Глава II. Дополнительные упражнения к главе II — с. 111
479. Постройте график функции y = √|x|.
Функция определена при любом x, так как |x| ≥ 0.
При x ≥ 0 имеем |x| = x и y = √x — обычная ветвь графика корня.
При x < 0 имеем |x| = −x и y = √(−x). Функция чётная: √|−x| = √|x|, поэтому график симметричен относительно оси y. Значит, достаточно построить график y = √x при x ≥ 0 и отразить его относительно оси y.
Таблица: [таблица: x: 0, 1, 4, 9; y = √x: 0, 1, 2, 3], те же значения y при x = 0, −1, −4, −9.
График — две ветви, сходящиеся в начале координат, расположенные в верхней полуплоскости (y ≥ 0).
При x ≥ 0 имеем |x| = x и y = √x — обычная ветвь графика корня.
При x < 0 имеем |x| = −x и y = √(−x). Функция чётная: √|−x| = √|x|, поэтому график симметричен относительно оси y. Значит, достаточно построить график y = √x при x ≥ 0 и отразить его относительно оси y.
Таблица: [таблица: x: 0, 1, 4, 9; y = √x: 0, 1, 2, 3], те же значения y при x = 0, −1, −4, −9.
График — две ветви, сходящиеся в начале координат, расположенные в верхней полуплоскости (y ≥ 0).
480. Преобразуйте выражение: а) √(a⁴b⁴); б) √(b⁶c⁸), где b ≥ 0; в) √(16x⁴y¹²); г) √(0,25p²y⁶), где p ≥ 0, y ≤ 0; д) √(p⁴/a⁸); е) √(16a¹²/b¹⁰), где b > 0; ж) √(4x²/y⁶), где x < 0, y < 0; з) √(c⁶/(9a²)), где c < 0, a > 0.
Используем √(t²) = |t|.
а) √(a⁴b⁴) = |a²b²| = a²b².
б) √(b⁶c⁸) = |b³|·c⁴ = b³c⁴ (b ≥ 0).
в) √(16x⁴y¹²) = 4x²·|y⁶| = 4x²y⁶.
г) √(0,25p²y⁶) = 0,5·|p|·|y³| = 0,5p·(−y³) = −0,5py³ (p ≥ 0, y ≤ 0).
д) √(p⁴/a⁸) = p²/a⁴ (a ≠ 0).
е) √(16a¹²/b¹⁰) = 4|a⁶|/|b⁵| = 4a⁶/b⁵ (b > 0).
ж) √(4x²/y⁶) = 2|x|/|y³| = 2(−x)/(−y³) = 2x/y³ (x < 0, y < 0).
з) √(c⁶/(9a²)) = |c³|/(3|a|) = −c³/(3a) (c < 0, a > 0).
а) √(a⁴b⁴) = |a²b²| = a²b².
б) √(b⁶c⁸) = |b³|·c⁴ = b³c⁴ (b ≥ 0).
в) √(16x⁴y¹²) = 4x²·|y⁶| = 4x²y⁶.
г) √(0,25p²y⁶) = 0,5·|p|·|y³| = 0,5p·(−y³) = −0,5py³ (p ≥ 0, y ≤ 0).
д) √(p⁴/a⁸) = p²/a⁴ (a ≠ 0).
е) √(16a¹²/b¹⁰) = 4|a⁶|/|b⁵| = 4a⁶/b⁵ (b > 0).
ж) √(4x²/y⁶) = 2|x|/|y³| = 2(−x)/(−y³) = 2x/y³ (x < 0, y < 0).
з) √(c⁶/(9a²)) = |c³|/(3|a|) = −c³/(3a) (c < 0, a > 0).
481. (Задача-исследование.) Верно ли, что при любом натуральном n значение выражения √(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1) является натуральным числом?
1. Выберите произвольное значение n и проверьте, является ли натуральным числом соответствующее значение корня.
2. Подумайте, как удобно сгруппировать множители в произведении n(n + 1)(n + 2)(n + 3), чтобы представить подкоренное выражение в виде квадрата.
3. Выполните преобразования и дайте ответ на вопрос задачи.
1) Возьмём n = 2: 2·3·4·5 + 1 = 121, √121 = 11 — натуральное число. При n = 1: 1·2·3·4 + 1 = 25, √25 = 5.
2) Сгруппируем первый множитель с четвёртым, второй с третьим: n(n + 3)·(n + 1)(n + 2) = (n² + 3n)(n² + 3n + 2).
3) Обозначим t = n² + 3n. Тогда n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = t(t + 2) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)². Значит, √(…) = t + 1 = n² + 3n + 1 (число положительное). При натуральном n это натуральное число. (Для n = 2: 4 + 6 + 1 = 11, для n = 1: 1 + 3 + 1 = 5 — совпадает с проверкой.)
Ответ: да, верно; значение выражения равно n² + 3n + 1.
2) Сгруппируем первый множитель с четвёртым, второй с третьим: n(n + 3)·(n + 1)(n + 2) = (n² + 3n)(n² + 3n + 2).
3) Обозначим t = n² + 3n. Тогда n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = t(t + 2) + 1 = t² + 2t + 1 = (t + 1)². Значит, √(…) = t + 1 = n² + 3n + 1 (число положительное). При натуральном n это натуральное число. (Для n = 2: 4 + 6 + 1 = 11, для n = 1: 1 + 3 + 1 = 5 — совпадает с проверкой.)
Ответ: да, верно; значение выражения равно n² + 3n + 1.
482. Упростите выражение: а) √((−a)²); б) √((−a)²(−b)⁴).
а) √((−a)²) = |−a| = |a|.
б) √((−a)²(−b)⁴) = √((−a)²)·√((−b)⁴) = |−a|·|(−b)²| = |a|·b².
Ответ: а) |a|; б) |a|b².
б) √((−a)²(−b)⁴) = √((−a)²)·√((−b)⁴) = |−a|·|(−b)²| = |a|·b².
Ответ: а) |a|; б) |a|b².
483. Вынесите множитель из-под знака корня: а) 0,5√(60a²); б) 2,1√(300x⁴); в) 0,1√(150x³); г) 0,2√(225a⁵); д) a√(18a²b); е) −m√(48am⁴).
а) 0,5√(60a²) = 0,5·|a|·√60 = 0,5·|a|·2√15 = |a|√15.
б) 2,1√(300x⁴) = 2,1·x²·√300 = 2,1·x²·10√3 = 21x²√3.
в) Подкоренное выражение требует x ≥ 0. 0,1√(150x³) = 0,1·x·√(150x) = 0,1·5x√(6x) = 0,5x√(6x).
г) a ≥ 0. 0,2√(225a⁵) = 0,2·15·a²·√a = 3a²√a.
д) b ≥ 0. a√(18a²b) = a·3|a|√(2b) = 3a|a|√(2b).
е) a ≥ 0. −m√(48am⁴) = −m·4m²·√(3a) = −4m³√(3a).
б) 2,1√(300x⁴) = 2,1·x²·√300 = 2,1·x²·10√3 = 21x²√3.
в) Подкоренное выражение требует x ≥ 0. 0,1√(150x³) = 0,1·x·√(150x) = 0,1·5x√(6x) = 0,5x√(6x).
г) a ≥ 0. 0,2√(225a⁵) = 0,2·15·a²·√a = 3a²√a.
д) b ≥ 0. a√(18a²b) = a·3|a|√(2b) = 3a|a|√(2b).
е) a ≥ 0. −m√(48am⁴) = −m·4m²·√(3a) = −4m³√(3a).
484. Сравните числа: а) 0,2√200 и 10√8; б) 7√(32/49) и 0,8√50; в) 0,5√108 и 9√3; г) (5/2)√63 и 4,5√28.
Вынесем множители из-под знака корня.
а) 0,2√200 = 0,2·10√2 = 2√2; 10√8 = 10·2√2 = 20√2. 2√2 < 20√2, значит, 0,2√200 < 10√8.
б) 7√(32/49) = 7·√32/7 = √32 = 4√2; 0,8√50 = 0,8·5√2 = 4√2. Числа равны.
в) 0,5√108 = 0,5·6√3 = 3√3; 3√3 < 9√3, значит, 0,5√108 < 9√3.
г) (5/2)√63 = 2,5·3√7 = 7,5√7; 4,5√28 = 4,5·2√7 = 9√7. 7,5√7 < 9√7, значит, (5/2)√63 < 4,5√28.
а) 0,2√200 = 0,2·10√2 = 2√2; 10√8 = 10·2√2 = 20√2. 2√2 < 20√2, значит, 0,2√200 < 10√8.
б) 7√(32/49) = 7·√32/7 = √32 = 4√2; 0,8√50 = 0,8·5√2 = 4√2. Числа равны.
в) 0,5√108 = 0,5·6√3 = 3√3; 3√3 < 9√3, значит, 0,5√108 < 9√3.
г) (5/2)√63 = 2,5·3√7 = 7,5√7; 4,5√28 = 4,5·2√7 = 9√7. 7,5√7 < 9√7, значит, (5/2)√63 < 4,5√28.
485. Расположите в порядке возрастания числа: а) (2/3)√72, √30 и 7√2; б) 5√(7/2), √17 и (1/2)√62; в) 8√0,2, √41 и (2/5)√250; г) 12√0,5, √89 и (3/4)√160.
Внесём множители под знак корня и сравним подкоренные выражения.
а) (2/3)√72 = √(4/9·72) = √32; 7√2 = √98. Сравниваем 32, 30, 98: √30 < (2/3)√72 < 7√2.
б) 5√(7/2) = √(25·3,5) = √87,5; (1/2)√62 = √(62/4) = √15,5. Сравниваем 87,5, 17, 15,5: (1/2)√62 < √17 < 5√(7/2).
в) 8√0,2 = √(64·0,2) = √12,8; (2/5)√250 = √(4/25·250) = √40. Сравниваем 12,8, 41, 40: 8√0,2 < (2/5)√250 < √41.
г) 12√0,5 = √(144·0,5) = √72; (3/4)√160 = √(9/16·160) = √90. Сравниваем 72, 89, 90: 12√0,5 < √89 < (3/4)√160.
а) (2/3)√72 = √(4/9·72) = √32; 7√2 = √98. Сравниваем 32, 30, 98: √30 < (2/3)√72 < 7√2.
б) 5√(7/2) = √(25·3,5) = √87,5; (1/2)√62 = √(62/4) = √15,5. Сравниваем 87,5, 17, 15,5: (1/2)√62 < √17 < 5√(7/2).
в) 8√0,2 = √(64·0,2) = √12,8; (2/5)√250 = √(4/25·250) = √40. Сравниваем 12,8, 41, 40: 8√0,2 < (2/5)√250 < √41.
г) 12√0,5 = √(144·0,5) = √72; (3/4)√160 = √(9/16·160) = √90. Сравниваем 72, 89, 90: 12√0,5 < √89 < (3/4)√160.