Глава II. Дополнительные упражнения к главе II — с. 113
495. Сократите дробь: а) (x√x − y√y)/(√x − √y); б) (2√2 − x√x)/(2 + √(2x) + x).
Используем формулу разности кубов a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
а) x√x = (√x)³, y√y = (√y)³. Числитель: (√x)³ − (√y)³ = (√x − √y)(x + √(xy) + y). Сокращаем на √x − √y (√x ≠ √y):
(x√x − y√y)/(√x − √y) = x + √(xy) + y.
б) 2√2 = (√2)³, x√x = (√x)³. Числитель: (√2)³ − (√x)³ = (√2 − √x)(2 + √(2x) + x). Сокращаем на 2 + √(2x) + x (оно положительно):
(2√2 − x√x)/(2 + √(2x) + x) = √2 − √x.
Ответ: а) x + √(xy) + y; б) √2 − √x.
а) x√x = (√x)³, y√y = (√y)³. Числитель: (√x)³ − (√y)³ = (√x − √y)(x + √(xy) + y). Сокращаем на √x − √y (√x ≠ √y):
(x√x − y√y)/(√x − √y) = x + √(xy) + y.
б) 2√2 = (√2)³, x√x = (√x)³. Числитель: (√2)³ − (√x)³ = (√2 − √x)(2 + √(2x) + x). Сокращаем на 2 + √(2x) + x (оно положительно):
(2√2 − x√x)/(2 + √(2x) + x) = √2 − √x.
Ответ: а) x + √(xy) + y; б) √2 − √x.
496. Сократите дробь: а) (√a + √b)/(a√a + b√b); б) (a − √(3a) + 3)/(a√a + 3√3).
Знаменатели раскладываем по формуле суммы кубов a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
а) a√a + b√b = (√a)³ + (√b)³ = (√a + √b)(a − √(ab) + b). Тогда
(√a + √b)/((√a + √b)(a − √(ab) + b)) = 1/(a − √(ab) + b).
б) a√a + 3√3 = (√a)³ + (√3)³ = (√a + √3)(a − √(3a) + 3). Тогда
(a − √(3a) + 3)/((√a + √3)(a − √(3a) + 3)) = 1/(√a + √3).
Ответ: а) 1/(a − √(ab) + b); б) 1/(√a + √3).
а) a√a + b√b = (√a)³ + (√b)³ = (√a + √b)(a − √(ab) + b). Тогда
(√a + √b)/((√a + √b)(a − √(ab) + b)) = 1/(a − √(ab) + b).
б) a√a + 3√3 = (√a)³ + (√3)³ = (√a + √3)(a − √(3a) + 3). Тогда
(a − √(3a) + 3)/((√a + √3)(a − √(3a) + 3)) = 1/(√a + √3).
Ответ: а) 1/(a − √(ab) + b); б) 1/(√a + √3).
497. Сократите дробь: а) (√70 − √30)/(√35 − √15); б) (√15 − 5)/(√6 − √10); в) (9 − 2√3)/(3√6 − 2√2); г) (2√3 + 3√2 − √6)/(2 + √6 − √2).
Выделяем в числителе и знаменателе общий множитель.
а) √70 = √2·√35, √30 = √2·√15. Числитель: √2(√35 − √15). Дробь равна √2.
б) √15 − 5 = √5(√3 − √5), √6 − √10 = √2(√3 − √5). Дробь равна √5/√2.
в) 9 − 2√3 = √3(3√3 − 2), 3√6 − 2√2 = √2(3√3 − 2). Дробь равна √3/√2 = √6/2.
г) √3·(2 + √6 − √2) = 2√3 + √18 − √6 = 2√3 + 3√2 − √6, то есть числитель равен √3·(знаменатель). Дробь равна √3.
Ответ: а) √2; б) √5/√2; в) √3/√2; г) √3.
а) √70 = √2·√35, √30 = √2·√15. Числитель: √2(√35 − √15). Дробь равна √2.
б) √15 − 5 = √5(√3 − √5), √6 − √10 = √2(√3 − √5). Дробь равна √5/√2.
в) 9 − 2√3 = √3(3√3 − 2), 3√6 − 2√2 = √2(3√3 − 2). Дробь равна √3/√2 = √6/2.
г) √3·(2 + √6 − √2) = 2√3 + √18 − √6 = 2√3 + 3√2 − √6, то есть числитель равен √3·(знаменатель). Дробь равна √3.
Ответ: а) √2; б) √5/√2; в) √3/√2; г) √3.
498. Сократите дробь: а) (2√10 − 5)/(4 − √10); б) ((√10 − 1)² − 3)/(√10 + √3 − 1).
а) 2√10 − 5 = √5·(2√2 − √5), так как √5·2√2 = 2√10. 4 − √10 = √2·(2√2 − √5), так как √2·2√2 = 4 и √2·√5 = √10. Сокращаем на 2√2 − √5:
(2√10 − 5)/(4 − √10) = √5/√2 = √10/2.
б) Числитель — разность квадратов: (√10 − 1)² − (√3)² = (√10 − 1 − √3)(√10 − 1 + √3). Знаменатель √10 + √3 − 1 = √10 − 1 + √3. Сокращаем:
дробь равна √10 − √3 − 1.
Ответ: а) √5/√2; б) √10 − √3 − 1.
(2√10 − 5)/(4 − √10) = √5/√2 = √10/2.
б) Числитель — разность квадратов: (√10 − 1)² − (√3)² = (√10 − 1 − √3)(√10 − 1 + √3). Знаменатель √10 + √3 − 1 = √10 − 1 + √3. Сокращаем:
дробь равна √10 − √3 − 1.
Ответ: а) √5/√2; б) √10 − √3 − 1.
499. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) (1 + √a)/√a; б) (x − √(ax))/(a√x); в) (2√3 − 3)/(5√3).
Умножаем числитель и знаменатель на корень из знаменателя.
а) (1 + √a)·√a/(√a·√a) = (√a + a)/a.
б) Умножаем на √x: (x − √(ax))·√x/(a√x·√x) = (x√x − x√a)/(ax) = x(√x − √a)/(ax) = (√x − √a)/a.
в) Умножаем на √3: (2√3 − 3)·√3/(5·3) = (6 − 3√3)/15 = (2 − √3)/5.
Ответ: а) (a + √a)/a; б) (√x − √a)/a; в) (2 − √3)/5.
а) (1 + √a)·√a/(√a·√a) = (√a + a)/a.
б) Умножаем на √x: (x − √(ax))·√x/(a√x·√x) = (x√x − x√a)/(ax) = x(√x − √a)/(ax) = (√x − √a)/a.
в) Умножаем на √3: (2√3 − 3)·√3/(5·3) = (6 − 3√3)/15 = (2 − √3)/5.
Ответ: а) (a + √a)/a; б) (√x − √a)/a; в) (2 − √3)/5.
500. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) (y + b√y)/(b√y); б) (a√b + b√a)/√(ab); в) (2 − 3√2)/(4√2).
а) Умножаем на √y: (y + b√y)√y/(b·y) = (y√y + by)/(by) = y(√y + b)/(by) = (√y + b)/b.
б) Умножаем на √(ab): (a√b + b√a)√(ab)/(ab) = (a√b·√a·√b + b√a·√a·√b)/(ab) = (ab√a + ab√b)/(ab) = √a + √b.
в) Умножаем на √2: (2 − 3√2)√2/(4·2) = (2√2 − 6)/8 = (√2 − 3)/4.
Ответ: а) (√y + b)/b; б) √a + √b; в) (√2 − 3)/4.
б) Умножаем на √(ab): (a√b + b√a)√(ab)/(ab) = (a√b·√a·√b + b√a·√a·√b)/(ab) = (ab√a + ab√b)/(ab) = √a + √b.
в) Умножаем на √2: (2 − 3√2)√2/(4·2) = (2√2 − 6)/8 = (√2 − 3)/4.
Ответ: а) (√y + b)/b; б) √a + √b; в) (√2 − 3)/4.
501. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) (x − √(xy) + y)/(√x − √y); б) (9 + 3√a + a)/(3 + √a); в) (1 − 2√x + 4x)/(1 − 2√x); г) (a²b + 2a√b − 4)/(a√b + 2).
Умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое знаменателю.
а) Умножаем на √x + √y: числитель (x − √(xy) + y)(√x + √y) = x√x + y√y, знаменатель x − y. Получаем (x√x + y√y)/(x − y).
б) Умножаем на 3 − √a: числитель (9 + 3√a + a)(3 − √a) = 27 − a√a, знаменатель 9 − a. Получаем (27 − a√a)/(9 − a).
в) Умножаем на 1 + 2√x: числитель (1 − 2√x + 4x)(1 + 2√x) = 1 + 8x√x, знаменатель 1 − 4x. Получаем (1 + 8x√x)/(1 − 4x).
г) Умножаем на a√b − 2: знаменатель (a√b + 2)(a√b − 2) = a²b − 4. Числитель (a²b + 2a√b − 4)(a√b − 2) = a³b√b − 2a²b + 2a²b − 4a√b − 4a√b + 8 = a³b√b − 8a√b + 8. Получаем (a³b√b − 8a√b + 8)/(a²b − 4).
Ответ: а) (x√x + y√y)/(x − y); б) (27 − a√a)/(9 − a); в) (1 + 8x√x)/(1 − 4x); г) (a³b√b − 8a√b + 8)/(a²b − 4).
Оговорка: в пункте г) в ответах учебника (a³b√b − 8)/(a²b − 4); такой результат получается, если числитель имеет вид a²b + 2a√b + 4. Выше решено условие так, как оно напечатано.
а) Умножаем на √x + √y: числитель (x − √(xy) + y)(√x + √y) = x√x + y√y, знаменатель x − y. Получаем (x√x + y√y)/(x − y).
б) Умножаем на 3 − √a: числитель (9 + 3√a + a)(3 − √a) = 27 − a√a, знаменатель 9 − a. Получаем (27 − a√a)/(9 − a).
в) Умножаем на 1 + 2√x: числитель (1 − 2√x + 4x)(1 + 2√x) = 1 + 8x√x, знаменатель 1 − 4x. Получаем (1 + 8x√x)/(1 − 4x).
г) Умножаем на a√b − 2: знаменатель (a√b + 2)(a√b − 2) = a²b − 4. Числитель (a²b + 2a√b − 4)(a√b − 2) = a³b√b − 2a²b + 2a²b − 4a√b − 4a√b + 8 = a³b√b − 8a√b + 8. Получаем (a³b√b − 8a√b + 8)/(a²b − 4).
Ответ: а) (x√x + y√y)/(x − y); б) (27 − a√a)/(9 − a); в) (1 + 8x√x)/(1 − 4x); г) (a³b√b − 8a√b + 8)/(a²b − 4).
Оговорка: в пункте г) в ответах учебника (a³b√b − 8)/(a²b − 4); такой результат получается, если числитель имеет вид a²b + 2a√b + 4. Выше решено условие так, как оно напечатано.
502. Освободитесь от иррациональности в числителе дроби: а) (√x − √y)/√x; б) (a + √b)/(a√b); в) (7 − √a)/(49 − 7√a + a); г) (√(mn) + 1)/(mn − √(mn) + 1).
Умножаем числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю.
а) Умножаем на √x + √y: числитель x − y, знаменатель √x(√x + √y) = x + √(xy). Получаем (x − y)/(x + √(xy)).
б) Умножаем на a − √b: числитель a² − b, знаменатель a√b(a − √b) = a²√b − ab. Получаем (a² − b)/(a²√b − ab).
в) Умножаем на 7 + √a: числитель 49 − a, знаменатель (49 − 7√a + a)(7 + √a) = 343 + a√a. Получаем (49 − a)/(343 + a√a).
г) Умножаем на √(mn) − 1: числитель mn − 1, знаменатель (mn − √(mn) + 1)(√(mn) − 1) = mn√(mn) − 2mn + 2√(mn) − 1. Получаем (mn − 1)/(mn√(mn) − 2mn + 2√(mn) − 1).
Ответ: а) (x − y)/(x + √(xy)); б) (a² − b)/(a²√b − ab); в) (49 − a)/(343 + a√a); г) (mn − 1)/(mn√(mn) − 2mn + 2√(mn) − 1).
Оговорка: в пункте г) в ответах учебника (mn − 1)/(mn√(mn) − 1); он получается, если знаменатель равен mn + √(mn) + 1. Выше решено условие так, как оно напечатано.
а) Умножаем на √x + √y: числитель x − y, знаменатель √x(√x + √y) = x + √(xy). Получаем (x − y)/(x + √(xy)).
б) Умножаем на a − √b: числитель a² − b, знаменатель a√b(a − √b) = a²√b − ab. Получаем (a² − b)/(a²√b − ab).
в) Умножаем на 7 + √a: числитель 49 − a, знаменатель (49 − 7√a + a)(7 + √a) = 343 + a√a. Получаем (49 − a)/(343 + a√a).
г) Умножаем на √(mn) − 1: числитель mn − 1, знаменатель (mn − √(mn) + 1)(√(mn) − 1) = mn√(mn) − 2mn + 2√(mn) − 1. Получаем (mn − 1)/(mn√(mn) − 2mn + 2√(mn) − 1).
Ответ: а) (x − y)/(x + √(xy)); б) (a² − b)/(a²√b − ab); в) (49 − a)/(343 + a√a); г) (mn − 1)/(mn√(mn) − 2mn + 2√(mn) − 1).
Оговорка: в пункте г) в ответах учебника (mn − 1)/(mn√(mn) − 1); он получается, если знаменатель равен mn + √(mn) + 1. Выше решено условие так, как оно напечатано.