациональны, потому что 101 и 102 не являются квадратами рациональных чисел.
Иррациональные: √101 и √102. Так как 10² = 100 < 101 < 102 < 102,01 = 10,1², то 10 < √101 < √102 < 10,1. Числа √101 и √102 иррациональны, потому что 101 и 102 не являются квадратами рациональных чисел.
455. Известно, что число a рациональное, а число b иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным число: а) a + b; б) a − b?
а) Иррациональное. Допустим, a + b = r — рациональное число. Тогда b = r − a — разность рациональных чисел, то есть рациональное число, что противоречит условию. Значит, a + b иррационально.
б) Иррациональное. Допустим, a − b = r — рациональное число. Тогда b = a − r — рациональное число, что противоречит условию. Значит, a − b иррационально.
б) Иррациональное. Допустим, a − b = r — рациональное число. Тогда b = a − r — рациональное число, что противоречит условию. Значит, a − b иррационально.