Глава II. Дополнительные упражнения к главе II — с. 114
503. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) 1/(√2 + √3 + 1); б) 1/(√5 − √3 + 2).
а) Запишем знаменатель как (√2 + 1) + √3 и умножим на (√2 + 1) − √3: знаменатель (√2 + 1)² − 3 = 3 + 2√2 − 3 = 2√2. Числитель √2 + 1 − √3. Далее умножаем на √2: (√2 + 1 − √3)·√2/(2·2) = (2 + √2 − √6)/4.
б) Знаменатель (√5 + 2) − √3. Умножаем на (√5 + 2) + √3: знаменатель (√5 + 2)² − 3 = 6 + 4√5, числитель √5 + 2 + √3. Умножаем на 6 − 4√5: знаменатель 36 − 80 = −44. Числитель (√5 + 2 + √3)(6 − 4√5) = 6√5 − 20 + 12 − 8√5 + 6√3 − 4√15 = −2√5 − 8 + 6√3 − 4√15. Делим на −44:
(2√5 + 8 − 6√3 + 4√15)/44 = (√5 + 4 − 3√3 + 2√15)/22.
Ответ: а) (2 + √2 − √6)/4; б) (√5 − 3√3 + 2√15 + 4)/22.
б) Знаменатель (√5 + 2) − √3. Умножаем на (√5 + 2) + √3: знаменатель (√5 + 2)² − 3 = 6 + 4√5, числитель √5 + 2 + √3. Умножаем на 6 − 4√5: знаменатель 36 − 80 = −44. Числитель (√5 + 2 + √3)(6 − 4√5) = 6√5 − 20 + 12 − 8√5 + 6√3 − 4√15 = −2√5 − 8 + 6√3 − 4√15. Делим на −44:
(2√5 + 8 − 6√3 + 4√15)/44 = (√5 + 4 − 3√3 + 2√15)/22.
Ответ: а) (2 + √2 − √6)/4; б) (√5 − 3√3 + 2√15 + 4)/22.
504. При каком значении x дробь (√x − √2)/(x − 2) принимает наибольшее значение?
Область допустимых значений: x ≥ 0, x ≠ 2. Так как x − 2 = (√x − √2)(√x + √2), то при x ≠ 2 дробь равна 1/(√x + √2).
Эта дробь тем больше, чем меньше положительный знаменатель √x + √2. Наименьшее значение знаменателя достигается при x = 0 и равно √2. Тогда наибольшее значение дроби равно 1/√2.
Ответ: при x = 0.
Эта дробь тем больше, чем меньше положительный знаменатель √x + √2. Наименьшее значение знаменателя достигается при x = 0 и равно √2. Тогда наибольшее значение дроби равно 1/√2.
Ответ: при x = 0.
505. Упростите выражение: а) 15√(2/5) − √160; б) √135 + 10√0,6; в) 6√(1 1/3) − √27; г) 0,5√24 + 10√(3/8).
а) 15√(2/5) = 15·√10/5 = 3√10; √160 = 4√10. Разность: 3√10 − 4√10 = −√10.
б) √135 = 3√15; 10√0,6 = 10√(6/10) = 10·√60/10 = √60 = 2√15. Сумма: 3√15 + 2√15 = 5√15.
в) 1 1/3 = 4/3, 6√(4/3) = 6·2/√3 = 12/√3 = 4√3; √27 = 3√3. Разность: 4√3 − 3√3 = √3.
г) 0,5√24 = 0,5·2√6 = √6; 10√(3/8) = 10√6/4 = 2,5√6. Сумма: √6 + 2,5√6 = 3,5√6.
Ответ: а) −√10; б) 5√15; в) √3; г) 3,5√6.
б) √135 = 3√15; 10√0,6 = 10√(6/10) = 10·√60/10 = √60 = 2√15. Сумма: 3√15 + 2√15 = 5√15.
в) 1 1/3 = 4/3, 6√(4/3) = 6·2/√3 = 12/√3 = 4√3; √27 = 3√3. Разность: 4√3 − 3√3 = √3.
г) 0,5√24 = 0,5·2√6 = √6; 10√(3/8) = 10√6/4 = 2,5√6. Сумма: √6 + 2,5√6 = 3,5√6.
Ответ: а) −√10; б) 5√15; в) √3; г) 3,5√6.
506. Упростите выражение: а) (1/(x + x√y) + 1/(x − x√y))·(y − 1)/2; б) (√a/(√a − √b) − √a/(√a + √b))·(b − a)²/2.
а) 1/(x(1 + √y)) + 1/(x(1 − √y)) = ((1 − √y) + (1 + √y))/(x(1 − y)) = 2/(x(1 − y)). Умножаем на (y − 1)/2:
2(y − 1)/(2x(1 − y)) = −1/x.
б) √a/(√a − √b) − √a/(√a + √b) = √a((√a + √b) − (√a − √b))/(a − b) = 2√(ab)/(a − b). Умножаем на (b − a)²/2 = (a − b)²/2:
2√(ab)(a − b)²/(2(a − b)) = √(ab)(a − b).
Ответ: а) −1/x; б) √(ab)(a − b).
2(y − 1)/(2x(1 − y)) = −1/x.
б) √a/(√a − √b) − √a/(√a + √b) = √a((√a + √b) − (√a − √b))/(a − b) = 2√(ab)/(a − b). Умножаем на (b − a)²/2 = (a − b)²/2:
2√(ab)(a − b)²/(2(a − b)) = √(ab)(a − b).
Ответ: а) −1/x; б) √(ab)(a − b).
507. Докажите, что значение выражения √(b + 49 − 14√b) + √(b + 49 + 14√b) при 0 ≤ b ≤ 49 не зависит от b.
Подкоренные выражения — полные квадраты: b + 49 − 14√b = (√b − 7)², b + 49 + 14√b = (√b + 7)².
Тогда выражение равно |√b − 7| + |√b + 7|. При 0 ≤ b ≤ 49 имеем 0 ≤ √b ≤ 7, поэтому |√b − 7| = 7 − √b, |√b + 7| = √b + 7.
Сумма: (7 − √b) + (√b + 7) = 14. Значение равно 14 при любом b из промежутка, то есть от b не зависит. Что и требовалось доказать.
Тогда выражение равно |√b − 7| + |√b + 7|. При 0 ≤ b ≤ 49 имеем 0 ≤ √b ≤ 7, поэтому |√b − 7| = 7 − √b, |√b + 7| = √b + 7.
Сумма: (7 − √b) + (√b + 7) = 14. Значение равно 14 при любом b из промежутка, то есть от b не зависит. Что и требовалось доказать.
508. Постройте графики функций: y = √x; y = √x − 3; y = √x + 3; y = √(x − 3); y = √(x + 3).
Все графики получаются из графика y = √x (ветвь параболы с вершиной в начале координат, проходящая через точки (1; 1), (4; 2), (9; 3)) сдвигом.
y = √x − 3: сдвиг на 3 единицы вниз; начало в точке (0; −3), точки (1; −2), (4; −1), (9; 0).
y = √x + 3: сдвиг на 3 единицы вверх; начало в точке (0; 3), точки (1; 4), (4; 5).
y = √(x − 3): сдвиг на 3 единицы вправо; начало в точке (3; 0), точки (4; 1), (7; 2).
y = √(x + 3): сдвиг на 3 единицы влево; начало в точке (−3; 0), точки (−2; 1), (1; 2), (6; 3).
Графики показаны на рисунке.
y = √x − 3: сдвиг на 3 единицы вниз; начало в точке (0; −3), точки (1; −2), (4; −1), (9; 0).
y = √x + 3: сдвиг на 3 единицы вверх; начало в точке (0; 3), точки (1; 4), (4; 5).
y = √(x − 3): сдвиг на 3 единицы вправо; начало в точке (3; 0), точки (4; 1), (7; 2).
y = √(x + 3): сдвиг на 3 единицы влево; начало в точке (−3; 0), точки (−2; 1), (1; 2), (6; 3).
Графики показаны на рисунке.
509. Постройте график функции y = (x − 4)/(√x + 2).
Область определения: x ≥ 0 (знаменатель √x + 2 ≥ 2 никогда не равен нулю).
Разложим числитель как разность квадратов: x − 4 = (√x − 2)(√x + 2). Тогда при x ≥ 0
y = (√x − 2)(√x + 2)/(√x + 2) = √x − 2.
График — график y = √x, сдвинутый на 2 единицы вниз. Точки: (0; −2), (1; −1), (4; 0), (9; 1). Точка (4; 0) — пересечение с осью x, точка (0; −2) — с осью y. График показан на рисунке.
Разложим числитель как разность квадратов: x − 4 = (√x − 2)(√x + 2). Тогда при x ≥ 0
y = (√x − 2)(√x + 2)/(√x + 2) = √x − 2.
График — график y = √x, сдвинутый на 2 единицы вниз. Точки: (0; −2), (1; −1), (4; 0), (9; 1). Точка (4; 0) — пересечение с осью x, точка (0; −2) — с осью y. График показан на рисунке.