Глава II. §6. п.17 Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня — с. 96
400. Вынесите множитель из-под знака корня: а) √12; б) √18; в) √80; г) √48; д) √125; е) √108; ж) √363; з) √84 500.
Выделяем в подкоренном числе множитель — квадрат натурального числа.
а) √(4 · 3) = 2√3.
б) √(9 · 2) = 3√2.
в) √(16 · 5) = 4√5.
г) √(16 · 3) = 4√3.
д) √(25 · 5) = 5√5.
е) √(36 · 3) = 6√3.
ж) √(121 · 3) = 11√3.
з) 84 500 = 100 · 169 · 5, √ = 10 · 13 · √5 = 130√5.
Ответ: а) 2√3; б) 3√2; в) 4√5; г) 4√3; д) 5√5; е) 6√3; ж) 11√3; з) 130√5.
а) √(4 · 3) = 2√3.
б) √(9 · 2) = 3√2.
в) √(16 · 5) = 4√5.
г) √(16 · 3) = 4√3.
д) √(25 · 5) = 5√5.
е) √(36 · 3) = 6√3.
ж) √(121 · 3) = 11√3.
з) 84 500 = 100 · 169 · 5, √ = 10 · 13 · √5 = 130√5.
Ответ: а) 2√3; б) 3√2; в) 4√5; г) 4√3; д) 5√5; е) 6√3; ж) 11√3; з) 130√5.
401. Вынесите множитель из-под знака корня и упростите полученное выражение: а) 1/2 · √24; б) 2/3 · √45; в) −1/7 · √147; г) −1/5 · √275; д) 0,1√20 000; е) −0,05√28 800.
а) √24 = 2√6, 1/2 · 2√6 = √6.
б) √45 = 3√5, 2/3 · 3√5 = 2√5.
в) √147 = 7√3, −1/7 · 7√3 = −√3.
г) √275 = 5√11, −1/5 · 5√11 = −√11.
д) √20 000 = 100√2, 0,1 · 100√2 = 10√2.
е) 28 800 = 14 400 · 2, √28 800 = 120√2, −0,05 · 120√2 = −6√2.
Ответ: а) √6; б) 2√5; в) −√3; г) −√11; д) 10√2; е) −6√2.
б) √45 = 3√5, 2/3 · 3√5 = 2√5.
в) √147 = 7√3, −1/7 · 7√3 = −√3.
г) √275 = 5√11, −1/5 · 5√11 = −√11.
д) √20 000 = 100√2, 0,1 · 100√2 = 10√2.
е) 28 800 = 14 400 · 2, √28 800 = 120√2, −0,05 · 120√2 = −6√2.
Ответ: а) √6; б) 2√5; в) −√3; г) −√11; д) 10√2; е) −6√2.
402. Вынесите множитель из-под знака корня: а) √20; б) √98; в) √200; г) √160; д) 0,2√75; е) 0,7√300; ж) −0,125√192; з) −1/3 · √450.
а) √(4 · 5) = 2√5.
б) √(49 · 2) = 7√2.
в) √(100 · 2) = 10√2.
г) √(16 · 10) = 4√10.
д) √75 = 5√3, 0,2 · 5√3 = √3.
е) √300 = 10√3, 0,7 · 10√3 = 7√3.
ж) √192 = 8√3, −0,125 · 8√3 = −√3.
з) √450 = 15√2, −1/3 · 15√2 = −5√2.
Ответ: а) 2√5; б) 7√2; в) 10√2; г) 4√10; д) √3; е) 7√3; ж) −√3; з) −5√2.
б) √(49 · 2) = 7√2.
в) √(100 · 2) = 10√2.
г) √(16 · 10) = 4√10.
д) √75 = 5√3, 0,2 · 5√3 = √3.
е) √300 = 10√3, 0,7 · 10√3 = 7√3.
ж) √192 = 8√3, −0,125 · 8√3 = −√3.
з) √450 = 15√2, −1/3 · 15√2 = −5√2.
Ответ: а) 2√5; б) 7√2; в) 10√2; г) 4√10; д) √3; е) 7√3; ж) −√3; з) −5√2.
403. Внесите множитель под знак корня: а) 7√10; б) 5√3; в) 6√x; г) 10√y; д) 3√(2a); е) 5√(3b); ж) a√(x²); з) m²√(m³); и) 3xy²√y.
Положительный множитель вносим как √(k²); отрицательный множитель выносим со знаком «−».
а) 7√10 = √(49 · 10) = √490.
б) 5√3 = √(25 · 3) = √75.
в) 6√x = √(36x) (x ≥ 0).
г) 10√y = √(100y) (y ≥ 0).
д) 3√(2a) = √(9 · 2a) = √(18a) (a ≥ 0).
е) 5√(3b) = √(25 · 3b) = √(75b) (b ≥ 0).
ж) a√(x²) = a|x|. Если a ≥ 0, то a√(x²) = √(a²x²); если a < 0, то a√(x²) = −√(a²x²).
з) Выражение имеет смысл при m ≥ 0, тогда m² ≥ 0 и m²√(m³) = √(m⁴ · m³) = √(m⁷).
и) Выражение имеет смысл при y ≥ 0, y² ≥ 0. Если x ≥ 0, то 3xy²√y = √(9x²y⁴ · y) = √(9x²y⁵); если x < 0, то 3xy²√y = −√(9x²y⁵).
а) 7√10 = √(49 · 10) = √490.
б) 5√3 = √(25 · 3) = √75.
в) 6√x = √(36x) (x ≥ 0).
г) 10√y = √(100y) (y ≥ 0).
д) 3√(2a) = √(9 · 2a) = √(18a) (a ≥ 0).
е) 5√(3b) = √(25 · 3b) = √(75b) (b ≥ 0).
ж) a√(x²) = a|x|. Если a ≥ 0, то a√(x²) = √(a²x²); если a < 0, то a√(x²) = −√(a²x²).
з) Выражение имеет смысл при m ≥ 0, тогда m² ≥ 0 и m²√(m³) = √(m⁴ · m³) = √(m⁷).
и) Выражение имеет смысл при y ≥ 0, y² ≥ 0. Если x ≥ 0, то 3xy²√y = √(9x²y⁴ · y) = √(9x²y⁵); если x < 0, то 3xy²√y = −√(9x²y⁵).
404. Какие из выражений не имеют смысла: а) √(2√17 − 4); б) √(9 − √80); в) √(8√3 − 14); г) √(15 − 2√56); д) √(11 − 3√2); е) √(2√2 − √7); ж) √(6√3 − 7√2); з) √(√186 − 5√13); и) √(−√186 + 5√7); к) √(√56 − 4√2); л) √(42 − 6√5); м) √(√72 − 6√2)?
Выражение не имеет смысла, если подкоренное выражение отрицательно. Сравниваем числа, внося множители под знак корня.
а) 2√17 = √68 > 2 · 2 = 4 — положительно, смысл есть.
б) 9 = √81 > √80 — смысл есть.
в) 8√3 = √192 < √196 = 14, разность отрицательна — смысла нет.
г) 2√56 = √224 < √225 = 15 — смысл есть.
д) 3√2 = √18 < 11 — смысл есть.
е) 2√2 = √8 > √7 — смысл есть.
ж) 6√3 = √108 > √98 = 7√2 — смысл есть.
з) 5√13 = √325 > √186, разность √186 − 5√13 отрицательна — смысла нет.
и) 5√7 = √175 < √186, разность −√186 + 5√7 отрицательна — смысла нет.
к) √56 > √32 = 4√2 — смысл есть.
л) 6√5 = √180 < 42 — смысл есть.
м) √72 = 6√2, разность равна 0, √0 = 0 — смысл есть.
Ответ: не имеют смысла выражения в), з), и).
а) 2√17 = √68 > 2 · 2 = 4 — положительно, смысл есть.
б) 9 = √81 > √80 — смысл есть.
в) 8√3 = √192 < √196 = 14, разность отрицательна — смысла нет.
г) 2√56 = √224 < √225 = 15 — смысл есть.
д) 3√2 = √18 < 11 — смысл есть.
е) 2√2 = √8 > √7 — смысл есть.
ж) 6√3 = √108 > √98 = 7√2 — смысл есть.
з) 5√13 = √325 > √186, разность √186 − 5√13 отрицательна — смысла нет.
и) 5√7 = √175 < √186, разность −√186 + 5√7 отрицательна — смысла нет.
к) √56 > √32 = 4√2 — смысл есть.
л) 6√5 = √180 < 42 — смысл есть.
м) √72 = 6√2, разность равна 0, √0 = 0 — смысл есть.
Ответ: не имеют смысла выражения в), з), и).