Глава II. Дополнительные упражнения к главе II — с. 109
464. При каких значениях переменной x имеет смысл выражение: а) 4/√x; б) 1/(√x + 2); в) 5/(√x − 1)?
а) Нужны x ≥ 0 и √x ≠ 0, то есть x > 0.
б) Нужно x ≥ 0; знаменатель √x + 2 ≥ 2 никогда не равен нулю. Ответ: x ≥ 0.
в) Нужно x ≥ 0 и √x − 1 ≠ 0, то есть x ≠ 1. Ответ: x ≥ 0, x ≠ 1.
б) Нужно x ≥ 0; знаменатель √x + 2 ≥ 2 никогда не равен нулю. Ответ: x ≥ 0.
в) Нужно x ≥ 0 и √x − 1 ≠ 0, то есть x ≠ 1. Ответ: x ≥ 0, x ≠ 1.
465. Найдите значение выражения: а) √0,16 + (2√0,1)²; б) (0,2√10)² + 0,5√16; в) √144 − 0,5(√12)²; г) (3√3)² + (−3√3)²; д) (5√2)² − (2√5)²; е) (−3√6)² − 3(√6)².
а) 0,4 + 4·0,1 = 0,4 + 0,4 = 0,8.
б) 0,04·10 + 0,5·4 = 0,4 + 2 = 2,4.
в) 12 − 0,5·12 = 12 − 6 = 6.
г) 9·3 + 9·3 = 27 + 27 = 54.
д) 25·2 − 4·5 = 50 − 20 = 30.
е) 9·6 − 3·6 = 54 − 18 = 36.
б) 0,04·10 + 0,5·4 = 0,4 + 2 = 2,4.
в) 12 − 0,5·12 = 12 − 6 = 6.
г) 9·3 + 9·3 = 27 + 27 = 54.
д) 25·2 − 4·5 = 50 − 20 = 30.
е) 9·6 − 3·6 = 54 − 18 = 36.
466. Расстояние между двумя точками координатной плоскости A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂) вычисляется по формуле d = √((x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²). Вычислите расстояние между точками A(−3,5; 4,3) и B(7,8; 0,4) с помощью калькулятора.
x₁ − x₂ = −3,5 − 7,8 = −11,3; y₁ − y₂ = 4,3 − 0,4 = 3,9.
d = √((−11,3)² + 3,9²) = √(127,69 + 15,21) = √142,9.
Калькулятор даёт √142,9 ≈ 11,954. (Проверка: 11,95² = 142,8025, 11,96² = 143,0416.)
Ответ: d ≈ 11,95.
d = √((−11,3)² + 3,9²) = √(127,69 + 15,21) = √142,9.
Калькулятор даёт √142,9 ≈ 11,954. (Проверка: 11,95² = 142,8025, 11,96² = 143,0416.)
Ответ: d ≈ 11,95.
467. Сравните числа: а) √7,5 и √7,6; б) √0,1 и √0,01; в) √(1/3) и √0,3; г) √2,16 и √(2 1/6); д) √(5/9) и √(6/11); е) √(1/3) и √0,(3); ж) √7 и 2,6; з) 3,2 и √9,8; и) √1,23 и 1,1.
Для неотрицательных чисел большему подкоренному выражению соответствует больший корень; число сравнивают с корнем, возводя обе части в квадрат.
а) 7,5 < 7,6, значит, √7,5 < √7,6.
б) 0,1 > 0,01, значит, √0,1 > √0,01.
в) 1/3 = 0,333… > 0,3, значит, √(1/3) > √0,3.
г) 2 1/6 = 2,1666… > 2,16, значит, √2,16 < √(2 1/6).
д) 5/9 = 55/99, 6/11 = 54/99; 5/9 > 6/11, значит, √(5/9) > √(6/11).
е) 0,(3) = 1/3, значит, √(1/3) = √0,(3).
ж) 2,6² = 6,76 < 7, значит, √7 > 2,6.
з) 3,2² = 10,24 > 9,8, значит, 3,2 > √9,8.
и) 1,1² = 1,21 < 1,23, значит, √1,23 > 1,1.
а) 7,5 < 7,6, значит, √7,5 < √7,6.
б) 0,1 > 0,01, значит, √0,1 > √0,01.
в) 1/3 = 0,333… > 0,3, значит, √(1/3) > √0,3.
г) 2 1/6 = 2,1666… > 2,16, значит, √2,16 < √(2 1/6).
д) 5/9 = 55/99, 6/11 = 54/99; 5/9 > 6/11, значит, √(5/9) > √(6/11).
е) 0,(3) = 1/3, значит, √(1/3) = √0,(3).
ж) 2,6² = 6,76 < 7, значит, √7 > 2,6.
з) 3,2² = 10,24 > 9,8, значит, 3,2 > √9,8.
и) 1,1² = 1,21 < 1,23, значит, √1,23 > 1,1.
468. С помощью графиков выясните, сколько корней может иметь при различных значениях b уравнение: а) √x = x + b; б) √x = −x + b.
Строим график y = √x и прямую y = x + b (она получается сдвигом прямой y = x вдоль оси y) в одной системе координат; число корней равно числу точек пересечения.
а) При b = 1/4 прямая касается графика в точке (1/4; 1/2): один корень. Если прямая лежит выше (b > 1/4), общих точек нет: корней нет. При 0 ≤ b < 1/4 прямая пересекает график дважды (при b = 0 в точках x = 0 и x = 1): два корня. При b < 0 прямая пересекает график один раз: один корень.
Проверка: пусть t = √x ≥ 0, тогда t = t² + b, то есть t² − t + b = 0; дискриминант 1 − 4b. При b > 1/4 корней нет; при b = 1/4 один корень t = 1/2; при 0 ≤ b < 1/4 два неотрицательных значения t; при b < 0 произведение корней равно b < 0, значит, одно положительное значение t.
б) Прямая y = −x + b убывает. При b < 0 она лежит ниже графика y = √x для всех x ≥ 0: корней нет. При b ≥ 0 она пересекает график ровно один раз (при b = 0 в точке (0; 0)): один корень. Проверка: t² + t − b = 0, где t = √x ≥ 0; при b < 0 выражение t² + t ≥ 0 > b, корней нет; при b ≥ 0 есть ровно один неотрицательный корень t = (−1 + √(1 + 4b))/2.
Ответ: а) при b > 1/4 корней нет; при b = 1/4 и при b < 0 — один корень; при 0 ≤ b < 1/4 — два корня. б) при b < 0 корней нет; при b ≥ 0 — один корень.
а) При b = 1/4 прямая касается графика в точке (1/4; 1/2): один корень. Если прямая лежит выше (b > 1/4), общих точек нет: корней нет. При 0 ≤ b < 1/4 прямая пересекает график дважды (при b = 0 в точках x = 0 и x = 1): два корня. При b < 0 прямая пересекает график один раз: один корень.
Проверка: пусть t = √x ≥ 0, тогда t = t² + b, то есть t² − t + b = 0; дискриминант 1 − 4b. При b > 1/4 корней нет; при b = 1/4 один корень t = 1/2; при 0 ≤ b < 1/4 два неотрицательных значения t; при b < 0 произведение корней равно b < 0, значит, одно положительное значение t.
б) Прямая y = −x + b убывает. При b < 0 она лежит ниже графика y = √x для всех x ≥ 0: корней нет. При b ≥ 0 она пересекает график ровно один раз (при b = 0 в точке (0; 0)): один корень. Проверка: t² + t − b = 0, где t = √x ≥ 0; при b < 0 выражение t² + t ≥ 0 > b, корней нет; при b ≥ 0 есть ровно один неотрицательный корень t = (−1 + √(1 + 4b))/2.
Ответ: а) при b > 1/4 корней нет; при b = 1/4 и при b < 0 — один корень; при 0 ≤ b < 1/4 — два корня. б) при b < 0 корней нет; при b ≥ 0 — один корень.
469. Вычислите: а) √(196·0,81·0,36); б) √(1 9/16 · 5 4/9 · 0,01); в) √(0,87·49 + 0,82·49); г) √(1,44·1,21 − 1,44·0,4).
а) √196·√0,81·√0,36 = 14·0,9·0,6 = 7,56.
б) 1 9/16 = 25/16, 5 4/9 = 49/9, 0,01 = 1/100. √(25/16·49/9·1/100) = 5/4·7/3·1/10 = 35/120 = 7/24.
в) √(49(0,87 + 0,82)) = √(49·1,69) = 7·1,3 = 9,1.
г) √(1,44(1,21 − 0,4)) = √(1,44·0,81) = 1,2·0,9 = 1,08.
б) 1 9/16 = 25/16, 5 4/9 = 49/9, 0,01 = 1/100. √(25/16·49/9·1/100) = 5/4·7/3·1/10 = 35/120 = 7/24.
в) √(49(0,87 + 0,82)) = √(49·1,69) = 7·1,3 = 9,1.
г) √(1,44(1,21 − 0,4)) = √(1,44·0,81) = 1,2·0,9 = 1,08.
470. Найдите значение корня: а) √((165² − 124²)/164); б) √(98/(176² − 112²)); в) √((149² − 76²)/(457² − 384²)); г) √((145,5² − 96,5²)/(193,5² − 31,5²)).
Применяем формулу a² − b² = (a − b)(a + b).
а) 165² − 124² = 41·289; 164 = 4·41. √(41·289/(4·41)) = √(289/4) = 17/2 = 8,5.
б) 176² − 112² = 64·288 = 18432; √(98/18432) = √(49/9216) = 7/96.
в) 149² − 76² = 73·225; 457² − 384² = 73·841. √(225/841) = 15/29.
г) 145,5² − 96,5² = 49·242; 193,5² − 31,5² = 162·225. Дробь равна 49·242/(162·225) = 49·121/(81·225) (сокращаем на 2). √ = 7·11/(9·15) = 77/135.
а) 165² − 124² = 41·289; 164 = 4·41. √(41·289/(4·41)) = √(289/4) = 17/2 = 8,5.
б) 176² − 112² = 64·288 = 18432; √(98/18432) = √(49/9216) = 7/96.
в) 149² − 76² = 73·225; 457² − 384² = 73·841. √(225/841) = 15/29.
г) 145,5² − 96,5² = 49·242; 193,5² − 31,5² = 162·225. Дробь равна 49·242/(162·225) = 49·121/(81·225) (сокращаем на 2). √ = 7·11/(9·15) = 77/135.