Глава II. §6. п.18 Преобразование выражений, содержащих квадратные корни — с. 102
427. Докажите, что значение выражения: а) 1/(3√3 − 4) − 1/(3√3 + 4) есть число рациональное; б) 1/(5 − 2√6) − 1/(5 + 2√6) есть число иррациональное.
а) Приводим к общему знаменателю: 1/(3√3 − 4) − 1/(3√3 + 4) = ((3√3 + 4) − (3√3 − 4))/((3√3 − 4)(3√3 + 4)) = 8/(27 − 16) = 8/11. Это рациональное число.
б) 1/(5 − 2√6) − 1/(5 + 2√6) = ((5 + 2√6) − (5 − 2√6))/(25 − 24) = 4√6/1 = 4√6. Число √6 иррационально (6 не является квадратом рационального числа), значит, и 4√6 иррационально, так как иначе √6 = (4√6)/4 было бы рациональным.
б) 1/(5 − 2√6) − 1/(5 + 2√6) = ((5 + 2√6) − (5 − 2√6))/(25 − 24) = 4√6/1 = 4√6. Число √6 иррационально (6 не является квадратом рационального числа), значит, и 4√6 иррационально, так как иначе √6 = (4√6)/4 было бы рациональным.
428. Между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения: а) 1/(√5 − 2); б) 2/(√5 − √3); в) 3/(√10 + √7); г) (5 + 3√3)/(√3 + 2)?
Сначала освобождаемся от иррациональности в знаменателе, затем оцениваем.
а) 1/(√5 − 2) = (√5 + 2)/(5 − 4) = √5 + 2. Так как 2 < √5 < 3, то 4 < √5 + 2 < 5. Между 4 и 5.
б) 2/(√5 − √3) = 2(√5 + √3)/(5 − 3) = √5 + √3. Имеем (√5 + √3)² = 8 + 2√15, а 9 < 8 + 2√15 < 16, так как 1 < 2√15 < 8 (√15 < 4). Значит, 3 < √5 + √3 < 4. Между 3 и 4.
в) 3/(√10 + √7) = 3(√10 − √7)/(10 − 7) = √10 − √7. Так как √10 < 3,2 и √7 > 2,6, то √10 − √7 < 0,6, а √10 > √7. Значит, 0 < √10 − √7 < 1. Между 0 и 1.
г) (5 + 3√3)(2 − √3)/((2 + √3)(2 − √3)) = (10 − 5√3 + 6√3 − 9)/(4 − 3) = 1 + √3. Так как 1 < √3 < 2, то 2 < 1 + √3 < 3. Между 2 и 3.
а) 1/(√5 − 2) = (√5 + 2)/(5 − 4) = √5 + 2. Так как 2 < √5 < 3, то 4 < √5 + 2 < 5. Между 4 и 5.
б) 2/(√5 − √3) = 2(√5 + √3)/(5 − 3) = √5 + √3. Имеем (√5 + √3)² = 8 + 2√15, а 9 < 8 + 2√15 < 16, так как 1 < 2√15 < 8 (√15 < 4). Значит, 3 < √5 + √3 < 4. Между 3 и 4.
в) 3/(√10 + √7) = 3(√10 − √7)/(10 − 7) = √10 − √7. Так как √10 < 3,2 и √7 > 2,6, то √10 − √7 < 0,6, а √10 > √7. Значит, 0 < √10 − √7 < 1. Между 0 и 1.
г) (5 + 3√3)(2 − √3)/((2 + √3)(2 − √3)) = (10 − 5√3 + 6√3 − 9)/(4 − 3) = 1 + √3. Так как 1 < √3 < 2, то 2 < 1 + √3 < 3. Между 2 и 3.
429. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) x/(x + √y); б) b/(a − √b); в) 4/(√10 − √2); г) 12/(√3 + √6); д) 9/(3 − 2√2); е) 14/(1 + 5√2).
Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю выражение.
а) x(x − √y)/((x + √y)(x − √y)) = x(x − √y)/(x² − y).
б) b(a + √b)/((a − √b)(a + √b)) = b(a + √b)/(a² − b).
в) 4(√10 + √2)/(10 − 2) = (√10 + √2)/2.
г) 12(√6 − √3)/((√3 + √6)(√6 − √3)) = 12(√6 − √3)/(6 − 3) = 4(√6 − √3).
д) 9(3 + 2√2)/(9 − 8) = 27 + 18√2.
е) 14(5√2 − 1)/((5√2 + 1)(5√2 − 1)) = 14(5√2 − 1)/(50 − 1) = 14(5√2 − 1)/49 = 2(5√2 − 1)/7 = (10√2 − 2)/7.
а) x(x − √y)/((x + √y)(x − √y)) = x(x − √y)/(x² − y).
б) b(a + √b)/((a − √b)(a + √b)) = b(a + √b)/(a² − b).
в) 4(√10 + √2)/(10 − 2) = (√10 + √2)/2.
г) 12(√6 − √3)/((√3 + √6)(√6 − √3)) = 12(√6 − √3)/(6 − 3) = 4(√6 − √3).
д) 9(3 + 2√2)/(9 − 8) = 27 + 18√2.
е) 14(5√2 − 1)/((5√2 + 1)(5√2 − 1)) = 14(5√2 − 1)/(50 − 1) = 14(5√2 − 1)/49 = 2(5√2 − 1)/7 = (10√2 − 2)/7.
430. Докажите, что: а) √(3/5) = 0,2√15; б) √(2/a) = (1/a)√(2a).
а) √(3/5) = √3/√5 = √3·√5/(√5·√5) = √15/5 = 0,2√15.
б) При a > 0: √(2/a) = √2/√a = √2·√a/(√a·√a) = √(2a)/a = (1/a)√(2a). Равенство доказано.
б) При a > 0: √(2/a) = √2/√a = √2·√a/(√a·√a) = √(2a)/a = (1/a)√(2a). Равенство доказано.
431. Докажите, что числа 2 − √3 и 2 + √3 являются взаимно обратными, а числа 2√6 − 5 и 1/(2√6 + 5) — противоположными.
Числа взаимно обратны, если их произведение равно 1: (2 − √3)(2 + √3) = 4 − 3 = 1. Значит, они взаимно обратны.
Числа противоположны, если их сумма равна 0. Преобразуем: 1/(2√6 + 5) = (2√6 − 5)/((2√6 + 5)(2√6 − 5)) = (2√6 − 5)/(24 − 25) = −(2√6 − 5). Значит, 1/(2√6 + 5) = −(2√6 − 5), и числа противоположны.
Числа противоположны, если их сумма равна 0. Преобразуем: 1/(2√6 + 5) = (2√6 − 5)/((2√6 + 5)(2√6 − 5)) = (2√6 − 5)/(24 − 25) = −(2√6 − 5). Значит, 1/(2√6 + 5) = −(2√6 − 5), и числа противоположны.
432. Среди чисел 15√3 − 4√2, 6 − √12, √80 − 5√3, √75 − 4√5, 1/(2√3 − 6), 1/(√675 − √32) есть пара взаимно обратных чисел и пара противоположных чисел. Найдите эти пары.
Упростим числа: √12 = 2√3, √80 = 4√5, √75 = 5√3, √675 = √(225·3) = 15√3, √32 = 4√2.
Тогда числа таковы: 15√3 − 4√2; 6 − 2√3; 4√5 − 5√3; 5√3 − 4√5; 1/(2√3 − 6); 1/(15√3 − 4√2).
Первое и шестое числа: знаменатель последнего √675 − √32 = 15√3 − 4√2 равен первому числу, значит, это числа вида a и 1/a — взаимно обратные.
Третье и четвёртое: √80 − 5√3 = 4√5 − 5√3 и √75 − 4√5 = 5√3 − 4√5 = −(4√5 − 5√3), их сумма равна 0 — противоположные.
Ответ: взаимно обратные 15√3 − 4√2 и 1/(√675 − √32); противоположные √80 − 5√3 и √75 − 4√5.
Тогда числа таковы: 15√3 − 4√2; 6 − 2√3; 4√5 − 5√3; 5√3 − 4√5; 1/(2√3 − 6); 1/(15√3 − 4√2).
Первое и шестое числа: знаменатель последнего √675 − √32 = 15√3 − 4√2 равен первому числу, значит, это числа вида a и 1/a — взаимно обратные.
Третье и четвёртое: √80 − 5√3 = 4√5 − 5√3 и √75 − 4√5 = 5√3 − 4√5 = −(4√5 − 5√3), их сумма равна 0 — противоположные.
Ответ: взаимно обратные 15√3 − 4√2 и 1/(√675 − √32); противоположные √80 − 5√3 и √75 − 4√5.
433. Упростите выражение (9 − x²)/(4x) · 8x/(x² + 6x + 9) − 2 и найдите его значение при x = −2,5.
Разложим: 9 − x² = (3 − x)(3 + x), x² + 6x + 9 = (x + 3)².
(3 − x)(3 + x)·8x/(4x·(x + 3)²) − 2 = 2(3 − x)/(x + 3) − 2 = (6 − 2x − 2x − 6)/(x + 3) = −4x/(x + 3).
При x = −2,5: −4·(−2,5)/(−2,5 + 3) = 10/0,5 = 20.
Ответ: −4x/(x + 3); 20.
(3 − x)(3 + x)·8x/(4x·(x + 3)²) − 2 = 2(3 − x)/(x + 3) − 2 = (6 − 2x − 2x − 6)/(x + 3) = −4x/(x + 3).
При x = −2,5: −4·(−2,5)/(−2,5 + 3) = 10/0,5 = 20.
Ответ: −4x/(x + 3); 20.
434. Решите уравнение: а) (3x − 1)/2 + (2 − x)/3 + 1 = 0; б) (y − 10)/6 − (5 − 2y)/4 = 2,5.
а) Умножим обе части на 6: 3(3x − 1) + 2(2 − x) + 6 = 0; 9x − 3 + 4 − 2x + 6 = 0; 7x + 7 = 0; x = −1.
б) Умножим обе части на 12: 2(y − 10) − 3(5 − 2y) = 30; 2y − 20 − 15 + 6y = 30; 8y = 65; y = 8,125.
Ответ: а) −1; б) 8,125 (то есть 8 1/8).
б) Умножим обе части на 12: 2(y − 10) − 3(5 − 2y) = 30; 2y − 20 − 15 + 6y = 30; 8y = 65; y = 8,125.
Ответ: а) −1; б) 8,125 (то есть 8 1/8).