Глава II. §6. п.17 Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня — с. 97
405. Представьте выражение в виде арифметического квадратного корня или выражения, ему противоположного: а) 3√(1/3); б) 2√(3/4); в) 1/3 · √18; г) −10√0,02; д) 5√(a/5); е) −1/2 · √(12x); ж) −0,1√(1,2a); з) −1/3 · √(0,9a); и) −6√(6b).
Вносим положительный множитель под корень, возводя его в квадрат.
а) 3√(1/3) = √(9 · 1/3) = √3.
б) 2√(3/4) = √(4 · 3/4) = √3.
в) 1/3 · √18 = √(18/9) = √2.
г) −10√0,02 = −√(100 · 0,02) = −√2.
д) 5√(a/5) = √(25 · a/5) = √(5a) (a ≥ 0).
е) −1/2 · √(12x) = −√(12x/4) = −√(3x) (x ≥ 0).
ж) −0,1√(1,2a) = −√(0,01 · 1,2a) = −√(0,012a) (a ≥ 0).
з) −1/3 · √(0,9a) = −√(0,9a/9) = −√(0,1a) (a ≥ 0).
и) −6√(6b) = −√(36 · 6b) = −√(216b) (b ≥ 0).
а) 3√(1/3) = √(9 · 1/3) = √3.
б) 2√(3/4) = √(4 · 3/4) = √3.
в) 1/3 · √18 = √(18/9) = √2.
г) −10√0,02 = −√(100 · 0,02) = −√2.
д) 5√(a/5) = √(25 · a/5) = √(5a) (a ≥ 0).
е) −1/2 · √(12x) = −√(12x/4) = −√(3x) (x ≥ 0).
ж) −0,1√(1,2a) = −√(0,01 · 1,2a) = −√(0,012a) (a ≥ 0).
з) −1/3 · √(0,9a) = −√(0,9a/9) = −√(0,1a) (a ≥ 0).
и) −6√(6b) = −√(36 · 6b) = −√(216b) (b ≥ 0).
406. Замените выражение арифметическим квадратным корнем или выражением, ему противоположным: а) 2√2; б) 5√y; в) −7√3; г) −6√(2a); д) 1/3 · √(18b); е) −0,1√(200c).
а) 2√2 = √(4 · 2) = √8.
б) 5√y = √(25y) (y ≥ 0).
в) −7√3 = −√(49 · 3) = −√147.
г) −6√(2a) = −√(36 · 2a) = −√(72a) (a ≥ 0).
д) 1/3 · √(18b) = √(18b/9) = √(2b) (b ≥ 0).
е) −0,1√(200c) = −√(0,01 · 200c) = −√(2c) (c ≥ 0).
б) 5√y = √(25y) (y ≥ 0).
в) −7√3 = −√(49 · 3) = −√147.
г) −6√(2a) = −√(36 · 2a) = −√(72a) (a ≥ 0).
д) 1/3 · √(18b) = √(18b/9) = √(2b) (b ≥ 0).
е) −0,1√(200c) = −√(0,01 · 200c) = −√(2c) (c ≥ 0).
407. Сравните значения выражений: а) 3√3 и √12; б) √20 и 3√5; в) 5√4 и 4√5; г) 2√5 и 3√2; д) −√14 и −3√2; е) −7√0,17 и −11√0,05.
Вносим множители под знак корня и сравниваем подкоренные числа.
а) 3√3 = √27 > √12, значит 3√3 > √12.
б) √20 = 2√5 < 3√5, значит √20 < 3√5.
в) 5√4 = √100, 4√5 = √80; 100 > 80, значит 5√4 > 4√5.
г) 2√5 = √20, 3√2 = √18; 20 > 18, значит 2√5 > 3√2.
д) 3√2 = √18; √14 < √18, поэтому −√14 > −√18, то есть −√14 > −3√2.
е) 7√0,17 = √(49 · 0,17) = √8,33; 11√0,05 = √(121 · 0,05) = √6,05. Так как 8,33 > 6,05, то −√8,33 < −√6,05, то есть −7√0,17 < −11√0,05.
Ответ: а) >; б) <; в) >; г) >; д) >; е) <.
а) 3√3 = √27 > √12, значит 3√3 > √12.
б) √20 = 2√5 < 3√5, значит √20 < 3√5.
в) 5√4 = √100, 4√5 = √80; 100 > 80, значит 5√4 > 4√5.
г) 2√5 = √20, 3√2 = √18; 20 > 18, значит 2√5 > 3√2.
д) 3√2 = √18; √14 < √18, поэтому −√14 > −√18, то есть −√14 > −3√2.
е) 7√0,17 = √(49 · 0,17) = √8,33; 11√0,05 = √(121 · 0,05) = √6,05. Так как 8,33 > 6,05, то −√8,33 < −√6,05, то есть −7√0,17 < −11√0,05.
Ответ: а) >; б) <; в) >; г) >; д) >; е) <.
408. Сравните значения выражений: а) 1/3 · √351 и 1/2 · √188; б) 1/3 · √54 и 1/5 · √150; в) √24 и 1/3 · √216; г) 2/3 · √72 и 7√(2/3).
а) 1/3 · √351 = √(351/9) = √39; 1/2 · √188 = √(188/4) = √47. Так как 39 < 47, первое число меньше.
б) 1/3 · √54 = √(54/9) = √6; 1/5 · √150 = √(150/25) = √6. Значения равны.
в) 1/3 · √216 = √(216/9) = √24. Значения равны.
г) 2/3 · √72 = √(4 · 72/9) = √32; 7√(2/3) = √(49 · 2/3) = √(98/3). Так как 32 = 96/3 < 98/3, первое число меньше.
Ответ: а) первое меньше; б) равны; в) равны; г) первое меньше.
б) 1/3 · √54 = √(54/9) = √6; 1/5 · √150 = √(150/25) = √6. Значения равны.
в) 1/3 · √216 = √(216/9) = √24. Значения равны.
г) 2/3 · √72 = √(4 · 72/9) = √32; 7√(2/3) = √(49 · 2/3) = √(98/3). Так как 32 = 96/3 < 98/3, первое число меньше.
Ответ: а) первое меньше; б) равны; в) равны; г) первое меньше.
409. Расположите в порядке возрастания числа: а) 3√3, 2√6, √29, 4√2, 2√11; б) 6√2, √58, 3√7, 2√14, 5√3; в) −√11, −2√5, √2, −2√6, −√51; г) −√83, −9√2, −√17, −5√8, −1/3 · √18.
Вносим множители под знак корня.
а) 3√3 = √27, 2√6 = √24, √29, 4√2 = √32, 2√11 = √44. Порядок 24 < 27 < 29 < 32 < 44: 2√6; 3√3; √29; 4√2; 2√11.
б) 6√2 = √72, √58, 3√7 = √63, 2√14 = √56, 5√3 = √75. Порядок 56 < 58 < 63 < 72 < 75: 2√14; √58; 3√7; 6√2; 5√3.
в) 2√5 = √20, 2√6 = √24. Из отрицательных меньше то, у которого корень больше: √51 > √24 > √20 > √11. Порядок: −√51; −2√6; −2√5; −√11; √2.
г) 9√2 = √162, 5√8 = √200, 1/3 · √18 = √2. Квадраты модулей: 83, 162, 17, 200, 2. Порядок: −5√8; −9√2; −√83; −√17; −1/3 · √18.
а) 3√3 = √27, 2√6 = √24, √29, 4√2 = √32, 2√11 = √44. Порядок 24 < 27 < 29 < 32 < 44: 2√6; 3√3; √29; 4√2; 2√11.
б) 6√2 = √72, √58, 3√7 = √63, 2√14 = √56, 5√3 = √75. Порядок 56 < 58 < 63 < 72 < 75: 2√14; √58; 3√7; 6√2; 5√3.
в) 2√5 = √20, 2√6 = √24. Из отрицательных меньше то, у которого корень больше: √51 > √24 > √20 > √11. Порядок: −√51; −2√6; −2√5; −√11; √2.
г) 9√2 = √162, 5√8 = √200, 1/3 · √18 = √2. Квадраты модулей: 83, 162, 17, 200, 2. Порядок: −5√8; −9√2; −√83; −√17; −1/3 · √18.
410. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства √(2 2/3) = 2√(2/3), √(3 2/3) = 3√(3/8), √(4 4/15) = 4√(4/15). Выясните, каким должно быть соотношение между числами a и b, чтобы было верно равенство √(a + a/b) = a√(a/b), где a ∈ N и b ∈ N.
1. Возведите в квадрат обе части равенства.
2. Установите, каким должно быть соотношение между числами a и b.
3. Проиллюстрируйте правильность вашего вывода на примерах.
Проверка.
1) 2√(2/3) = √(4 · 2/3) = √(8/3), а 2 2/3 = 8/3. Первое равенство верно.
2) Для 3 3/8 = 27/8 имеем 3√(3/8) = √(9 · 3/8) = √(27/8), равенство было бы верным. Для напечатанного 3 2/3 = 11/3 получаем √(11/3) ≈ 1,91, а 3√(3/8) = √(27/8) ≈ 1,84, поэтому в таком виде равенство неверно.
3) 4√(4/15) = √(16 · 4/15) = √(64/15), а 4 4/15 = 64/15. Третье равенство верно.
Общий случай. 1. Возведём в квадрат обе части равенства √(a + a/b) = a√(a/b): a + a/b = a² · a/b.
2) Разделим на a (a ≠ 0) и умножим на b: b + 1 = a², то есть b = a² − 1.
Значит, равенство верно тогда и только тогда, когда b = a² − 1 (при a ≥ 2, чтобы b было натуральным).
3) Примеры: a = 2, b = 3: √(2 2/3) = 2√(2/3); a = 3, b = 8: √(3 3/8) = 3√(3/8); a = 4, b = 15: √(4 4/15) = 4√(4/15); a = 5, b = 24: √(5 5/24) = √(125/24) = 5√(5/24).
Ответ: b = a² − 1.
Оговорка: во втором равенстве в книге напечатано 3 2/3; по найденному правилу верным оно было бы для 3 3/8, при печатном 3 2/3 равенство не выполняется.
1) 2√(2/3) = √(4 · 2/3) = √(8/3), а 2 2/3 = 8/3. Первое равенство верно.
2) Для 3 3/8 = 27/8 имеем 3√(3/8) = √(9 · 3/8) = √(27/8), равенство было бы верным. Для напечатанного 3 2/3 = 11/3 получаем √(11/3) ≈ 1,91, а 3√(3/8) = √(27/8) ≈ 1,84, поэтому в таком виде равенство неверно.
3) 4√(4/15) = √(16 · 4/15) = √(64/15), а 4 4/15 = 64/15. Третье равенство верно.
Общий случай. 1. Возведём в квадрат обе части равенства √(a + a/b) = a√(a/b): a + a/b = a² · a/b.
2) Разделим на a (a ≠ 0) и умножим на b: b + 1 = a², то есть b = a² − 1.
Значит, равенство верно тогда и только тогда, когда b = a² − 1 (при a ≥ 2, чтобы b было натуральным).
3) Примеры: a = 2, b = 3: √(2 2/3) = 2√(2/3); a = 3, b = 8: √(3 3/8) = 3√(3/8); a = 4, b = 15: √(4 4/15) = 4√(4/15); a = 5, b = 24: √(5 5/24) = √(125/24) = 5√(5/24).
Ответ: b = a² − 1.
Оговорка: во втором равенстве в книге напечатано 3 2/3; по найденному правилу верным оно было бы для 3 3/8, при печатном 3 2/3 равенство не выполняется.