Глава II. §6. п.19 Преобразование двойных радикалов — с. 106
439. Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала: а) √(55 + √216); б) √(86 − √5460); в) √(17 + √288); г) √(32 − √1008).
Формула: √(a ± √b) = √((a + √(a² − b))/2) ± √((a − √(a² − b))/2).
а) a = 55, b = 216: a² − b = 3025 − 216 = 2809 = 53². √(55 + √216) = √((55 + 53)/2) + √((55 − 53)/2) = √54 + √1 = 3√6 + 1.
б) a = 86, b = 5460: a² − b = 7396 − 5460 = 1936 = 44². √(86 − √5460) = √((86 + 44)/2) − √((86 − 44)/2) = √65 − √21.
в) a = 17, b = 288: a² − b = 289 − 288 = 1. √(17 + √288) = √((17 + 1)/2) + √((17 − 1)/2) = √9 + √8 = 3 + 2√2.
г) a = 32, b = 1008: a² − b = 1024 − 1008 = 16. √(32 − √1008) = √((32 + 4)/2) − √((32 − 4)/2) = √18 − √14 = 3√2 − √14.
а) a = 55, b = 216: a² − b = 3025 − 216 = 2809 = 53². √(55 + √216) = √((55 + 53)/2) + √((55 − 53)/2) = √54 + √1 = 3√6 + 1.
б) a = 86, b = 5460: a² − b = 7396 − 5460 = 1936 = 44². √(86 − √5460) = √((86 + 44)/2) − √((86 − 44)/2) = √65 − √21.
в) a = 17, b = 288: a² − b = 289 − 288 = 1. √(17 + √288) = √((17 + 1)/2) + √((17 − 1)/2) = √9 + √8 = 3 + 2√2.
г) a = 32, b = 1008: a² − b = 1024 − 1008 = 16. √(32 − √1008) = √((32 + 4)/2) − √((32 − 4)/2) = √18 − √14 = 3√2 − √14.
440. Упростите выражение, вычислив предварительно значение a², если: а) a = √(11 + √85) − √(11 − √85); б) a = √(3 + √5) + √(3 − √5).
а) a² = (11 + √85) + (11 − √85) − 2√((11 + √85)(11 − √85)) = 22 − 2√(121 − 85) = 22 − 2·6 = 10. Так как √(11 + √85) > √(11 − √85), то a > 0, поэтому a = √10.
б) a² = (3 + √5) + (3 − √5) + 2√((3 + √5)(3 − √5)) = 6 + 2√(9 − 5) = 6 + 4 = 10. Число a положительно, значит, a = √10.
Ответ: а) √10; б) √10.
б) a² = (3 + √5) + (3 − √5) + 2√((3 + √5)(3 − √5)) = 6 + 2√(9 − 5) = 6 + 4 = 10. Число a положительно, значит, a = √10.
Ответ: а) √10; б) √10.
441. Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения: а) √(13 + 4√3) − √(13 − 4√3); б) √(19 − 2√34) + √(19 + 2√34)?
Найдём квадрат каждого выражения (оба значения положительны).
а) Пусть t = √(13 + 4√3) − √(13 − 4√3); t > 0. t² = 26 − 2√(169 − 48) = 26 − 2·11 = 4, поэтому t = 2. Число рациональное. (Проверка: 13 ± 4√3 = (2√3 ± 1)².)
б) Пусть s = √(19 − 2√34) + √(19 + 2√34); s > 0. s² = 38 + 2√(361 − 136) = 38 + 2·15 = 68, поэтому s = √68 = 2√17. Так как 17 не является квадратом рационального числа, число иррациональное.
Ответ: а) рациональное (2); б) иррациональное (2√17).
а) Пусть t = √(13 + 4√3) − √(13 − 4√3); t > 0. t² = 26 − 2√(169 − 48) = 26 − 2·11 = 4, поэтому t = 2. Число рациональное. (Проверка: 13 ± 4√3 = (2√3 ± 1)².)
б) Пусть s = √(19 − 2√34) + √(19 + 2√34); s > 0. s² = 38 + 2√(361 − 136) = 38 + 2·15 = 68, поэтому s = √68 = 2√17. Так как 17 не является квадратом рационального числа, число иррациональное.
Ответ: а) рациональное (2); б) иррациональное (2√17).
442. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) √(4 − √11)/√(4 + √11); б) √(√5 + √3)/√(√5 − √3); в) √(√5 − 2)/√(√5 + 2).
Умножаем числитель и знаменатель на корень из числителя.
а) √(4 − √11)·√(4 − √11)/(√(4 + √11)·√(4 − √11)) = (4 − √11)/√(16 − 11) = (4 − √11)/√5 = (4 − √11)√5/5 = (4√5 − √55)/5.
б) (√5 + √3)/√((√5 − √3)(√5 + √3)) = (√5 + √3)/√2 = √2(√5 + √3)/2.
в) (√5 − 2)/√((√5 + 2)(√5 − 2)) = (√5 − 2)/√(5 − 4) = √5 − 2.
а) √(4 − √11)·√(4 − √11)/(√(4 + √11)·√(4 − √11)) = (4 − √11)/√(16 − 11) = (4 − √11)/√5 = (4 − √11)√5/5 = (4√5 − √55)/5.
б) (√5 + √3)/√((√5 − √3)(√5 + √3)) = (√5 + √3)/√2 = √2(√5 + √3)/2.
в) (√5 − 2)/√((√5 + 2)(√5 − 2)) = (√5 − 2)/√(5 − 4) = √5 − 2.
443. Найдите значение выражения √(2 + √3) · √(2 + √(2 + √3)) · √(2 − √(2 + √3)).
Объединим два последних множителя: √(2 + √(2 + √3))·√(2 − √(2 + √3)) = √(4 − (2 + √3)) = √(2 − √3).
Тогда всё выражение равно √(2 + √3)·√(2 − √3) = √(4 − 3) = 1.
Ответ: 1.
Тогда всё выражение равно √(2 + √3)·√(2 − √3) = √(4 − 3) = 1.
Ответ: 1.
444. Докажите, что верно равенство: а) √(10 + √24 + √40 + √60) = √2 + √3 + √5; б) √(9 + √12 − √20 − √60) = 1 + √3 − √5.
Правые части положительны, поэтому достаточно возвести их в квадрат.
а) (√2 + √3 + √5)² = 2 + 3 + 5 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = 10 + √24 + √40 + √60. Значит, √(10 + √24 + √40 + √60) = √2 + √3 + √5.
б) Число 1 + √3 − √5 положительно: (1 + √3)² = 4 + 2√3 > 5, значит, 1 + √3 > √5. (1 + √3 − √5)² = 1 + 3 + 5 + 2√3 − 2√5 − 2√15 = 9 + √12 − √20 − √60. Значит, √(9 + √12 − √20 − √60) = 1 + √3 − √5. Равенства доказаны.
а) (√2 + √3 + √5)² = 2 + 3 + 5 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = 10 + √24 + √40 + √60. Значит, √(10 + √24 + √40 + √60) = √2 + √3 + √5.
б) Число 1 + √3 − √5 положительно: (1 + √3)² = 4 + 2√3 > 5, значит, 1 + √3 > √5. (1 + √3 − √5)² = 1 + 3 + 5 + 2√3 − 2√5 − 2√15 = 9 + √12 − √20 − √60. Значит, √(9 + √12 − √20 − √60) = 1 + √3 − √5. Равенства доказаны.
445. Упростите выражение: а) √((b + 1)/2 − √b) − √((b + 1)/2 + √b), где b ≥ 1; б) √((c + 4)/4 + √c) − √((c + 4)/4 − √c), где c ≥ 4.
а) (b + 1)/2 − √b = (b − 2√b + 1)/2 = (√b − 1)²/2, (b + 1)/2 + √b = (√b + 1)²/2. При b ≥ 1 имеем √b − 1 ≥ 0, поэтому выражение равно (√b − 1)/√2 − (√b + 1)/√2 = −2/√2 = −√2.
б) (c + 4)/4 + √c = (c + 4√c + 4)/4 = (√c + 2)²/4, (c + 4)/4 − √c = (√c − 2)²/4. При c ≥ 4 имеем √c − 2 ≥ 0, поэтому выражение равно (√c + 2)/2 − (√c − 2)/2 = 4/2 = 2.
Ответ: а) −√2; б) 2.
б) (c + 4)/4 + √c = (c + 4√c + 4)/4 = (√c + 2)²/4, (c + 4)/4 − √c = (√c − 2)²/4. При c ≥ 4 имеем √c − 2 ≥ 0, поэтому выражение равно (√c + 2)/2 − (√c − 2)/2 = 4/2 = 2.
Ответ: а) −√2; б) 2.
446. Освободитесь от внешнего радикала в выражении: а) √(a + 2√(a − 1)), если a ≥ 1; б) √(a + b + 1 + 2√(a + b)) − √(a + b + 1 − 2√(a + b)), если a + b ≥ 1.
а) Представим a = (a − 1) + 1: a + 2√(a − 1) = (a − 1) + 2√(a − 1) + 1 = (√(a − 1) + 1)². Значит, выражение равно √(a − 1) + 1.
б) Пусть t = √(a + b), t ≥ 1. Тогда a + b + 1 + 2√(a + b) = t² + 2t + 1 = (t + 1)², а a + b + 1 − 2√(a + b) = (t − 1)². Выражение равно |t + 1| − |t − 1| = (t + 1) − (t − 1) = 2.
Ответ: а) √(a − 1) + 1; б) 2.
б) Пусть t = √(a + b), t ≥ 1. Тогда a + b + 1 + 2√(a + b) = t² + 2t + 1 = (t + 1)², а a + b + 1 − 2√(a + b) = (t − 1)². Выражение равно |t + 1| − |t − 1| = (t + 1) − (t − 1) = 2.
Ответ: а) √(a − 1) + 1; б) 2.