Глава II. Дополнительные упражнения к главе II — с. 110
471. Вычислите: а) 15√20 · 0,1√45; б) 0,3√10 · 0,2√15 · 0,5√6; в) 8√5/(0,4√0,2); г) √0,48/(5√12).
а) 15·0,1·√(20·45) = 1,5·√900 = 1,5·30 = 45.
б) 0,3·0,2·0,5·√(10·15·6) = 0,03·√900 = 0,03·30 = 0,9.
в) (8/0,4)·√(5/0,2) = 20·√25 = 20·5 = 100.
г) (1/5)·√(0,48/12) = 0,2·√0,04 = 0,2·0,2 = 0,04.
б) 0,3·0,2·0,5·√(10·15·6) = 0,03·√900 = 0,03·30 = 0,9.
в) (8/0,4)·√(5/0,2) = 20·√25 = 20·5 = 100.
г) (1/5)·√(0,48/12) = 0,2·√0,04 = 0,2·0,2 = 0,04.
472. Известно, что a < 0 и b < 0. Представьте выражение: а) √(ab) в виде произведения корней; б) √(a/b) в виде частного корней.
Так как a < 0 и b < 0, числа −a и −b положительны.
а) ab = (−a)(−b), поэтому √(ab) = √((−a)(−b)) = √(−a)·√(−b).
б) a/b = (−a)/(−b), поэтому √(a/b) = √((−a)/(−b)) = √(−a)/√(−b).
а) ab = (−a)(−b), поэтому √(ab) = √((−a)(−b)) = √(−a)·√(−b).
б) a/b = (−a)/(−b), поэтому √(a/b) = √((−a)/(−b)) = √(−a)/√(−b).
473. Найдите значение выражения (если оно имеет смысл): а) √((−12)²); б) −√(10²); в) √(−10²); г) −√((−11)²); д) √(−(−15)²); е) −√((−25)²).
а) √((−12)²) = |−12| = 12.
б) −√(10²) = −10.
в) −10² = −100 < 0, выражение √(−100) не имеет смысла.
г) −√((−11)²) = −|−11| = −11.
д) −(−15)² = −225 < 0, выражение не имеет смысла.
е) −√((−25)²) = −25.
б) −√(10²) = −10.
в) −10² = −100 < 0, выражение √(−100) не имеет смысла.
г) −√((−11)²) = −|−11| = −11.
д) −(−15)² = −225 < 0, выражение не имеет смысла.
е) −√((−25)²) = −25.
474. Вычислите: а) 3√((−2)⁶); б) −2√(10⁴); в) −3√(5⁴); г) 0,1√(2¹⁰); д) 0,1√((−3)⁸); е) 100√(0,1¹⁰); ж) −√((−2)¹²); з) 2,5√((−0,1)⁴).
Используем √(a^(2n)) = |a^n|.
а) 3·|(−2)³| = 3·8 = 24.
б) −2·10² = −200.
в) −3·5² = −75.
г) 0,1·2⁵ = 0,1·32 = 3,2.
д) 0,1·|(−3)⁴| = 0,1·81 = 8,1.
е) 100·0,1⁵ = 100·0,00001 = 0,001.
ж) −|(−2)⁶| = −64.
з) 2,5·|(−0,1)²| = 2,5·0,01 = 0,025.
а) 3·|(−2)³| = 3·8 = 24.
б) −2·10² = −200.
в) −3·5² = −75.
г) 0,1·2⁵ = 0,1·32 = 3,2.
д) 0,1·|(−3)⁴| = 0,1·81 = 8,1.
е) 100·0,1⁵ = 100·0,00001 = 0,001.
ж) −|(−2)⁶| = −64.
з) 2,5·|(−0,1)²| = 2,5·0,01 = 0,025.
475. Найдите значение выражения: а) √(4³); б) √(9⁵); в) √(16⁵); г) √(25³); д) √(8·162); е) √(96·486); ж) √(750·270); з) √(194·776).
а) √(4³) = √64 = 8.
б) √(9⁵) = √(9⁴·9) = 9²·3 = 243.
в) √(16⁵) = √(16⁴·16) = 16²·4 = 1024.
г) √(25³) = √(25²·25) = 25·5 = 125.
д) 8·162 = 1296 = 36², значит, √1296 = 36.
е) 96 = 16·6, 486 = 81·6, поэтому 96·486 = 16·81·36 и √ = 4·9·6 = 216.
ж) 750 = 25·30, 270 = 9·30, поэтому 750·270 = 25·9·900 и √ = 5·3·30 = 450.
з) 776 = 4·194, поэтому 194·776 = 4·194² и √ = 2·194 = 388.
б) √(9⁵) = √(9⁴·9) = 9²·3 = 243.
в) √(16⁵) = √(16⁴·16) = 16²·4 = 1024.
г) √(25³) = √(25²·25) = 25·5 = 125.
д) 8·162 = 1296 = 36², значит, √1296 = 36.
е) 96 = 16·6, 486 = 81·6, поэтому 96·486 = 16·81·36 и √ = 4·9·6 = 216.
ж) 750 = 25·30, 270 = 9·30, поэтому 750·270 = 25·9·900 и √ = 5·3·30 = 450.
з) 776 = 4·194, поэтому 194·776 = 4·194² и √ = 2·194 = 388.
476. При каких значениях x верно равенство √(x²) = (√x)²?
Правая часть (√x)² определена при x ≥ 0 и равна x. Левая часть √(x²) = |x| определена при любом x и при x ≥ 0 равна x. Значит, равенство верно при x ≥ 0 и неверно при x < 0 (правая часть не имеет смысла).
Ответ: при x ≥ 0.
Ответ: при x ≥ 0.
477. При каких значениях переменной верно равенство: а) √(y⁴) = y²; б) √(x¹²) = x⁶; в) √(x⁶) = x³; г) √(c¹⁰) = −c⁵; д) √(a¹⁴) = −a⁷; е) √(b⁸) = b⁴?
Используем √(t²) = |t|.
а) √(y⁴) = |y²| = y² при любом y.
б) √(x¹²) = |x⁶| = x⁶ при любом x.
в) √(x⁶) = |x³|; равенство |x³| = x³ верно при x³ ≥ 0, то есть при x ≥ 0.
г) √(c¹⁰) = |c⁵|; равенство |c⁵| = −c⁵ верно при c⁵ ≤ 0, то есть при c ≤ 0.
д) √(a¹⁴) = |a⁷|; равенство |a⁷| = −a⁷ верно при a ≤ 0.
е) √(b⁸) = |b⁴| = b⁴ при любом b.
Оговорка: показатель в правой части пункта е) напечатан неразборчиво, прочитан как 4. Если там стоит b¹, то из b⁴ = b (b ≥ 0) получаем b = 0 или b = 1.
а) √(y⁴) = |y²| = y² при любом y.
б) √(x¹²) = |x⁶| = x⁶ при любом x.
в) √(x⁶) = |x³|; равенство |x³| = x³ верно при x³ ≥ 0, то есть при x ≥ 0.
г) √(c¹⁰) = |c⁵|; равенство |c⁵| = −c⁵ верно при c⁵ ≤ 0, то есть при c ≤ 0.
д) √(a¹⁴) = |a⁷|; равенство |a⁷| = −a⁷ верно при a ≤ 0.
е) √(b⁸) = |b⁴| = b⁴ при любом b.
Оговорка: показатель в правой части пункта е) напечатан неразборчиво, прочитан как 4. Если там стоит b¹, то из b⁴ = b (b ≥ 0) получаем b = 0 или b = 1.
478. Постройте график функции, заданной формулой: а) y = √(x²)/x; б) y = −2√(x²)/x; в) y = x√(x²); г) y = −x√(x²).
Заменим √(x²) на |x|.
а) y = |x|/x, x ≠ 0. При x > 0 имеем y = x/x = 1; при x < 0 имеем y = −x/x = −1. График — два луча: y = 1 при x > 0 и y = −1 при x < 0; точки с x = 0 выколоты.
б) y = −2|x|/x, x ≠ 0. При x > 0: y = −2; при x < 0: y = 2. Два луча на высотах −2 (справа от оси y) и 2 (слева), точки при x = 0 выколоты.
в) y = x|x|. При x ≥ 0: y = x² (правая ветвь параболы); при x < 0: y = −x² (левая ветвь параболы, перевёрнутая вниз). Точки: (1; 1), (2; 4), (−1; −1), (−2; −4).
г) y = −x|x|. При x ≥ 0: y = −x²; при x < 0: y = x². Точки: (1; −1), (2; −4), (−1; 1), (−2; 4). График получается из графика пункта в) симметрией относительно оси x.
Графики показаны на рисунке.
а) y = |x|/x, x ≠ 0. При x > 0 имеем y = x/x = 1; при x < 0 имеем y = −x/x = −1. График — два луча: y = 1 при x > 0 и y = −1 при x < 0; точки с x = 0 выколоты.
б) y = −2|x|/x, x ≠ 0. При x > 0: y = −2; при x < 0: y = 2. Два луча на высотах −2 (справа от оси y) и 2 (слева), точки при x = 0 выколоты.
в) y = x|x|. При x ≥ 0: y = x² (правая ветвь параболы); при x < 0: y = −x² (левая ветвь параболы, перевёрнутая вниз). Точки: (1; 1), (2; 4), (−1; −1), (−2; −4).
г) y = −x|x|. При x ≥ 0: y = −x²; при x < 0: y = x². Точки: (1; −1), (2; −4), (−1; 1), (−2; 4). График получается из графика пункта в) симметрией относительно оси x.
Графики показаны на рисунке.