Глава III. § 7. п. 20 Неполные квадратные уравнения — с. 118
510. Является ли квадратным уравнение: а) 3,7x² − 5x + 1 = 0; б) 48x² − x³ − 9 = 0; в) 2,1x² + 2x − 2/3 = 0; г) x + x² − 1 = 0; д) 7x² − 13 = 0; е) −x² = 0?
Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, и не содержит степеней выше второй.
а) Да (a = 3,7; b = −5; c = 1).
б) Нет: в уравнении есть x³, это уравнение третьей степени.
в) Да (a = 2,1; b = 2; c = −2/3).
г) Да: после перестановки x² + x − 1 = 0 (a = 1; b = 1; c = −1).
д) Да (a = 7; b = 0; c = −13).
е) Да (a = −1; b = 0; c = 0).
Ответ: а), в), г), д), е) — квадратные; б) — нет.
а) Да (a = 3,7; b = −5; c = 1).
б) Нет: в уравнении есть x³, это уравнение третьей степени.
в) Да (a = 2,1; b = 2; c = −2/3).
г) Да: после перестановки x² + x − 1 = 0 (a = 1; b = 1; c = −1).
д) Да (a = 7; b = 0; c = −13).
е) Да (a = −1; b = 0; c = 0).
Ответ: а), в), г), д), е) — квадратные; б) — нет.
511. Выпишите коэффициенты квадратного уравнения: а) 5x² − 9x + 4 = 0; б) x² + 3x − 10 = 0; в) −x² − 8x + 1 = 0; г) x² + 5x = 0; д) 6x² − 30 = 0; е) 9x² = 0. Какие из данных уравнений являются приведёнными квадратными уравнениями?
Записываем уравнение в виде ax² + bx + c = 0; если члена нет, коэффициент равен 0.
а) a = 5, b = −9, c = 4.
б) a = 1, b = 3, c = −10.
в) a = −1, b = −8, c = 1.
г) a = 1, b = 5, c = 0.
д) a = 6, b = 0, c = −30.
е) a = 9, b = 0, c = 0.
Приведённым называют квадратное уравнение с коэффициентом a = 1. Таковы уравнения б) и г).
Ответ: приведённые — б) и г).
а) a = 5, b = −9, c = 4.
б) a = 1, b = 3, c = −10.
в) a = −1, b = −8, c = 1.
г) a = 1, b = 5, c = 0.
д) a = 6, b = 0, c = −30.
е) a = 9, b = 0, c = 0.
Приведённым называют квадратное уравнение с коэффициентом a = 1. Таковы уравнения б) и г).
Ответ: приведённые — б) и г).
512. Приведите примеры неполных квадратных уравнений различных видов.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов.
1) ax² + c = 0 (c ≠ 0): например, 3x² − 12 = 0, x² + 5 = 0.
2) ax² + bx = 0 (b ≠ 0): например, 2x² + 7x = 0, x² − 4x = 0.
3) ax² = 0: например, 5x² = 0, −x² = 0.
Ответ: примеры приведены выше.
1) ax² + c = 0 (c ≠ 0): например, 3x² − 12 = 0, x² + 5 = 0.
2) ax² + bx = 0 (b ≠ 0): например, 2x² + 7x = 0, x² − 4x = 0.
3) ax² = 0: например, 5x² = 0, −x² = 0.
Ответ: примеры приведены выше.
513. Найдите корни уравнения: а) 4x² − 9 = 0; б) −x² + 3 = 0; в) −0,1x² + 10 = 0; г) y² − 1/9 = 0; д) 6v² + 24 = 0; е) 3m² − 1 = 0.
а) 4x² = 9, x² = 9/4, x = ±3/2 = ±1,5.
б) x² = 3, x = ±√3.
в) 0,1x² = 10, x² = 100, x = ±10.
г) y² = 1/9, y = ±1/3.
д) 6v² = −24, v² = −4. Квадрат числа не может быть отрицательным, корней нет.
е) 3m² = 1, m² = 1/3, m = ±1/√3 = ±√3/3.
Ответ: а) ±1,5; б) ±√3; в) ±10; г) ±1/3; д) корней нет; е) ±√3/3.
б) x² = 3, x = ±√3.
в) 0,1x² = 10, x² = 100, x = ±10.
г) y² = 1/9, y = ±1/3.
д) 6v² = −24, v² = −4. Квадрат числа не может быть отрицательным, корней нет.
е) 3m² = 1, m² = 1/3, m = ±1/√3 = ±√3/3.
Ответ: а) ±1,5; б) ±√3; в) ±10; г) ±1/3; д) корней нет; е) ±√3/3.
514. Решите уравнение и укажите приближённые значения корней с точностью до 0,1 (воспользуйтесь калькулятором): а) 2x² − 17 = 0; б) 3t² − 7,2 = 0; в) −p² + 12,6 = 0.
а) 2x² = 17, x² = 8,5, x = ±√8,5. Так как √8,5 ≈ 2,9155, то x ≈ ±2,9.
б) 3t² = 7,2, t² = 2,4, t = ±√2,4. Так как √2,4 ≈ 1,5492, то t ≈ ±1,5.
в) p² = 12,6, p = ±√12,6. Так как √12,6 ≈ 3,5496, то p ≈ ±3,5.
Ответ: а) ±√8,5 ≈ ±2,9; б) ±√2,4 ≈ ±1,5; в) ±√12,6 ≈ ±3,5.
б) 3t² = 7,2, t² = 2,4, t = ±√2,4. Так как √2,4 ≈ 1,5492, то t ≈ ±1,5.
в) p² = 12,6, p = ±√12,6. Так как √12,6 ≈ 3,5496, то p ≈ ±3,5.
Ответ: а) ±√8,5 ≈ ±2,9; б) ±√2,4 ≈ ±1,5; в) ±√12,6 ≈ ±3,5.
515. Решите уравнение: а) 3x² − 4x = 0; б) −5x² + 6x = 0; в) 10x² + 7x = 0; г) 4a² − 3a = 0; д) 6z² − z = 0; е) 2y + y² = 0.
Выносим общий множитель за скобки; произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.
а) x(3x − 4) = 0; x = 0 или x = 4/3.
б) x(−5x + 6) = 0; x = 0 или x = 6/5 = 1,2.
в) x(10x + 7) = 0; x = 0 или x = −0,7.
г) a(4a − 3) = 0; a = 0 или a = 3/4 = 0,75.
д) z(6z − 1) = 0; z = 0 или z = 1/6.
е) y(2 + y) = 0; y = 0 или y = −2.
Ответ: а) 0; 4/3; б) 0; 1,2; в) 0; −0,7; г) 0; 0,75; д) 0; 1/6; е) 0; −2.
а) x(3x − 4) = 0; x = 0 или x = 4/3.
б) x(−5x + 6) = 0; x = 0 или x = 6/5 = 1,2.
в) x(10x + 7) = 0; x = 0 или x = −0,7.
г) a(4a − 3) = 0; a = 0 или a = 3/4 = 0,75.
д) z(6z − 1) = 0; z = 0 или z = 1/6.
е) y(2 + y) = 0; y = 0 или y = −2.
Ответ: а) 0; 4/3; б) 0; 1,2; в) 0; −0,7; г) 0; 0,75; д) 0; 1/6; е) 0; −2.