Глава II. Дополнительные упражнения к главе II — с. 112
486. Выполните умножение: а) √x(√a − √b); б) (√x + √y)√x; в) √(ab)(√a + √b); г) (√m − √n)√(mn); д) (√x + √y)(2√x − √y); е) (√a − √b)(3√a + 2√b); ж) (2√a + √b)(3√a − 2√b); з) (4√x − √(2x))(√x − √(2x)).
Все переменные под знаком корня неотрицательны. Используем √u·√u = u и √u·√v = √(uv).
а) √x·√a − √x·√b = √(xa) − √(xb).
б) √x·√x + √y·√x = x + √(xy).
в) √(ab)·√a + √(ab)·√b = a√b + b√a.
г) √m·√(mn) − √n·√(mn) = m√n − n√m.
д) 2x − √(xy) + 2√(xy) − y = 2x + √(xy) − y.
е) 3a + 2√(ab) − 3√(ab) − 2b = 3a − √(ab) − 2b.
ж) 6a − 4√(ab) + 3√(ab) − 2b = 6a − √(ab) − 2b.
з) 4x − 4√x·√(2x) − √(2x)·√x + 2x = 4x − 4x√2 − x√2 + 2x = 6x − 5x√2.
а) √x·√a − √x·√b = √(xa) − √(xb).
б) √x·√x + √y·√x = x + √(xy).
в) √(ab)·√a + √(ab)·√b = a√b + b√a.
г) √m·√(mn) − √n·√(mn) = m√n − n√m.
д) 2x − √(xy) + 2√(xy) − y = 2x + √(xy) − y.
е) 3a + 2√(ab) − 3√(ab) − 2b = 3a − √(ab) − 2b.
ж) 6a − 4√(ab) + 3√(ab) − 2b = 6a − √(ab) − 2b.
з) 4x − 4√x·√(2x) − √(2x)·√x + 2x = 4x − 4x√2 − x√2 + 2x = 6x − 5x√2.
487. Упростите выражение: а) (1 − √x)(1 + √x + x); б) (√a + 2)(a − 2√a + 4); в) (√m − √n)(m + n + √(mn)); г) (x + √y)(x² + y − x√y).
Применяем формулы u³ − v³ = (u − v)(u² + uv + v²) и u³ + v³ = (u + v)(u² − uv + v²).
а) 1 + √x + x = 1² + 1·√x + (√x)², поэтому произведение равно 1³ − (√x)³ = 1 − x√x.
б) a − 2√a + 4 = (√a)² − 2·√a + 2², поэтому произведение равно (√a)³ + 2³ = a√a + 8.
в) m + n + √(mn) = (√m)² + √m·√n + (√n)², поэтому произведение равно (√m)³ − (√n)³ = m√m − n√n.
г) x² + y − x√y = x² − x·√y + (√y)², поэтому произведение равно x³ + (√y)³ = x³ + y√y.
а) 1 + √x + x = 1² + 1·√x + (√x)², поэтому произведение равно 1³ − (√x)³ = 1 − x√x.
б) a − 2√a + 4 = (√a)² − 2·√a + 2², поэтому произведение равно (√a)³ + 2³ = a√a + 8.
в) m + n + √(mn) = (√m)² + √m·√n + (√n)², поэтому произведение равно (√m)³ − (√n)³ = m√m − n√n.
г) x² + y − x√y = x² − x·√y + (√y)², поэтому произведение равно x³ + (√y)³ = x³ + y√y.
488. Представьте в виде квадрата суммы или квадрата разности выражение: а) x − 4√(x − 1) + 3; б) y + 2√(y + 2) + 3.
а) Допустимо x ≥ 1. x + 3 = (x − 1) + 4, поэтому x − 4√(x − 1) + 3 = (√(x − 1))² − 2·2·√(x − 1) + 2² = (√(x − 1) − 2)².
б) Допустимо y ≥ −2. y + 3 = (y + 2) + 1, поэтому y + 2√(y + 2) + 3 = (√(y + 2))² + 2·√(y + 2) + 1² = (√(y + 2) + 1)².
б) Допустимо y ≥ −2. y + 3 = (y + 2) + 1, поэтому y + 2√(y + 2) + 3 = (√(y + 2))² + 2·√(y + 2) + 1² = (√(y + 2) + 1)².
489. Докажите, что: а) √(6 + 4√2) = 2 + √2; б) √(8√3 + 19) = √3 + 4.
Правые части положительны, поэтому достаточно проверить, что их квадраты равны подкоренным выражениям.
а) (2 + √2)² = 4 + 4√2 + 2 = 6 + 4√2. Значит, √(6 + 4√2) = 2 + √2.
б) (√3 + 4)² = 3 + 8√3 + 16 = 19 + 8√3. Значит, √(8√3 + 19) = √3 + 4.
а) (2 + √2)² = 4 + 4√2 + 2 = 6 + 4√2. Значит, √(6 + 4√2) = 2 + √2.
б) (√3 + 4)² = 3 + 8√3 + 16 = 19 + 8√3. Значит, √(8√3 + 19) = √3 + 4.
490. Найдите значение выражения: а) x² − 6 при x = 1 + √5; б) x² − 6x при x = 3 − √3; в) x² − 4x + 3 при x = 2 + √3; г) x² − 3x + 5 при x = (3 + √2)/2.
а) (1 + √5)² − 6 = 1 + 2√5 + 5 − 6 = 2√5.
б) x² − 6x = x(x − 6) = (3 − √3)(−3 − √3) = −(3 − √3)(3 + √3) = −(9 − 3) = −6.
в) x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1 = (√3)² − 1 = 3 − 1 = 2.
г) x² = (9 + 6√2 + 2)/4 = (11 + 6√2)/4; 3x = (9 + 3√2)/2 = (18 + 6√2)/4. x² − 3x + 5 = (11 + 6√2 − 18 − 6√2)/4 + 5 = −7/4 + 5 = 13/4 = 3 1/4.
Ответ: а) 2√5; б) −6; в) 2; г) 3 1/4.
б) x² − 6x = x(x − 6) = (3 − √3)(−3 − √3) = −(3 − √3)(3 + √3) = −(9 − 3) = −6.
в) x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1 = (√3)² − 1 = 3 − 1 = 2.
г) x² = (9 + 6√2 + 2)/4 = (11 + 6√2)/4; 3x = (9 + 3√2)/2 = (18 + 6√2)/4. x² − 3x + 5 = (11 + 6√2 − 18 − 6√2)/4 + 5 = −7/4 + 5 = 13/4 = 3 1/4.
Ответ: а) 2√5; б) −6; в) 2; г) 3 1/4.
491. Докажите, что значения выражений √(7 + 4√3) + √(7 − 4√3) и √(7 + 4√3)·√(7 − 4√3) являются натуральными числами.
7 + 4√3 = 4 + 4√3 + 3 = (2 + √3)², 7 − 4√3 = (2 − √3)², причём 2 − √3 > 0.
Первое выражение: √(7 + 4√3) + √(7 − 4√3) = (2 + √3) + (2 − √3) = 4.
Второе выражение: √(7 + 4√3)·√(7 − 4√3) = √((7 + 4√3)(7 − 4√3)) = √(49 − 48) = √1 = 1.
Числа 4 и 1 натуральные, что и требовалось доказать.
Первое выражение: √(7 + 4√3) + √(7 − 4√3) = (2 + √3) + (2 − √3) = 4.
Второе выражение: √(7 + 4√3)·√(7 − 4√3) = √((7 + 4√3)(7 − 4√3)) = √(49 − 48) = √1 = 1.
Числа 4 и 1 натуральные, что и требовалось доказать.
492. Докажите, что значение выражения есть число рациональное: а) 1/(3√2 − 5) − 1/(3√2 + 5); б) 1/(7 + 2√6) + 1/(7 − 2√6).
а) ((3√2 + 5) − (3√2 − 5))/((3√2 − 5)(3√2 + 5)) = 10/(18 − 25) = −10/7. Рациональное число.
б) ((7 − 2√6) + (7 + 2√6))/((7 + 2√6)(7 − 2√6)) = 14/(49 − 24) = 14/25. Рациональное число.
б) ((7 − 2√6) + (7 + 2√6))/((7 + 2√6)(7 − 2√6)) = 14/(49 − 24) = 14/25. Рациональное число.
493. Найдите значение выражения: а) 1/(11 − 2√30) − 1/(11 + 2√30); б) 5/(3 + 2√2) + 5/(3 − 2√2); в) (√5 − √3)/(√5 + √3) + (√5 + √3)/(√5 − √3); г) (11 + √21)/(11 − √21) + (11 − √21)/(11 + √21).
а) ((11 + 2√30) − (11 − 2√30))/(121 − 120) = 4√30.
б) 5·((3 − 2√2) + (3 + 2√2))/(9 − 8) = 5·6 = 30.
в) ((√5 − √3)² + (√5 + √3)²)/(5 − 3) = (2·5 + 2·3)/2 = 16/2 = 8.
г) ((11 + √21)² + (11 − √21)²)/(121 − 21) = 2(121 + 21)/100 = 284/100 = 2,84.
б) 5·((3 − 2√2) + (3 + 2√2))/(9 − 8) = 5·6 = 30.
в) ((√5 − √3)² + (√5 + √3)²)/(5 − 3) = (2·5 + 2·3)/2 = 16/2 = 8.
г) ((11 + √21)² + (11 − √21)²)/(121 − 21) = 2(121 + 21)/100 = 284/100 = 2,84.
494. Найдите значение дроби (x² − 3xy + y²)/(x + y + 2) при x = 3 + √5 и y = 3 − √5.
x + y = (3 + √5) + (3 − √5) = 6; xy = (3 + √5)(3 − √5) = 9 − 5 = 4.
x² − 3xy + y² = (x + y)² − 5xy = 36 − 20 = 16.
x + y + 2 = 8.
Дробь равна 16/8 = 2.
Ответ: 2.
x² − 3xy + y² = (x + y)² − 5xy = 36 − 20 = 16.
x + y + 2 = 8.
Дробь равна 16/8 = 2.
Ответ: 2.