Глава II. Дополнительные упражнения к главе II — с. 108
456. Найдите значение выражения: а) 0,3√289; б) −4√0,81; в) √(9/49) − 1; г) 4/√256 − 1/√64; д) 2√0,0121 + √100; е) √144/6 + √2,89.
а) 0,3·17 = 5,1.
б) −4·0,9 = −3,6.
в) 3/7 − 1 = −4/7.
г) 4/16 − 1/8 = 1/4 − 1/8 = 1/8.
д) 2·0,11 + 10 = 10,22.
е) 12/6 + 1,7 = 2 + 1,7 = 3,7.
б) −4·0,9 = −3,6.
в) 3/7 − 1 = −4/7.
г) 4/16 − 1/8 = 1/4 − 1/8 = 1/8.
д) 2·0,11 + 10 = 10,22.
е) 12/6 + 1,7 = 2 + 1,7 = 3,7.
457. Найдите значение выражения: а) √(5x − 10) при x = 2; 2,2; 5,2; 22; б) √(6 − 2y) при y = 1; −1,5; −15; −37,5; в) (3 + √x)/(3 − √x) при x = 0; 1; 16; 0,25; г) √(2a − b) при a = 0, b = 0; при a = 4, b = 7.
а) x = 2: √(10 − 10) = 0; x = 2,2: √(11 − 10) = 1; x = 5,2: √(26 − 10) = √16 = 4; x = 22: √(110 − 10) = 10.
б) y = 1: √(6 − 2) = 2; y = −1,5: √(6 + 3) = 3; y = −15: √(6 + 30) = 6; y = −37,5: √(6 + 75) = 9.
в) x = 0: 3/3 = 1; x = 1: (3 + 1)/(3 − 1) = 2; x = 16: (3 + 4)/(3 − 4) = −7; x = 0,25: (3 + 0,5)/(3 − 0,5) = 3,5/2,5 = 1,4.
г) a = 0, b = 0: √0 = 0; a = 4, b = 7: √(8 − 7) = 1.
б) y = 1: √(6 − 2) = 2; y = −1,5: √(6 + 3) = 3; y = −15: √(6 + 30) = 6; y = −37,5: √(6 + 75) = 9.
в) x = 0: 3/3 = 1; x = 1: (3 + 1)/(3 − 1) = 2; x = 16: (3 + 4)/(3 − 4) = −7; x = 0,25: (3 + 0,5)/(3 − 0,5) = 3,5/2,5 = 1,4.
г) a = 0, b = 0: √0 = 0; a = 4, b = 7: √(8 − 7) = 1.
458. Решите уравнение: а) 5√x = 3; б) 1/√(3x) = 1; в) 1/(4√x) = 2; г) √(x − 5) = 4; д) 1 + √(2x) = 10; е) 3√x − 5 = 4.
а) √x = 3/5 = 0,6; x = 0,36.
б) √(3x) = 1; 3x = 1; x = 1/3.
в) 4√x = 1/2; √x = 1/8; x = 1/64.
г) x − 5 = 16; x = 21.
д) √(2x) = 9; 2x = 81; x = 40,5.
е) 3√x = 9; √x = 3; x = 9.
Во всех случаях найденное значение удовлетворяет условию x ≥ 0 (и подкоренное выражение неотрицательно), поэтому является корнем.
б) √(3x) = 1; 3x = 1; x = 1/3.
в) 4√x = 1/2; √x = 1/8; x = 1/64.
г) x − 5 = 16; x = 21.
д) √(2x) = 9; 2x = 81; x = 40,5.
е) 3√x = 9; √x = 3; x = 9.
Во всех случаях найденное значение удовлетворяет условию x ≥ 0 (и подкоренное выражение неотрицательно), поэтому является корнем.
459. Решите уравнение √(1 + √(2 + √x)) = 2.
Возведём обе части в квадрат: 1 + √(2 + √x) = 4; √(2 + √x) = 3. Снова возведём в квадрат: 2 + √x = 9; √x = 7; x = 49.
Проверка: √49 = 7, √(2 + 7) = 3, √(1 + 3) = 2. Верно.
Ответ: 49.
Проверка: √49 = 7, √(2 + 7) = 3, √(1 + 3) = 2. Верно.
Ответ: 49.
460. Может ли: а) сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом; б) произведение рационального и иррационального чисел быть рациональным числом?
а) Может. Например, √2 и −√2 иррациональны, а их сумма √2 + (−√2) = 0 рациональна. Другой пример: (3 − √5) + (3 + √5) = 6.
б) Может, но только если рациональный множитель равен нулю: 0·√2 = 0. Если рациональное число r ≠ 0 и r·b = q — рациональное, то b = q/r было бы рациональным, а это противоречит условию, поэтому при r ≠ 0 произведение иррационально.
б) Может, но только если рациональный множитель равен нулю: 0·√2 = 0. Если рациональное число r ≠ 0 и r·b = q — рациональное, то b = q/r было бы рациональным, а это противоречит условию, поэтому при r ≠ 0 произведение иррационально.
461. Приведите пример уравнения вида x² = a, которое: а) имеет два рациональных корня; б) имеет два иррациональных корня; в) не имеет корней.
а) x² = 4: корни 2 и −2 (рациональные).
б) x² = 2: корни √2 и −√2 (иррациональные).
в) x² = −1: квадрат числа не может быть отрицательным, корней нет.
б) x² = 2: корни √2 и −√2 (иррациональные).
в) x² = −1: квадрат числа не может быть отрицательным, корней нет.
462. Укажите допустимые значения переменной x в выражении: а) √(x³); б) √(x⁴); в) √(x² + 1); г) √((4 − x)²); д) √(−x²); е) √(−x³).
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
а) x³ ≥ 0 при x ≥ 0.
б) x⁴ ≥ 0 при любом x: допустимы все числа.
в) x² + 1 > 0 при любом x: допустимы все числа.
г) (4 − x)² ≥ 0 при любом x: допустимы все числа.
д) −x² ≥ 0 только при x² = 0, то есть x = 0.
е) −x³ ≥ 0, то есть x³ ≤ 0, при x ≤ 0.
а) x³ ≥ 0 при x ≥ 0.
б) x⁴ ≥ 0 при любом x: допустимы все числа.
в) x² + 1 > 0 при любом x: допустимы все числа.
г) (4 − x)² ≥ 0 при любом x: допустимы все числа.
д) −x² ≥ 0 только при x² = 0, то есть x = 0.
е) −x³ ≥ 0, то есть x³ ≤ 0, при x ≤ 0.
463. При каких значениях a и b имеет смысл выражение: а) √(ab); б) √(−ab); в) √(a²b); г) √(a²b²); д) √(−ab²); е) √(−a²b²)?
Нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным.
а) ab ≥ 0: a и b одного знака (оба неотрицательны или оба неположительны), в частности, одно из них равно нулю.
б) −ab ≥ 0, то есть ab ≤ 0: числа разных знаков или одно из них равно нулю.
в) a²b ≥ 0: при b ≥ 0 (любое a) или при a = 0 (любое b).
г) a²b² ≥ 0 при любых a и b.
д) −ab² ≥ 0, то есть ab² ≤ 0: при a ≤ 0 (любое b) или при b = 0 (любое a).
е) −a²b² ≥ 0 только при a²b² = 0: если a = 0 или b = 0.
а) ab ≥ 0: a и b одного знака (оба неотрицательны или оба неположительны), в частности, одно из них равно нулю.
б) −ab ≥ 0, то есть ab ≤ 0: числа разных знаков или одно из них равно нулю.
в) a²b ≥ 0: при b ≥ 0 (любое a) или при a = 0 (любое b).
г) a²b² ≥ 0 при любых a и b.
д) −ab² ≥ 0, то есть ab² ≤ 0: при a ≤ 0 (любое b) или при b = 0 (любое a).
е) −a²b² ≥ 0 только при a²b² = 0: если a = 0 или b = 0.