Глава II. §6. п.18 Преобразование выражений, содержащих квадратные корни — с. 100
414. Упростите выражение: а) √75 + √48 − √300; б) 3√8 − √50 + 2√18; в) √242 − √200 + √8; г) √75 − 0,1√300 − √27; д) √98 − √72 + 0,5√8.
Выносим множители из-под знака корня и приводим подобные слагаемые.
а) 5√3 + 4√3 − 10√3 = −√3.
б) 6√2 − 5√2 + 6√2 = 7√2.
в) 11√2 − 10√2 + 2√2 = 3√2.
г) 5√3 − 0,1 · 10√3 − 3√3 = 5√3 − √3 − 3√3 = √3.
д) 7√2 − 6√2 + 0,5 · 2√2 = 7√2 − 6√2 + √2 = 2√2.
Ответ: а) −√3; б) 7√2; в) 3√2; г) √3; д) 2√2.
а) 5√3 + 4√3 − 10√3 = −√3.
б) 6√2 − 5√2 + 6√2 = 7√2.
в) 11√2 − 10√2 + 2√2 = 3√2.
г) 5√3 − 0,1 · 10√3 − 3√3 = 5√3 − √3 − 3√3 = √3.
д) 7√2 − 6√2 + 0,5 · 2√2 = 7√2 − 6√2 + √2 = 2√2.
Ответ: а) −√3; б) 7√2; в) 3√2; г) √3; д) 2√2.
415. Упростите выражение: а) √(8p) − √(2p) + √(18p); б) √(160c) + 2√(40c) − 3√(90c); в) 5√(27m) − 4√(48m) − 2√(12m); г) √54 − √24 + √150; д) 3√2 + √32 − √200; е) 2√72 − √50 − 2√8.
а) 2√(2p) − √(2p) + 3√(2p) = 4√(2p) (p ≥ 0).
б) 4√(10c) + 2 · 2√(10c) − 3 · 3√(10c) = (4 + 4 − 9)√(10c) = −√(10c) (c ≥ 0).
в) 15√(3m) − 16√(3m) − 4√(3m) = −5√(3m) (m ≥ 0).
г) 3√6 − 2√6 + 5√6 = 6√6.
д) 3√2 + 4√2 − 10√2 = −3√2.
е) 12√2 − 5√2 − 4√2 = 3√2.
Ответ: а) 4√(2p); б) −√(10c); в) −5√(3m); г) 6√6; д) −3√2; е) 3√2.
б) 4√(10c) + 2 · 2√(10c) − 3 · 3√(10c) = (4 + 4 − 9)√(10c) = −√(10c) (c ≥ 0).
в) 15√(3m) − 16√(3m) − 4√(3m) = −5√(3m) (m ≥ 0).
г) 3√6 − 2√6 + 5√6 = 6√6.
д) 3√2 + 4√2 − 10√2 = −3√2.
е) 12√2 − 5√2 − 4√2 = 3√2.
Ответ: а) 4√(2p); б) −√(10c); в) −5√(3m); г) 6√6; д) −3√2; е) 3√2.
416. Выполните действия, используя формулы сокращённого умножения: а) (x + √y)(x − √y); б) (√a − √b)(√a + √b); в) (√11 − 3)(√11 + 3); г) (√10 + √7)(√7 − √10); д) (√a + √b)²; е) (√m − √n)²; ж) (√2 + 3)²; з) (√5 − √2)².
а) x² − (√y)² = x² − y (y ≥ 0).
б) (√a)² − (√b)² = a − b.
в) 11 − 9 = 2.
г) (√7 + √10)(√7 − √10) = 7 − 10 = −3.
д) a + 2√(ab) + b.
е) m − 2√(mn) + n.
ж) 2 + 6√2 + 9 = 11 + 6√2.
з) 5 − 2√10 + 2 = 7 − 2√10.
б) (√a)² − (√b)² = a − b.
в) 11 − 9 = 2.
г) (√7 + √10)(√7 − √10) = 7 − 10 = −3.
д) a + 2√(ab) + b.
е) m − 2√(mn) + n.
ж) 2 + 6√2 + 9 = 11 + 6√2.
з) 5 − 2√10 + 2 = 7 − 2√10.
417. Выполните действия: а) (2√5 + 1)(2√5 − 1); б) (5√7 − √13)(√13 + 5√7); в) (3√2 − 2√3)(2√3 + 3√2); г) (1 + 3√5)²; д) (2√3 − 7)²; е) (2√10 − √2)².
а) (2√5)² − 1 = 20 − 1 = 19.
б) (5√7 − √13)(5√7 + √13) = 175 − 13 = 162.
в) (3√2 − 2√3)(3√2 + 2√3) = 18 − 12 = 6.
г) 1 + 6√5 + 45 = 46 + 6√5.
д) 12 − 28√3 + 49 = 61 − 28√3.
е) 40 − 2 · 2√10 · √2 + 2 = 42 − 4√20 = 42 − 8√5.
Ответ: а) 19; б) 162; в) 6; г) 46 + 6√5; д) 61 − 28√3; е) 42 − 8√5.
б) (5√7 − √13)(5√7 + √13) = 175 − 13 = 162.
в) (3√2 − 2√3)(3√2 + 2√3) = 18 − 12 = 6.
г) 1 + 6√5 + 45 = 46 + 6√5.
д) 12 − 28√3 + 49 = 61 − 28√3.
е) 40 − 2 · 2√10 · √2 + 2 = 42 − 4√20 = 42 − 8√5.
Ответ: а) 19; б) 162; в) 6; г) 46 + 6√5; д) 61 − 28√3; е) 42 − 8√5.
418. Выполните действия: а) (√(4 + √7) + √(4 − √7))²; б) (√(5 + 2√6) − √(5 − 2√6))².
а) Квадрат суммы: (4 + √7) + (4 − √7) + 2√((4 + √7)(4 − √7)) = 8 + 2√(16 − 7) = 8 + 2 · 3 = 14.
б) Квадрат разности: (5 + 2√6) + (5 − 2√6) − 2√((5 + 2√6)(5 − 2√6)) = 10 − 2√(25 − 24) = 10 − 2 = 8.
Ответ: а) 14; б) 8.
б) Квадрат разности: (5 + 2√6) + (5 − 2√6) − 2√((5 + 2√6)(5 − 2√6)) = 10 − 2√(25 − 24) = 10 − 2 = 8.
Ответ: а) 14; б) 8.
419. Преобразуйте выражение: а) (√x + 1)(√x − 1); б) (√x − √a)(√x + √a); в) (√m + √2)²; г) (√3 − √x)²; д) (5√7 − 13)(5√7 + 13); е) (2√2 + 3√3)(2√2 − 3√3); ж) (6 − √2)² + 3√32; з) (√2 + √18)² − 30.
а) x − 1 (x ≥ 0).
б) x − a (x ≥ 0, a ≥ 0).
в) m + 2√(2m) + 2 (m ≥ 0).
г) 3 − 2√(3x) + x (x ≥ 0).
д) 175 − 169 = 6.
е) 8 − 27 = −19.
ж) 36 − 12√2 + 2 + 3 · 4√2 = 38 − 12√2 + 12√2 = 38.
з) √18 = 3√2, поэтому (√2 + 3√2)² − 30 = (4√2)² − 30 = 32 − 30 = 2.
Ответ: д) 6; е) −19; ж) 38; з) 2.
б) x − a (x ≥ 0, a ≥ 0).
в) m + 2√(2m) + 2 (m ≥ 0).
г) 3 − 2√(3x) + x (x ≥ 0).
д) 175 − 169 = 6.
е) 8 − 27 = −19.
ж) 36 − 12√2 + 2 + 3 · 4√2 = 38 − 12√2 + 12√2 = 38.
з) √18 = 3√2, поэтому (√2 + 3√2)² − 30 = (4√2)² − 30 = 32 − 30 = 2.
Ответ: д) 6; е) −19; ж) 38; з) 2.
420. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов: а) x² − 7; б) 5 − c²; в) 4a² − 3; г) 11 − 16b²; д) y − 3, где y ≥ 0; е) x − y, где x > 0 и y > 0.
Используем p² − q² = (p − q)(p + q).
а) x² − 7 = x² − (√7)² = (x − √7)(x + √7).
б) 5 − c² = (√5 − c)(√5 + c).
в) 4a² − 3 = (2a)² − (√3)² = (2a − √3)(2a + √3).
г) 11 − 16b² = (√11 − 4b)(√11 + 4b).
д) y − 3 = (√y)² − (√3)² = (√y − √3)(√y + √3).
е) x − y = (√x − √y)(√x + √y).
а) x² − 7 = x² − (√7)² = (x − √7)(x + √7).
б) 5 − c² = (√5 − c)(√5 + c).
в) 4a² − 3 = (2a)² − (√3)² = (2a − √3)(2a + √3).
г) 11 − 16b² = (√11 − 4b)(√11 + 4b).
д) y − 3 = (√y)² − (√3)² = (√y − √3)(√y + √3).
е) x − y = (√x − √y)(√x + √y).